北京市房山区20182019学年高二下学期期末考试数学试题含解析

2019北京房山高二（下）期末数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回，试卷自行保存。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项。1.抛物线x28y的焦点坐标为A.（0，2）B.（2，0）C.（0，4）D.（4，0）【答案】A【分析】【分析】依据抛物线 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程求得p，从而得焦点坐标．【详解】由题意2p8，p4，∴焦点在y轴正方向上，坐标为(0,2)．应选A．【点睛】本题观察抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．2.复数2的共轭复数是1iA.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i【答案】D【分析】【分析】化简复数为标准形式，而后写出共轭复数．22(1i)【详解】(1i)(11i，其共轭复数为1i．1ii)应选D．【点睛】本题观察复数的除法运算，观察共轭复数的看法，属于基础题．x2y22，则m=3.已知双曲线1的离心率为m2A.4B.2C.2D.1【答案】B【分析】【分析】依据离心率公式计算．【详解】由题意ccm2m2，∴e2，解得m2．am应选B．【点睛】本题观察双曲线的离心率，解题要点是掌握双曲线的标准方程，由方程确立a,b．4.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD+1（2BC-BD）等于ADFAAFEF【答案】C【分析】【分析】由向量的线性运算的法规计算．【详解】BC-BD＝DC，1(BCBD)1DCDF，22∴AD+1（BC-BD）ADDFAF．2应选C．【点睛】本题观察空间向量的线性运算，掌握线性运算的法规是解题基础．5.若d=（4，2，3）是直线l的方向向量，n=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的地址关系是A.垂直B.平行C.直线l在平面α内D.订交但不垂直【答案】【分析】【分析】D判断直线l的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的地址关系．【详解】明显d与n不平行，所以直线l与平面不垂直，又dn4(1)233，0即d与n不垂直，从而直线l与平面不平行，故直线l与平面订交但不垂直．应选D．【点睛】本题观察用向量法判断直线与平面的地址关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数目积运算判断直线的方向向量与平面的法向量能否平行和垂直，而后可得出直线与平面的地址关系．6.“m≠0”是“方程x2y2=m表示的曲线为双曲线”的A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件【答案】C【分析】【分析】依据双曲线的标准方程进行判断．【详解】m0时，方程x2y20表示两条直线yx，m0时，方程可化为x2y20时表示焦点在x轴上的双曲线，m0时表示焦点在y轴上的双曲线．m1，mm应选C．【点睛】本题观察双曲线的标准方程，观察充分必需条件，解题要点是掌握双曲线的标准方程．7.如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则以下结论错误的选项是平面D1A1P平面A1APAPD1的取值范围是（0，]2C.三棱锥B1D1PC的体积为定值D.DC1D1P【答案】B【分析】【分析】依据线面地址关系进行判断．【详解】∵D1A1平面AA1P，∴平面D1A1P平面A1AP，A正确；若P是A1B上凑近A1的一个四均分点，可证此时D1PA为钝角，B错；因为BP//CD1，则BP//平面B1D1C，所以PB1D1C的底面是确立的，高也是定值，其体积为定值，C正确；D1P在平面CC1D1D上的射影是直线D1C，而D1CDC1，所以DC1D1P，D正确．应选B．【点睛】本题观察空间线面间的地址关系，观察面面垂直、线面平行的判断，观察三垂线定理等，所用知识许多，属于中档题．8.设F是椭圆x2y2=1的右焦点，椭圆上最少有i··）PF，21个不一样的点P（i=1,2,3,12516P2F，P3F，···构成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为231D.1A.B.C.105105【答案】B【分析】【分析】求出椭圆点到F的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．【详解】椭圆x2y25,b4,c3，而PF的最大值为ac8，最小值为251中a16ac2，∴PFPF20d826，d3211．10应选B．【点睛】本题观察椭圆的焦点弦的性质，观察等差数列的性质，难度不大．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。9.已知a,b∈R,i是虚数单位，（a+bi）i=2+3i，则a=____________,b=____________【答案】(1).3(2).-2【分析】【分析】求出abi．【详解】由题意23i3，b2．abi32i，∴ai故答案（1）3；（2）－2．【点睛】本题观察复数的运算，观察复数的看法，属于基础题．10.在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），N（-1，1，2），则线段MN的长度为____________【答案】6【分析】【分析】依据两点间距离公式计算．【详解】MN[1(1)]2(01)2(12)26．故答案为6．【点睛】本题观察空间两点间距离公式，属于基础题．311.若双曲线的渐近线方程为y=±x，则满足条件的一个双曲线的方程为____________2【答案】x2y2=1（答案不独一）49【分析】【分析】由双曲线标准方程与渐近线方程的关系可得．【详解】渐近线方程为y=±3x的双曲线方程为(3xy)(3xy)(0)，则222x2y21就是此中之一．49故答案为x2y21．49【点睛】本题观察双曲线的几何性质：渐近线，与双曲线x2y21共渐近线的双曲线方a2b2程为x2y2(0)，此方程对焦点没有要求，即焦点可在x轴上，也可在y轴上．a2b212.如图，在长方形ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则AC1·BC等于____________【答案】1【分析】【分析】采用AB,AD,AA1为基底，把其他向量都用基底表示后计算．【详解】由题意AC1BC(ABADAA1)ADABADADADAA1AD2AD1．故答案为1．【点睛】本题观察空间向量的数目积，解题要点是采用基底，把向量用基底表示后再进行计算．13.已知椭圆x2y21（a>b>0）的离心率为eF1，F2分别为椭圆的两个焦点，若椭圆a2b2，上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则满足条件的一个e的值为____________【答案】3（答案不独一，2 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ，演算步骤或证明过程。15.已知复数z1a2i,z234i（∈R,i为虚数单位）a（I）若z1·z2是纯虚数，务实数a的值；（II）若复数z1在复平面上对应的点在第二象限，务实数a的取值范围z2【答案】（Ⅰ）a3（II）3a8823【分析】【分析】（I）计算出z1z2，由其实部为0，虚部不为0可求得a值；（II）计算出z1，由其实部小于0，虚部大于0可求得a的取值范围．z2【详解】解：（I）由复数z1a2i,z234i得z1·z2=（a2i）（34i）=3a+8+（6-4a）i若z1·z2是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-83（II）z1=a2ia2i34i3a864aiz234i34i34i2525若z1在复平面上对应的点在第二象限，则有3a80z264a0解得-3a823【点睛】本题观察复数的乘除运算，观察复数的看法与几何性质，属于基础题．16.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，CC1=4，D为BC的中点I）求证：AC⊥平面ABB1A1；II）求证：A1C∥平面ADB1；III）求平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值【答案】（Ⅰ）见分析（II）见分析（III）23【分析】【分析】I）CC1⊥平面ABC，得AA1⊥平面ABC，从而AA1⊥AC，再结合已知可证得线面垂直；II）连接A1B，与AB1订交于点O，连接DO，可证DO∥A1C，从而证得线面平行；III）以AB,AA1,AC为x,y,z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两平面ADB1和平面ACC1A1的法向量，由法向量的夹角余弦值求得二面角的余弦值．【详解】（I）∵CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC又AC⊥AB，AB∩AA1=A∴AC⊥平面ABB1A1·（II）连接A1B，与AB1订交于点O，连接DO∵D是BC中点，O是A1B中点，则DO∥A1C，AC平面ADB1，DO平面ADB11A1C平面ADB1III）由（I）知，AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB如图建立空间直角坐标系A-xyz·则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，4，0），D（1，0，1），AD=（1，0，1），AB1=2，4，0）设平面ADB1的法向量为n=（x,y,z），则n·ADxz0，即4y0n·AB12x取y=1，得n=（-2，1，2）平面ACC1A1法向量为AB=（2，0，0）Cos=n·AB2n=-·AB3则平面ADB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值为23【点睛】本题观察线面垂直的判断与线面平行的判断，观察用向量法求二面角．立体几何中线面间的平行与垂直一般用判判定理进行证明，而求空间角一般用空间向量法求解．17.已知抛物线C：y2=2px（p>0）准线方程为x=-1,F为抛物线焦点2（I）求抛物线C方程；（II）若P是抛物线C上一点，点A坐标为（7,2）,求PAPF最小值；2（III）若过点F且斜率为1直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标。【答案】（Ⅰ）22x（II）4（III）线段MN中点3，）y坐标为（12【分析】【分析】（）由准线方程p1p，可得抛物线标准方程．I的x求得22（II）把PF转变成P到准线的距离PB，可得B,P,A三点共线时得所求最小值．（III）写出直线MN方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．【详解】（I）∵准线方程x=-1,得p=1，2∴抛物线C的方程为y22x（II）过点P作准线的垂线，垂直为B=PF，则PB要使PA+PF的最小，则P，A，B三点共线此时PA+PF=7+1=4·2III）直线MN的方程为y=x-1·2设M（x1,y1），N（x2,y2），把y=x-1代入抛物线方程y22x,得x2-3x+1=024∵△=9-4×1×1＝8＞04x1x23∴x1+x2=3，=223，纵坐标为31线段MN中点的横坐标为1222线段MN中点的坐标为（3，）12【点睛】本题观察抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转变成这点到准线的距离．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD=AD，E为棱PC中点（I）证明：平面PBC⊥平面PCD；（II）求直线DE与平面PAC所成角正弦值；PM的值，若不存在，说明原由。【答案】（Ⅰ）见分析（II）6（III）存在，PM=13MB3【分析】【分析】（I）由面面垂直的性质定理得PD⊥底面ABCD，从而可得BC⊥平面PCD，而后可证得面面垂直；II）以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，平面的法向量和直线的方向向量的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦；（III）设BM=λBP（0≤λ≤1），由FMBD0求得即可．【详解】（I）∵平面PAD⊥底面ABCD，又PD⊥AD，∴PD⊥底面ABCD∴PD⊥BC又∵底面ABCD为正方形，BC⊥CD∴BC⊥平面PCD∴平面PBC⊥平面PCD，II）由（I）知，PD⊥底面ABCD，AD⊥CD如图以点D为原点建立空间直角坐标系不如设PD=AD=2，可得D（0，0，0），A（2，0，0，），C（0，2，0），P（0，0，2），由E为棱PC的中点，得E（0，1，1），DE（01，，）向量AC=（-2，2，0），PA=（2，0，-2），设n=(x,y,z)为平面PAC的法向量，则n·AC02x2y0n·PA0，即2z02x不如令x=1,可得n=（1，1，1）为平面PAC的一个法向量设直线DE与平面PAC所成角为θ所以sinθ=cosDE,nDE·n6=DE·n3所以，直线DE与平面PAC所成角的正弦值为63III）向量BP=（-2，-2，2），DB=（2，2，0），FB=（1，2，0）由点M在棱PB上，设BM=λBP（0≤λ≤1）故FM=FB+BM=（1-2λ，2-2λ，2λ）由FM⊥DB，得FM·DB=0所以（1-2λ）×2+（2-2λ）×2=0解得λ=3，所以PM=1MB3【点睛】本题观察面面垂直判断与性质，观察直线与平面所成的角，观察立体几何中的存在性问题．解题时要注意线面间的地址关系的证明需用相应的判判定理和性质定理去证明，用求空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等）一般用空间向量法求解，这就要求先建立空间直角坐标系．x2y2的19.已知椭圆M：2b2=1（a>b>c）一个极点坐标为（0，1），焦距为22.若直线y=x+ma与椭圆M有两个不一样的交点A，B（I）求椭圆M的方程；（II）将AB表示为m的函数，并求△OAB面积最大值（O为坐标原点）【答案】（Ⅰ）x2y232，（-20,即m<4）解得：-20x22y24∴y1+y222mm22则x1x2m(y1+y2)22=-42m22由四边形OMEN为平行四边形，获取OEOMON∴E（-4222m）m2，22m2把点E坐标代入曲线C的方程得：m4-4=0，解得m22∴直线l的方程为x2y20【点睛】本题观察求曲线方程，方法是直接法，观察椭圆中的存在性问题，解题方法是设而不求法，即设交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)，设直线l的方程为xmy2，代入椭圆方程后用韦达定理，再把此结论代入题意存在的点所满足的几何条件求出参数m即可．