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学而思初一数学春季班第13讲全等中的基本模型.目标满分班教师版

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学而思初一数学春季班第13讲全等中的基本模型.目标满分班教师版13全等中的基本模型满分晋级阶梯三角形7级三角形6级倍长中线与截长补短三角形5级特殊三角形之等腰三角形全等中的基本模型春季班暑期班暑期班第十三讲第五讲第六讲漫画释义爸爸怎么样啦?初一春季·第13讲·目标满分班·教师版1知识互联网题型一:平移型全等思路导航把一个图形经过平移、翻折、旋转后,它们的位置虽然变化了,但是形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.我们把平移、翻折(轴对称)、旋转称为几何变换.这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形.常见平移模型例题精讲DEA初一春季·第13讲·目标满分班·教师...

学而思初一数学春季班第13讲全等中的基本模型.目标满分班教师版
13全等中的基本模型满分晋级阶梯三角形7级三角形6级倍长中线与截长补短三角形5级特殊三角形之等腰三角形全等中的基本模型春季班暑期班暑期班第十三讲第五讲第六讲漫画释义爸爸怎么样啦?初一春季·第13讲·目标满分班·教师版1知识互联网题型一:平移型全等思路导航把一个图形经过平移、翻折、旋转后,它们的位置虽然变化了,但是形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.我们把平移、翻折(轴对称)、旋转称为几何变换.这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形.常见平移模型例题精讲DEA初一春季·第13讲·目标满分班·教师版FB2C【引例】如图,A、E、F、B四点在一条直线上,ACCE,BDDF,AEBF,ACBD.求证:CFDE【解析】∵ACCE,BDDF∴ACEBDF90在Rt△ACE和Rt△BDF中ACBDAEBF∴Rt△ACE≌Rt△BDFHL∴CEDF,AECBFD∴CEFDFE在△CEF和△DFE中CEDFCEFDFEEFFE∴△CEF≌△DFE∴CFDE典题精练【例1】如图1,A、B、C、D在同一直线上,ABCD,DE∥AF,且DEAF.求证:△AFC≌△DEB如果将BD沿着AC边的方向平行移动,图2,B点与C点重合时;图3,B点在C点右侧时,其余条件不变,结论是否成立,如果成立,请选择一种情况请予证明;如果不成立,请说明理由.EEEBCADAACB(C)DBDFFF图1图2图3【解析】∵DE∥AF,∴AD.∵ABCD,∴ABBCCDBC,即ACDB.ACDB在△AFC和△DEB中,AD,AFDE∴△AFC≌△DEB(SAS).另两结论均成立,证明同上.初一春季·第13讲·目标满分班·教师版3题型二:对称型全等思路导航常见轴对称模型典题精练E【例2】如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折到同一平面内形成的.若1:2:315:2:1,则4________.D4【解析】60;由外角得422360°.A213BC【例3】如图,ABAC,D、E分别是AB、AC的中点,AMCD于M,AANBE于N.求证:AMAN.【解析】证法一:MNDE∵ABAC,∴ABCACB.BC∵D、E是AB、AC的中点,∴DBEC,ADAE.在△DBC与△ECB中,BCCB,DBCECB,DBEC,∴△DBC≌△ECB.∴BDCCEB∵ADMBDC,AENCEB,∴ADMAEN.在△AMD与△ANE中,MN90,ADAE,ADMAEN,∴△AMD≌△ANE,初一春季·第13讲·目标满分班·教师版4∴AMAN.证法二:A∵ABAC,D、E是AB、AC的中点,∴ADAE.MN在△DAC与△EAB中,DEABAC,AEAD,DACEAB,B∴△DAC≌△EAB,C∴ACDABE.又∵AMCD于M,ANBE于N.∴MN90,在△AMC与△ANB中,ACAB,ACMABN,MN,∴△AMC≌△ANB,∴AMAN.证法三:∵ABAC,D、E是AB、AC的中点,A11∴SS,SS,ADAE,△ADC2△ABC△AEB2△ABCMN∴SS,DE△ADC△AEB在△ADC与△AEB中,BCADAE,ACAB,DACEAB,∴△ADC≌△AEB,∴CDBE.11∴CDAMBEAN,22∴AMAN.题型三:旋转型全等思路导航常见旋转模型:初一春季·第13讲·目标满分班·教师版5例题精讲【引例】如图,在△ABC中,A:B:ACB3:5:10,若将△ACBA'绕点C逆时针旋转,使旋转后的△ABC中的顶点B在原三B角形的边AC的延长线上时,求BCA的度数.【解析】∵A:B:ACB3:5:1010B'A∴ACB180100C18∵由△ACB绕点C旋转得到△A'B'C∴A'CB'100∵ACBA'CB'BCA'180∴BCA'100218020典题精练【例4】如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.GF求证:⑴AECG;⑵AECG.【解析】∵ADCEDG∴CDGADEAO在△CDG和△ADE中MCDADBDECDGADEDGDEC∴△CDG≌△ADE∴AECG,CGDAED∵DMEAED90∴OMG+CGD90即GOM90°∴AECG【点评】可拓展证明AG2CE2AC2GE2.NMF【例5】如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.DEACB初一春季·第13讲·目标满分班·教师版6请你证明:⑴ANBM;⑵MFA60;⑶△DEC为等边三角形;⑷DE∥AB.【解析】此图是旋转中的基本图形.其中蕴含了许多等量关系.MCN60,ANBM,CDCE,ADME,NDBE;AM∥CN,CM∥BN;DE∥AB;△ACN≌△MCB,△ADC≌△MCE,△NDC≌△BEC;△DEC为等边三角形.⑴∵△ACM、△CBN是等边三角形,∴MCAC,CNCB,ACNMCB∴△ACN≌△MCB,∴ANBM.(找出图中所有的全等三角形,及相等的线段)⑵MFANABMBABMCMBAMCA60.(找出图中所有的60角)⑶由△ACN≌△MCB易推得△NDC≌△BEC,所以CDCE,又MCN60,进而可得△DEC为等边三角形.⑷由⑶易得DE∥AB.AFCBFC以后学习证明.题型四:辅助线添加初步思路导航辅助线:在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.添辅助线的作用:凸显和集散1.揭示图形中隐含的性质:当条件与结论间的逻辑关系不明朗时,通过添加适当的辅助线,将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来,以便取得过渡性的推论,达到推导出结论的目的.2.聚拢集中原则:通过添置适当的辅助线,将图形中分散、远离的元素,通过变换和转化,使他们相对集中,聚拢到有关图形上来,使题设条件与结论建立逻辑关系,从而推导出要求的结论.3.化繁为简原则:对一类几何命题,其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中,其逻辑关系不明朗,通过添置适当辅助线,把复杂图形分解成简单图形,从而达到化繁为简、化难为易的目的.4.发挥特殊点、线的作用:在题设条件所给的图形中,对尚未直接显现出来的各元素,通过添置适当辅助线,将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来,并充分发挥这些特殊点、线的作用,达到化难为易、导出结论的目的.5.构造图形的作用:对一类几何证明题,常须用到某种图形,这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现,必须添置这些图形,才能导出结论,常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.初一春季·第13讲·目标满分班·教师版7典题精练【例6】如图1,已知△ABC中,ABBC1,∠ABC90,把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.直线DE交直线AB于M,直线DF交直线BC于N.⑴在图1中,①证明DMDN;②在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积;⑵继续旋转至如图2的位置,DMDN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;⑶继续旋转至如图3的位置,DMDN是否仍然成立?请写出结论,不用证明.(海淀区期末考试)【解析】⑴①方法一:连接BD,在Rt△ABC中,AD∵ABBC,ADDC.M∴DBDCAD∠BDC90,.EBNC∴∠ABD∠C45.∵∠MDB∠BDN∠CDN∠BDN90,∴∠MDB∠NDC.∴△BMD≌△CND.F∴DMDN.方法二:∵∠A∠DBN45.∠ADM∠MDB∠BDN∠MDB90.初一春季·第13讲·目标满分班·教师版8∴∠ADM∠BDN.∴△ADM≌△BDN.∴DMDN.②四边形DMBN的面积不发生变化;由①知:△BMD≌△CND,∴SS.△BMD△CND11∴SSSSSSS.四边形DMBN△DBN△DMB△DBN△DNC△DBC2△ABC4⑵DMDN仍然成立,证明:连接DB.A在Rt△ABC中,∵ABBC,ADDC,D∴DBDC,∠BDC90.∴∠DCB∠DBC45.BNC∴∠DBM∠DCN135.M∵∠CDN∠CDM∠BDM∠CDM90,FE∴∠CDN∠BDM.∴△CDN≌△BDM.∴DMDN.F⑶DMDN.AEDMBNC【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线,这属于辅助线里最基本的添加方式.【例7】在四边形ABCD中,ABCD,AB∥CD,求证:ADBC.ABABDCDC【解析】连接BD∵AB∥CD,∴ABDCDB在△ABD和△CDB中初一春季·第13讲·目标满分班·教师版9ABCDABDCDBBDDB∴△ABD≌△CDB∴ADCB.【例8】如图所示:AFCD,BCEF,ABDE,AD.求证:BC∥EF.【解析】分别连接BF、CE、BE,利用SAS证得△ABF≌△DEC,∴BFCE,利用SSS证得△BFE≌△ECB,∴BEFEBC,∴BC∥EF.【点评】充分考虑已给条件,添加辅助线凸显条件.思维拓展训练(选讲)训练1.如图所示:ABAC,ADAE,CD、BE相交于点O.求证:AO平分DAE.【解析】利用SAS证得△ABE≌△ACD,∴ED,根据已知可得BDCE,利用AAS证得△BOD≌△COE,∴ODOE,利用SAS证得△AOD≌△AOE,∴OADOAE,∴AO平分DAE训练2.如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高,点P在BDA的延长线上,BPAC,点Q在CE上,CQAB.PD求证:⑴APAQ;⑵APAQ.EQ初一春季·第13讲·目标满分班·教师版BC10【解析】∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高,∴ABDACE,∵BPAC,CQAB,∴△ABP≌△QCA,∴APAQ,APBQAC.∵BPAC,∴ADP90,∴APBDAP90,∴CAQDAP90,A即PAQ90,∴APAQ.BE训练3.在凸五边形中,BE,CD,BCDE,M为CD中点.求证:AMCD.CMD【解析】延长AB、AE,交直线CD于F、G.∵ABCAED.A∴FBCGED.∵BCMEDM.∴BCFEDG.BE∴在△BCF与△EDG中FBCGEDFCMDGBCEDBCFEDG∴△BCF≌△EDG(ASA)∴FG.FCGD.∴AGAF∵CMMD∴FMMG∴在△AMF与△AMG中AMAMFMMGAFAG∴△AMF≌△AMGSSS180∴AMFAMG90,2∴AMCD训练4.如图,ABAE,ABCAED,BCED,点F是CD的中点.求证:AFCD.初一春季·第13讲·目标满分班·教师版11AABEBECFDCFD【解析】连接AC、AD.∵ABAE,ABCAED,BCED∴△ABC≌△AED,∴ACAD又∵F为CD的中点,∴FCFD∴△ACF≌△ADF∴AFCAFD即AFBE.复习巩固题型一平移型全等巩固练习【练习1】⑴如图⑴,若ABCD,A、E、F、C在一条直线上,AECF,过E、F分别作DEAC,BFAC.求证:BD平分EF.⑵若将△DEC的边EC沿AC方向移动到图⑵的位置时,其他条件不变,上述结论是否成立?初一春季·第13讲·目标满分班·教师版12请说明理由.BBFEACACEGFGDD(1)(2)【解析】⑴∵AECF,∴AEEFCFEF,即AFCE,∵DEAC,BFAC,∴AFBCED90∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴BFDE,又BGFDGE,∴△BGF≌△DGE,∴EGFG,即BD平分EF⑵仍然成立.证明方法同上,不再赘述.【点评】此题难度不大,老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质,以及综合题的命题形式和思路.O题型二对称型全等巩固练习【练习2】已知:如图,OP是AOC和BOD的平分线,OAOC,OBOD.求证:ABCD.(北京市中考题)BDCAP【解析】证明:∵OP是AOC和BOD的平分线,∴AOPCOP,BOPDOP∴AOBCOD在△AOB和△COD中,OAOC,AOBCOD,OBOD,∴△AOB≌△COD∴ABCD题型三旋转型全等巩固练习【练习3】如图所示,已知过△ABC的顶点A作AFAB且使AFAB,过A作AHAC,且使AHAC.求证:BHFC.F【解析】∵AFAB,AHAC,∴FABHAC90HFABBACHACBACFACBAH∴,即4A3又AFAB,AHAC21初一春季·第13讲·目标满分班·教师版13BC∴△ABH≌△AFC∴41又23,3490∴1290,∴BHFC【练习4】如图,已知△ABD和△AEC都是等边三角形,DAFCD于F,AHBE于H,请问:AF和AH有何关系?请说明理由.AE【解析】∵△ABD和△AEC都是等边三角形,FH∴ADAB,ACAE,DABCAE60,O∴DACBAE,BC∴△ADC≌△ABE,∴ADFABH,∵AFCD,AHBE,∴AFDAHB90,∴△ADF≌△ABH,∴AFAH.题型四辅助线添加初步巩固练习【练习5】如图①,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.⑴如图②,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;⑵若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,⑴中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.FD(F)CDCDCFONOOGMEA(G)B(E)ABABG①②E③【解析】⑴BMFN.∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,∴ABDF45,OBOF.又∵BOMFON,∴△OBM≌△OFN.即BMFN.初一春季·第13讲·目标满分班·教师版14⑵BMFN仍然成立.理由是:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,∴DBAGFE45,OBOF.∴MBONFO135.又∵BOMFON,∴△OBM≌△OFN.∴BMFN.NFD(F)CDCDCFNOOOGEMA(G)B(E)ABABMG①②E③初一春季·第13讲·目标满分班·教师版15第十四种品格:信念天堂的位置在得克萨斯州的一所小学里,一群天真无邪的孩子经常向玛琳娜老师询问天堂在哪里。为了满足孩子们的好奇和求知欲望,玛琳娜老师请来了莫迪神父。莫迪神父首先在黑板中间画了一条线,把黑板分成两边,左边写着“天堂”,右边写着“地狱”,然后对孩子们说:“我要求你们每一个人分别在‘天堂’和‘地狱’下面写下与你们的想像或期望相符的内容。”孩子心目中的天堂就这样呈现出来了:花朵、欢笑、树木、天空、爱情、阳光、诗歌、春天、音乐……在“地狱”这一边,孩子们写下了这样一些字眼:黑暗、肮脏、恶魔、哭泣、残杀、恐怖、仇恨、流血、丑陋……等孩子们写完之后,神父对他们说:“正如大家所知道的,天堂是具备了一切美好事物与美好心灵的地方。地狱正好相反,是亢斥了一切丑恶事物与丑恶心灵的地方。那么,人间在哪里呢?”神父告诉孩子们:“人间不是介于天堂与地狱之间。人间既是天堂,也是地狱。当我们心里充满爱的时候,就是身处天堂,当我们心里怀着怨恨的时候,就是住在地狱!”如果人一直怀着丑恶的心态生活,无论他处在什么环境,他的生活也是黑暗的;如果一个人内心充满了美好的感情,有着爱与善的品质,那他就是天堂里的人。今天我学到了初一春季·第13讲·目标满分班·教师版16
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