2．4.1 抛物线的标准方程 平面直角坐标系内，有以下点和直线A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3. 问
题
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1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝12x. 问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝－12x. 问题3：到定点C和定直线l3或到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢？ 提示：x2＝12y，x2＝－12y. 抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程张口方向y2＝2px(p＞0)x＝－向右y2＝－2px(p＞0)x＝向左x2＝2py(p＞0)y＝－向上x2＝－2py(p＞0)y＝向下 1．平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线．定点F不在定直线l上，不然点的轨迹是过点F垂直于直线l的垂线． 2．抛物线的标准方程有四种形式，极点都在座标原点，焦点在座标轴上． 由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程 [例1] 已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． [思路点拨] 由题意y＝ax2，(a≠0)，可化为x2＝y，再依照抛物线的标准方程得焦点和准线方程． [精解详析] 将抛物线方程化为标准方程 x2＝y(a≠0)，明显抛物线焦点在y轴上， (1)当a>0时，p＝， ∴焦点坐标F， 准线方程y＝－. (2)当a<0时，p＝， ∴焦点坐标F， 准线方程y＝－， 综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是F，准线方程是y＝－. [一点通] 依据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应第一把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，而后写出焦点及准线． 1．(北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________． 分析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：2 x＝－1 2．已知抛物线的方程以下，分别求其焦点坐标和准线方程． (1)x2＝4y； (2)2y2＋5x＝0. 解：(1)由抛物线标准方程知抛物线焦点在y轴正半轴上，张口向上． ∵p＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1. (2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－x， ∴2p＝，p＝，张口向左． ∴焦点坐标为，准线方程为x＝. 求抛物线标准方程 [例2] 依据以下条件求抛物线的标准方程． (1)已知抛物线的准线方程为x＝－3； (2)已知抛物线的焦点坐标是(，0)． [思路点拨] 依据题目中给出的焦点或准线，可以确立抛物线的张口方向，而后设出抛物线的标准方程． [精解详析] (1)设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－，则－＝－3，∴p＝6. ∴抛物线标准方程为y2＝12x. (2)设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)焦点坐标为，∴＝，∴p＝5. ∴抛物线标准方程为y2＝10x. [一点通] 待定系数法求抛物线标准方程的步骤： (1)依照题目中的条件确立抛物线的标准形式；(定形) (2)充分利用数形结合确立抛物线的张口方向；(定位) (3)利用题中所给数据确立p.(定量) 3．以双曲线－＝1的右极点为焦点的抛物线的标准方程为____________________． 分析：双曲线－＝1的右极点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 4．依据以下条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 抛物线方程的应用 [例3] 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的地址． [思路点拨] 建立直角坐标系，设出标准方程为y2＝2px(p>0)，而后依据条件，找出点的坐标，求出p. [精解详析] 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的极点(即抛物线的极点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径． 设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)． 由已知条件可知点A(40,30)，代入方程，得p＝. ∴所求抛物线的标准方程是y2＝x，焦点坐标是. [一点通] 将实质问题转变成数学问题，需要建立合适的直角坐标系，再依据条件确立抛物线的标准方程的种类．这里，直角坐标系的建立特别重要，同学们要认真观察实物的形状，依据实物形状“合适”建立． 5．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标． 解：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程y2＝2px(p>0)，可知其准线为x＝－，即＋9＝10，则p＝2，所以抛物线为y2＝4x，当x＝9时，y2＝36，得y＝±6，所以点M的坐标为(9,6)或(9，－6)． 6．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y. 7．一辆卡车高3m，宽1.6m，欲经过断面为抛物线型的地道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车经过的a的最小整数值． 解：以地道极点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，以以下图． 设地道所在抛物线方程为x2＝my， 则2＝m·， ∴m＝－a. 即抛物线方程为x2＝－ay. 将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay， 即y＝－. 欲使卡车经过地道，应有y－>3， 即－>3. ∵a>0，∴a>12.21. ∴a应取13. 确立抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但因为标准方程有四各种类，所以，还应确立张口方向，当张口方向不确准时，应进行分类谈论．有时也可设标准方程的一致形式，防备谈论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)． [对应课时追踪训练(十二)] 1．抛物线x2＝8y的焦点坐标是________． 分析：由抛物线方程x2＝8y知，抛物线焦点在y轴上，由2p＝8，得＝2，所以焦点坐标为(0,2)． 答案：(0,2) 2．已知抛物线的极点在原点，焦点在x轴上，其上的点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为________． 分析：因为抛物线极点在原点、焦点在x轴上，且过p(－3，m)，可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)， 由抛物线的定义可知，3＋＝5.∴p＝4. ∴抛物线方程为y2＝－8x. 答案：y2＝－8x 3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________． 分析：椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，由＝2，得p＝4. 答案：4 4．抛物线x2＝－ay的准线方程是y＝2，则实数a的值是________． 分析：由条件知，a＞0，且＝2，∴a＝8. 答案：8 5．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________． 分析：y2＝4x的焦点为(1,0)，则c＝1，＝2， ∴a＝，即m＝a2＝，n＝c2－a2＝， ∴mn＝×＝. 答案： 6．依据以下条件，分别求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左极点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5. 解：(1)双曲线方程化为－＝1，左极点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，且＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由抛物线定义，得5＝AF＝. 又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 7．设抛物线y2＝mx(m≠0)的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程． 解：当m＞0时，由2p＝m，得＝，这时抛物线的准线方程是x＝－. ∵抛物线的准线与直线x＝1的距离为3， ∴1－＝3，解得m＝8， 这时抛物线的方程是y2＝8x. 当m＜0时，－1＝3，解得m＝－16. 这时抛物线的方程是y2＝－16x. 综上，所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x. 8．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2m时，水宽4m，若水面降落1m，求水的宽度． 解：如图建立直角坐标系． 设抛物线的方程为x2＝－2py， ∵水面离拱顶2m时， 水面宽4m， ∴点(2，－2)在抛物线上， ∴4＝4p，∴p＝1.∴x2＝－2y， ∵水面降落1m，即y＝－3，而y＝－3时，x＝±， ∴水面宽为2m. 即若水面降落1m，水面的宽度为2m.
浙公网安备 33021202002483