北师大数学七年级下册三角形重点知识汇总

第三章三角形一．认识三角形1．三角形的看法由不在同向来线上的三条线段首尾按序相接所构成的图形叫做三角形。注意：①构成三角形的三条线段要“不在同向来线上”；假如在同向来线上，三角形就不存在；②三条线段“首尾是按序相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的极点。2、三角形分类按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。3、关于三角形三条边的关系依据公义“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。设三角形三边的长分别为a、b、c则：①一般地，关于三角形的某一条边a来说，必定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；②特别地，假如已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；假如已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。4、关于三角形的内角和三角形三个内角的和为180°①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中最少有两个内角是锐角。5、关于三角形的角均分线、高线和中线①三角形的角均分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角均分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角均分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不一样的地址：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外面，如图3。④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角均分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。ACBFAEFCBDCADBE钝角三角形D直角三角形锐角三角形鹏翔教图1二、图形的全等可以完整重合的图形称为全等形。全等图形的形状和大小都同样。不过形状同样而大小不一样，也许说不过满足面积同样但形状不一样的两个图形都不是全等的图形。三、全等三角形1．全等三角形的看法可以完整重合的两个三角形叫做全等三角形。相互重合的极点叫做对应点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。所谓“完整重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。所以也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。应用：证明两条线段相等和两个角相等。3、三角形全等的条件1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”4）两角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”4、直三角形全等的条件1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。这只对直角三角形成立。（2）直角三角形是三角形中的一类，它拥有一般三角形的性质，因此也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判断。直角三角形的其余判断方法可以归纳以下：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。③三条边对应相等的两个直角三角形全等。四．作三角形1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。五、利用三角形的全等测距离，即三角形全等的应用第三章三角形经典练习一.1.选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：以下四种图形中，必定是轴对称图形的有（）①等腰三角形②等边三角形③直角三角形A.1种B.2种C.3种D.4④等腰直角三角形种2.到三角形三边距离都相等的点是三角形（）的交点A.三边中垂线B.三条中线C.三条高D.三条内角均分线3.到三角形三个极点距离都相等的点是三角形（）的交点A.三边中垂线B.三条中线C.三条高D.三条内角均分线4.如图，OP均分MON,PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.4MQPOAN（第4题）5.如图，已知∠1＝∠2，则不必定能使△ABD≌△ACD的条件是（）．．．A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA6、如图以下条件中，不可以证明△ABD≌△ACD的是（）.．．A.=，=B.∠=∠ADCBDDCABACADBC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC第6题图7以下命题中，真命题是（）．(A)周长相等的锐角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等；(B)周长相等的直角三角形都全等；(D)周长相等的等腰直角三角形都全等．8．以以下图，EF90o，BCAEAF，结论：①EMFN；②CDDN；，③FANEAM；④△ACN≌△ABM．此中正确的有9.如图2所示，在A．1个RtABC中，B．2个A90,BD均分C．3个ABC，交ACD．4个于点D,且AB4,BD5,则点D到BC的距离是：（A）3（B）4（C）5（D）610．如图，给出以下四组条件：①ABDE，BCEF，ACDF；②ABDE，BE，BCEF；③BE，BCEF，CF；④ABDE，ACDF，BE．此中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若CDE48°APD等于（），则A．42°B．48°C．52°D．58°12、如图，为预计池塘岸边AB两点的距离，小方在池塘的一侧采用一点O，测得OA15、米，OB10米，A、B间的距离不行能是（）A．5米B．10米C．15米D．20米13、以下命题中，错误的选项是（）．A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角和等于360°C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形14、如图，在Rt△ABC中，B90，ED是AC的垂直均分线，交ACA于点D，交BC于点E．已知BAE10，则C的度数为（）DA．30B．40BECC．50D．6015、如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直均分CDB．CD垂直均分ABC．AB与CD相互垂直均分D．CD均分∠ACBCABD16、如图，将Rt△ABC(此中∠B＝340，∠C＝900）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）1A.560B.680C.1240D.1800B340C1CAB117、如图，△ACB≌△ACB，BCB=30°，则ACA的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°AABBC18、尺规作图作AOB的均分线方法以下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的依据是（2）A．SASB．ASAC．AASD．SSSACPODB19、如图，为预计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧采用一点O，测得OA15米，OB=10米，A、B间的距离不行能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米OAB20、如图，均分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为，．以下结论中不必定OPAB成立的是（）A．PAPBB．PO均分APBC．OAOBD．AB垂直均分OPAPOB二.填空题：1.我国国旗上的每一个五角星的对称轴有条2.在△ABC中，边AB、AC的垂直均分线订交于点P，则PA、PB、PC的大小关系为如图，在△ABC中，DE是AC的垂直均分线，AE=3，△ABD的周长为13，那么△ABC的周长为两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线订交，那么交点在线段是图形，它的对称轴是6、已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.7.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的摆列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．第1个.解答题：如图，点E是Rt△ABC的斜边∠BAC的度数是多少？第2个第3个AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD:∠BAD=5:2，则如图，AB=AC，AB的垂直均分线DE交BC延长线于E，交AC于F，∠A=50°，AB+BC=6，则（1）△BCF的周长为多少？（2）∠E的度数为多少？已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的均分线．求证：AB=DC、如图，点A、F、C、D在同向来线上，点B和点E分别在直线AD的双侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．5、两块完整同样的三角形纸板ABC和DEF，按以以下图的方式叠放，暗影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC能否全等？为何？6.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;若∠CAE=30o,求∠ACF度数.CEFBA第6题图7.如图6,ABBD于点B,EDBD于点D,AE交BD于点C,且BCDC.求证ABED.ADC图6E8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图搁置，使三角板斜边的两个端点分别与试猜想线段BE和EC的数目及地址关系，并证明你的猜想．A、D重合，连结BE、EC．EADBC9.如图，D，E，分别是AB，AC上的点，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你增加一个条件，使△BDE≌△CDF(不再增加其余线段，不再注明或使用其余字母)，并给出证明．（1）你增加的条件是：（2）证明：；AF12．如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中B线AD及其延长线的垂线，垂足分CD别为E、F．求证：BF=CE．E(第11题13．如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的双侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF14．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．题20图15．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．求证：∠ACE=∠DBF．16．如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF.请探究BC与EF有如何的地址关系？并说明原由．FAEDBC17．如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF.（1）请你只增加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你增加的条件是；2）增加了条件后，证明△ABC≌△EFD.ABCFDE18．如图4，已知AC∥DF，且BE=CF.（1）请你只增加一个条件，使△ABC≌△DEF，你增加的条件是．．（2）增加条件后，证明△ABC≌△DEF.；19．已知：点B、E、C、F在同向来线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：⑴△ABC≌△DEF；BE＝CF．