第一次作业??写出级数√??????????2+24+√2468+?的一般项。.2246+??????1??(??2)解：一般项为u??=(2??)!!∞2nn!2nn!。2.已知级数∑收敛，试求极限limnnn→∞nnn=1解：由级数收敛必要条件可知2nn!limnn=0n→∞∞13.根据级数性质，判断级数∑(??+2??)的敛散性。5??=1∞1∞解：因为级数∑(n)收敛，级数∑(2n)发散，n=15n=1∞1??所以由性质可推导出级数∑(5??+2)发散。??=1∞根据级数收敛与发散定义判断级数∑(√n-1-√n)的敛散性，n=1若收敛，求其和。解：设u??=√n-1-√n,????=√2-1+√3-√2+√4-√3+?+√n-1-√n??=√??+1-1=1+√??+1因为lim????=lim??=∞,所以所求级数发散。????→∞??→∞1+1+√∞判断级数∑√n+1的敛散性。nn=1解：因为lim????=lim√n+1=1≠0，??→∞??→∞n∞所以由级数收敛的必要条件知级数n+1发散。∑√nn=16.根据级数性质判断级数1-1+1-1+?-+-+√1√√1√312213的敛散性。11)+(11解：原式=(--)+?√2-1√2+1√3-1√3+111111∞1=2(1+2+3+???+?)=2∑????=1第二次作业∞2??+11.根据P—级数的敛散性，判断级数∑()2的敛散性。)2(??=1??+1??+2解：因为2??+12<2??+22<23<22(??+2)2(??+2)(??+1)3(??+1)(??+1)??∞1∞2??+1由∑∑2收敛。3是收敛的，所以2??=1????=1(??+1)(??+2)∞∞∞如果∑????，∑????为正项级数且收敛，试判断∑√????????的敛散性。??=1??=1??=1????+????∞????,所以由比较审敛法知∑√anbn收敛。解：因为√????≤2n=1∞π根据极限审敛法，鉴别级数∑sin2n的敛散性。n=1sinπ∞π解：因为limn)=1,且级数∑(2?πn收敛，n→∞22nn=1∞π收敛。所以由极限审敛法知∑sinnn=12∞14.鉴别级数∑的敛散性。1??=1??1+??11????1解：因为lim=limn1+nlim11=n=1,??→∞n→∞n→∞n??n√∞1∞1由于级数∑n发散，所以级数∑1+1发散。n=1??=1????∞2??-1????25.鉴别级数∑??????????(4)的敛散性。??=1n-1n-1解：因为u=2ncos2(nπ)≤2n=vn，nn4nvn+12nn21∞)=lim?n=0<1,知级数∑vn收敛，由lim=lim?(1n→∞vnn→∞n+1n+1n→∞n+1(1+n)n=1∞2n-1nπ所以级数∑2(ncos)收敛。4n=1n∞????6.鉴别级数∑(2??+1)的敛散性。??=1解：因为limnnnnn=1<1,√n→∞√un=lim(2n+1)=lim2n→∞n→∞2n+1∞nn所以级数∑(2n+1)收敛。n=1第三次作业1.鉴别级数∑∞()n-11的敛散性。n=1-1√n∞∞1解：因为级数∑un=∑发散，则原级数不绝对收敛，n=1n=1√n又因为un=1单一递减，√n且limun∞)n-11=0,由莱布尼茨定理知级数∑(条件收敛。n→∞-1nn=1√∞)n-1(2.当P(P>0)分别为何值时，级数∑(-1)p为绝对收敛和条件n=1n+1收敛。∞1解：因为当0
1时，级数∑(n+1)p收敛，知所求级数绝对收敛。n=1∞()????23.鉴别级数∑-1??的敛散性。2??2-??=1(-1)nn2≠0,由级数收敛的必要条件知级数发散。解：因为lim-nn→∞2n2∞14.鉴别级数∑??????(????+??????)的敛散性。??=1∞1∞1为交错级数，解：级数∑sin(nπ+()nsinlnn)=∑lnnn=1-1n=1111因为limsinlnn=limsinlnn?lnn=∞,n→∞1n→∞11nlnn?n∞1发散，知所求级数不绝对收敛。由∑nn=1又因为limsin11lnn单一递减，n→∞=0,且sinlnn由莱布尼茨定理知所求级数条件收敛。??(??+1)2??n!鉴别级数∑(-1)2????的敛散性。??=1解：因为limun+12n=2||=lim1<1n→∞unn→∞e(1+n)n(n+1)2nn!所以级数∑(-1)2n绝对收敛。n=1n∞(-1)??-1??????6.鉴别级数∑??的敛散性。??=1lnn1∞n-1lnn()解：由un=>(n≥3)知∑-1非绝对收敛。nnn=1n设f(x)=lnx′1-lnxx,因为f()=()xx2<0x>e,当x>e时，f(x)单一减少，所以un>un+1又因为limf(x)=limlnx1=0,x=limx→∞x→∞x→∞x所以limun=0,由莱布尼兹定理知所求级数条件收敛。n→∞第四次作业1.判断级数1111?3+3?5+5?7+?的敛散性，若收敛求其和。解：因为lim1[(1-11-11-11????=lim)+(3)+?+(2??-12??)]=2??→∞??→∞235+11所以级数收敛，且S=2∞∞若级数∑un收敛于S，求级数∑(un+un+1)的和。n=1n=1∞∞‘解：设Sn为∑un前n项和，Sn为∑(un+un+1)前n项和n=1n=1S‘n=(u1+u)+(u2+u)+?+(un+un+1)23=2(u1+?+un)-u1+un+1=2Sn-u1+un+1∞因为∑un收敛，所以limSn=S,且limun+1=0n→∞n→∞n=1故limS‘n=2S-u1n→∞∞3.当k>0时，鉴别级数∑(-1)??k+n的敛散性。n2n=1k+n,因为limun=limk+n?2=limk+n解：设un=n2n=1n→∞1?nn→∞1?nn→∞n∞1由∑发散，知所求级数不绝对收敛。n=1n设f(x)=k+x′()=-2kx()所以un单一减少x2,因为fxx4<0x>0,又由于limk+nn2=0,故所求级数条件收敛。n→∞∞sinna鉴别级数∑2的敛散性。nn=1sinna1∞1∞sinna解：因为|2|≤2,由级数∑2收敛，知级数∑|2|收敛nnnn=1nn=1∞sinna绝对收敛。所以级数∑n2n=14??5.鉴别级数∑5??-3??的敛散性。n=1????+5??-3??1-(3??41=4lim5)??=<1解：因为lim+??+1=4lim3??→∞??????→∞5??→∞5??1-335-(5)4??所以级数∑??-??收敛。53n=1∞()??6.鉴别级数∑(-1)??+1n+1的敛散性。??+1n=12n解：设u??=(n+1)??u??1(1+1??=????+1,因为lim?=lim)22n??→∞??→∞2??1??∞∞1而∑发散，故∑un发散，即原级数不绝对收敛。nn=1n=1u??+1????+1??+2??+1??2+2????+1(=(<1,同时，=(??+)??+))u??11??2+2??+1即u且limu11??>u??+1lim[(1+)]=0n??→∞??=2????→∞??∞(n+1)n故级数∑(-)n+1条件收敛。12nn+1n=1第五次作业∞????(??+1)1.求幂级数∑????+1的收敛域。??+1??=1??1??????+2??+11解：??=lim|??+()=1,进而??==1????|=lim??+2?????(??+1)????→∞??→∞∞()lnn+1发散当x=1时，级数∑n+1n=1∞当x=-1时，级数∑(-1)n+1ln(n+1)收敛n+1n=1故收敛区间为[-1,1)∞??2.求幂级数∑(-1)??-1(2??-3)的收敛域。??=1解：令t=2x-3,∞????,??=lim??+lim2??-1=1原级数为∑??=1(-1)??-12??-1|??1|=2??+1→∞??→??????∞故R=1∞1当t=1时，∑(-1)n-11收敛，2n-n=1∞(-)n∞1当时，∑()n-1t=-11n=1-12n-1=∑(-2n-1)发散n=1故-11时，即|x|>2时，原级数发散因此收敛半径R=2∞)n(当x=2时，级数∑-12n,级数为交错级数且收敛n=1∞()n-1当x=-2时，级数为∑-1,级数收敛2nn=1故原级数的收敛域为[-2，2]??4??+1求幂级数∑4??+1的和函数。??=1∞4??+1′∞4??+1′∞??4????4??解:因为(∑=∑(4??+1)=∑??=1-??44??+1)??=1??=1??=1∞??4??+1????4??-(1-??4)+1所以∑????4??+1=∫1-??4????=∫1-??4??=100??1111=∫(-1+?+?21+??221)dx0-??21????????????????1????1+??=2-+41-??(|??|<1)∞∞1??2n+12??+6.求幂级数∑的和函数，并求所给数项级数∑??的和。n!??=0!n=0∞??2n+1解：幂级数∑的收敛区间为-∞
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