工程优化设计与MATLAB实现第二讲2

2、MATLAB的符号(fúhào)运算——matlab不仅具有数值运算功能，还开发(kāifā)了在matlab环境下实现符号计算的工具包Symbolic、MathToolbox。符号计算是matlab数值运算的扩展，在运算过程中以符号表达式或符号矩阵为运算对象，对象是一个字符，数字也被当作(dānɡzuò)字符来处理。第一页，共34页。符号运算(yùnsuàn)的功能符号表达式、符号矩阵的创建符号线性代数(xiànxìnɡdàishù)因式分解、展开和简化符号代数方程求解符号微积分符号微分方程第二页，共34页。运算对象可以是没赋值的符号变量可以获得任意(rènyì)精度的解SymbolicMathToolbox——符号运算工具包通过调用Maple软件实现符号计算的。maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件的主导地位。　　符号(fúhào)运算的特点第三页，共34页。1.什么是符号运算与数值运算的区别※数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。　※符号运算无须事先对独立(dúlì)变量赋值，运算结果以 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的符号形式表达。第四页，共34页。2.符号(fúhào)变量与符号(fúhào)表达式f='sin(x)+5x'f——符号变量名sin(x)+5x——符号表达式''——符号标识符号表达式一定(yīdìng)要用''单引号括起来matlab才能识别。''的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。第五页，共34页。例：f1='ax^2+bx+c'——二次三项式f2='ax^2+bx+c=0'——方程f3='Dy+y^2=1'——微分方程※符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便(fāngbiàn)；也可以不赋给符号变量直接参与运算第六页，共34页。用字符串直接创建矩阵模仿matlab数值矩阵的创建方法需保证(bǎozhèng)同一列中各元素字符串有相同的长度。例：A=['[a,2*b]';'[3*a,0]']A=[a,2*b][3*a,0]3.符号(fúhào)矩阵的创建第七页，共34页。用函数sym创建矩阵（symbolic)命令格式(géshi)：A=sym('[]')※符号矩阵内容同数值矩阵※需用sym指令定义※需用''标识第八页，共34页。例如：A=sym('[a,2*b;3*a,0]')A=[a,2*b][3*a,0]这就完成了一个符号(fúhào)矩阵的创建。注意：符号(fúhào)矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与matlab数值矩阵的一个重要区别。第九页，共34页。符号矩阵的修改(xiūgǎi)可用、键找到所要修改(xiūgǎi)的矩阵，直接修改(xiūgǎi)用A1=subs(A,'new','old')来修改(xiūgǎi)第十页，共34页。例如(lìrú)：A=[a,2*b][3*a,0]A(2,2)='4*b'A=[a,2*b][3*a,4*b]A2=subs(A,'c','b')A2=[a,2*c][3*a,4*c]第十一页，共34页。符号矩阵(jǔzhèn)与数值矩阵(jǔzhèn)的转换将数值矩阵(jǔzhèn)转化为符号矩阵(jǔzhèn)函数调用格式：sym(A)A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5]A=sym(A)ans=[1/3,5/2][10/7,2/5]第十二页，共34页。将符号矩阵转化(zhuǎnhuà)为数值矩阵函数调用格式：numeric(A)A=[1/3,5/2][10/7,2/5]numeric(A)ans=第十三页，共34页。符号矩阵运算数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比较直观、简单。例如：a=b+c;a=a*b；A=2*a^2+3*a-5等。而符号运算就不同了，所有涉及符号运算的操作都有专用函数(hánshù)来进行。二、符号(fúhào)运算第十四页，共34页。例1：f=2*x^2+3*x-5;g=x^2+x-7;>>symsx>>f=2*x^2+3*x-5;g=x^2+x-7;>>h=f+gh=3*x^2+4*x-12例2：f=cos(x);g=sin(2*x);>>symsx>>f=cos(x);g=sin(2*x);>>f/g+f*gans=cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x)第十五页，共34页。2.因式(yīnshì)的分解、展开、化简factor函数的功能为：把多项式S分解为多个(duōɡè)因式，各多项式的系数均为有理数。格式为：factor(s)expand函数的功能为：把多项式和初等函数的符号展开，也可以展开三角函数，指数和对数函数。格式为：expand(s)simple函数的功能为：搜索符号表达式的最简形式。格式为：simple(s)第十六页，共34页。例3：symsax;f1=x^5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)ans=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)例4：symsxfactor(x^9-1)ans=(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)第十七页，共34页。例5：symsxy;expand(cos(x+y))ans=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)例6：f=sym('cos(x)^2+sqrt(x^2+2*x+1)+sin(x)^2');F=simple(f);F=simple(F)第十八页，共34页。极限(jíxiàn)limit函数的调用格式为：(1)limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数(chángshù)a时，f(x)函数的极限值。(2)limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。第十九页，共34页。(3)limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有(méiyǒu)指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。(4)limit(f,x,a,'right')：求符号函数f的极限值。'right'表示变量x从右边趋近于a。(5)limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数f的极限值。‘left’表示变量x从左边趋近于a。第二十页，共34页。例7求下列(xiàliè)极限极限(jíxiàn)1：symsamx;f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a);limit(f,x,a)ans=(1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a极限(jíxiàn)2：symsxt;limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)第二十一页，共34页。diff(f)—对缺省变量(biànliàng)求微分diff(f,v)—对指定变量(biànliàng)v求微分diff(f,v,n)—对指定变量(biànliàng)v求n阶微分int(f)—对f表达式的缺省变量(biànliàng)求不定积分int(f,v)—对f表达式的v变量(biànliàng)求不定积分int(f,v,a,b)—对f表达式的v变量(biànliàng)在（a,b)区间求定积分第二十二页，共34页。mtaylor(f,n)——泰勒(tàilè)级数展开ztrans(f)——Z变换Invztrans(f)——反Z变换Laplace(f)——拉氏变换Invlaplace(f)——反拉氏变换fourier(f)——付氏变换Invfourier(f)——反付氏变换第二十三页，共34页。例9:求导数(dǎoshù)symsx%定义(dìngyì)符号变量diff(sin(x^2))%求导运算ans=2*cos(x^2)*x第二十四页，共34页。>>symsxy>>F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)F=1/y*exp(-x*y)第二十五页，共34页。键入(jiànrù)：1/12+1/22+1/32+1/42+……symsksymsum(1/k^2,1,Inf)%k值为1到无穷大ans=1/6*pi^2其结果为：1/12+1/22+1/32+1/42+……=π2/6第二十六页，共34页。>>symsatx;f=[a,t^3;t*cos(x),log(x)];df=diff(f)dfdt2=diff(f,t,2)dfdxdt=diff(diff(f,x),t)df=[0,0][-t*sin(x),1/x]dfdt2=[0,6*t][0,0]dfdxdt=[0,0][-sin(x),0]第二十七页，共34页。matlab符号运算能够解一般的线性方程、非线性方程及一般的代数方程、代数方程组。当方程组不存在符号解时，又无其他自由参数(cānshù)，则给出数值解。命令格式：solve(f)——求一个方程的解Solve(f1,f2,…fn)——求n个方程的解第二十八页，共34页。例13.f=ax2+bx+c求解(qiújiě)f='a*x^2+b*x+c';solve(f)——对缺省变量x求解(qiújiě)ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]计算机格式(géshi)一般(yībān)格式第二十九页，共34页。例14.解方程组x+y+z=1x-y+z=22x-y-z=1g1='x+y+z=1',g2='x-y+z=2',g3='2*x-y-z=1'f=solve(g1,g2,g3)f=solve('x+y+z=1','x-y+z=2','2*x-y-z=1')第三十页，共34页。f=x:[1x1sym]y:[1x1sym]z:[1x1sym][x,y,z]=solve('x+y+z=1','x-y+z=2','2*x-y-z=1')disp(f.x),disp(f.y),,disp(f.z)x=2/3y=-1/2z=5/6第三十一页，共34页。5.符号微分方程求解——用一个函数可以方便地得到微分方程的符号解符号微分方程求解指令：dsolve命令格式：dsolve(f,g)f——微分方程，可多至12个微分方程的求解；g为初始条件默认(mòrèn)自变量为'x',可任意指定自变量't','u'等微分方程的各阶导数项以大写字母D表示第三十二页，共34页。例15.y=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=0','y(0)=1','Dy(0)=0')ans=exp(-x)*cos(x)+exp(-x)*sin(x)ezplot(y)——方程解y(t)的时间(shíjiān)曲线图求该方程(fāngchéng)的解第三十三页，共34页。第三十四页，共34页。