第八章85平面向量教案

§8.5　空间向量及其运算1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量.(2)相等向量：方向__________且模______的向量.(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量.(4)共面向量：平行于同一个平面的向量.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，b与a的充要条件是________________________.推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则①可化为eq\o(OP,\s\up6(→))＝________________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).(2)共面向量定理的向量表达式：p＝________，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝________________或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝______.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝_____________________.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则__________叫做向量a，b的数量积，记作________，即________________.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝______________；②交换律：a·b＝__________；③分配律：a·(b＋c)＝____________.4.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔________⇔________，________，__________，a⊥b⇔__________⇔____________(a，b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝eq\r(a·a)＝______________，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝____________________________.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________________________________.[难点正本　疑点清源]1.空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将收到事半功倍的效果.比如：(1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，或cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；(3)|a|2＝a·a，用于求距离等.2.要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式.利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证a∥b(b≠0)⇔a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b⇔a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)即可.1.已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则a＋b＝____________.2.下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面.其中不正确的所有命题的序号为__________.3.在四面体O—ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝______________.(用a，b，c表示)4.若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.5.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是__________.(填序号)①eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.题型一　空间向量的线性运算例1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up7(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).探究提高　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.在例1的条件下，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，试用a，b，c表示eq\o(EF,\s\up6(→)).题型二　共线、共面向量定理的应用例2　已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．　探究提高　在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可判定两直线平行.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))).(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.题型三　空间向量性质的应用例3　已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系.探究提高　证明两条直线垂直，一般是用两条直线的方向向量的数量积等于0来加以证明的.已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)(a＋c)与(b＋c)夹角的余弦值.10.“两向量平行”和“两向量同向”不清致误试题：(5分)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a、b同向，则x，y的值分别为__________.学生答案展示　－2，－6或1,3审题视角　(1)a与b同向，则a∥b，利用向量平行的性质列方程求x，y.(2)a与b平行，并不能保证同向，所以还要注意验证.正确答案　1,3解析　由题意知a∥b，所以eq\f(x,1)＝eq\f(x2＋y－2,2)＝eq\f(y,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，,x2＋y－2＝2x，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,,②))把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2，或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－6))时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝3))时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))批阅笔记　(1)a与b同向是a∥b的充分而不必要条件.a∥b是a与b同向的必要而不充分条件.(2)错因分析：两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽略了这一点. 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与技巧1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性质等.2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础.失误与防范1.利用坐标运算解决立体几何问题，降低了推理难度，可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套.2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.3.空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解.4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.课时 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 训练(时间：60分钟)A组　专项基础训练题组一、填空题1.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是________.2.已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值是__________.3.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________.4.已知F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，若F1，F2，F3共同作用于一物体上，使物体从点M1(1，－2,1)移动到点M2(3,1,2)，则合力所做的功是________.5.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为eq\f(8,9)，则λ＝________.6.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.二、解答题7.已知非零向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面.8.已知△ABC的顶点A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，试求(1)△ABC的重心坐标；(2)△ABC的面积；(3)△ABC的AB边上的高.B组　专项能力提升题组一、填空题1.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为________.2.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3)，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为____________．3.已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________.4.已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°；④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中正确命题的序号是________.5.已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.6.设OABC为四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1.若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为______________.二、解答题7.如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．8.如图，直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．答案要点梳理1.(1)大小　方向　(2)相同　相等　(3)平行或重合2.(1)存在实数λ，使得b＝λa　eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))　(2)xa＋yb　eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))　1(3)xe1＋ye2＋ze33.(1)①〈a，b〉　[0，π]　互相垂直②|a||b|cos〈a，b〉　a·b　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉　(2)①λ(a·b)　②b·a　③a·b＋a·c4.(1)a1b1＋a2b2＋a3b3　(2)a＝λb　a1＝λb1　a2＝λb2　a3＝λb3(λ∈R)　a·b＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(3)eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))　eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))　eq\r((a2－a1)2＋(b2－b1)2＋(c2－c1)2)基础自测1.(－2,7,4)　2.②③④　3.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c4.2　5.③题型分类·深度剖析例1　解　(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.变式训练1　eq\f(1,3)(a－b＋c)例2　证明　(1)连结BG，则eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，同理eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→)))))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(\o(OC,\s\up6(→))＋\o(OD,\s\up6(→)))))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．变式训练2　解　(1)由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且基线过同一点M，∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．例3　解　(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，所以|c|＝eq\r((－2m)2＋(－m)2＋(2m)2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2).(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r((－1)2＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－eq\f(5,2)，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－eq\f(5,2).(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，∵λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，∴(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直.变式训练3　(1)a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，c＝(3，－2,2)　(2)－eq\f(2,19)课时规范训练A组1.0　2.2，eq\f(1,2)或－3，eq\f(1,2)　3.eq\f(3\r(5),5)　4.145.－2或eq\f(2,55)　6.60°7.证明　令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＋3v＝0,λ＋8μ－3v＝0)).易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－5,μ＝1,v＝1))是其中一组解，则－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.∴A、B、C、D共面.8.(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)，\f(7,3)))　(2)eq\f(\r(6),2)　(3)eq\r(2)B组1.eq\f(\r(21),6)a　2.(1,1,1)　3.eq\r(65)　4.①②5.90°　6.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4)))7.证明　设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AM,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,4)(a＋b＋c)＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c＝eq\f(4,3)eq\o(BG,\s\up6(→)).∴eq\o(BN,\s\up6(→))∥eq\o(BG,\s\up6(→))，即B、G、N三点共线.8.(1)证明　设eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D.(2)解　∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|.eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq\f(\r(10),10).即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).