PAGE鹤壁市淇滨高中2020学年上学期第三次月考高二文科数学试卷考试时间:120分钟分值:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=eq\f(1,3),则sinB=( )A.eq\f(1,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(\r(5),3)D.12.若椭圆eq\f(x2,2)+eq\f(y2,m)=1的离心率为eq\f(1,2),则m=( )A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3)D.eq\f(8,3)或eq\f(3,2)3.设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知等差数列{an}中,a2=6,前7项和S7=84,则a6=( )A.18B.20C.24D.325.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N*)成等比数列”是“aeq\o\al(2,n+1)=anan+2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若实数k满足00的解集为(1,+∞),则关于x的不等式eq\f(ax+b,x-2)>0的解集为( )A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)9.已知双曲线eq\f(x2,2)-eq\f(y2,b2)=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐进线方程为y=x,点P(eq\r(3),y0)在该双曲线上,则eq\o(PF1,\s\up10(→))·eq\o(PF2,\s\up10(→))=( )A.-12 B.-2 C.0 D.410.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是( )A.16B.18C.21D.2611.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.eq\r(5)B.2C.eq\r(3)D.eq\r(2)12.已知椭圆E:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.eq\f(x2,45)+eq\f(y2,36)=1B.eq\f(x2,36)+eq\f(y2,27)=1C.eq\f(x2,27)+eq\f(y2,18)=1D.eq\f(x2,18)+eq\f(y2,9)=1二、填空题(每题5分,共20分)13.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为________.14.已知函数f(x)=eq\f(1,x),则该函数在x=1处的切线方程为_____________.15.若命题“∃x∈R使x2+2x+m≤0”是假命题,则m的取值范围是______________.16.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0),C(4,0),顶点B在椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1上,则eq\f(sinA+sinC,sinB)的值为_______三、解答题(17题10分,18-22题各12分,共70分)17.(10分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且eq\f(2b-c,a)=eq\f(cosC,cosA).(1)求角A的大小;(2)求函数y=eq\r(3)sinB+cosB的值域.18.(12分)已知p:-x2+6x+16≥0,q:x2-4x+4-m2≤0(m>0).(1)若p为真命题,求实数x的取值范围;(2)若p是q成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.19.(12分)已知双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的离心率为eq\r(3),点(eq\r(3),0)是双曲线的一个顶点.(1)求双曲线的方程;(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的A,B两点,求AB的长.20.(12分)设椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为eq\f(3,5).(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线被C所截线段的中点坐标.21.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a7=-9,S9=-eq\f(99,2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=eq\f(1,2Sn),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn>-eq\f(3,4).22.(12分)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,OA⊥OB.高二文科数学第三次月考答案1.答案:B2.答案:D3.答案:C4.答案:A5.答案:A6.答案:D7.答案:A8.答案:B9.答案:C10.答案:D11.答案:D12.答案:D13答案:y2=8x14答案:x+y-2=015.答案:m>116.答案:eq\f(5,4)17.解:(1)∵eq\f(2b-c,a)=eq\f(cosC,cosA),∴eq\f(2sinB-sinC,sinA)=eq\f(cosC,cosA),∴(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC,∴2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB.∵sinB≠0,∴cosA=eq\f(1,2),∵A为锐角,∴A=eq\f(π,3).(2)y=eq\r(3)sinB+cosB=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,6))).∵△ABC为锐角三角形,∴eq\f(π,6)0),解得2-m≤x≤2+m(m>0).若p是q成立的充分不必要条件,则[-2,8]是[2-m,2+m]的真子集,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,,2-m≤-2,,2+m≥8,))(两等号不同时成立),得m≥6.所以实数m的取值范围是m≥6.19.解:(1)∵双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1的离心率为eq\r(3),点(eq\r(3),0)是双曲线的一个顶点,∴eq\f(c,a)=eq\r(3),a=eq\r(3),解得c=3,又c2=a2+b2,b=eq\r(6),∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)-eq\f(y2,6)=1.(2)双曲线eq\f(x2,3)-eq\f(y2,6)=1的右焦点为F2(3,0),∴直线l的方程为y=eq\f(\r(3),3)(x-3),联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)-\f(y2,6)=1,,y=\f(\r(3),3)(x-3),))得5x2+6x-27=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-eq\f(6,5),x1x2=-eq\f(27,5),所以|AB|=eq\r(1+\f(1,3))·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(6,5)))2-4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(27,5))))=eq\f(16\r(3),5).20解:(1)将(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)=1,∴b=4.又e=eq\f(c,a)=eq\f(3,5),得eq\f(a2-b2,a2)=eq\f(9,25),即1-eq\f(16,a2)=eq\f(9,25),∴a=5,∴C的方程为eq\f(x2,25)+eq\f(y2,16)=1.(2)过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线方程为y=eq\f(4,5)(x-3).设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=eq\f(4,5)(x-3)代入C的方程,得eq\f(x2,25)+eq\f((x-3)2,25)=1,即x2-3x-8=0,解得x1+x2=3,∴AB的中点坐标(x,y)x=eq\f(x1+x2,2)=eq\f(3,2),y=eq\f(y1+y2,2)=eq\f(2,5)(x1+x2-6)=-eq\f(6,5),即中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),-\f(6,5))).21解:(1)设数列{an}的公差为d,则由已知条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1+6d=-9,,9a1+36d=-\f(99,2),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=-\f(3,2),,d=-1.))∴an=-eq\f(2n+1,2).(2)证明:由(1)得Sn=eq\f(-\f(3,2)-\f(2n+1,2),2)×n=-eq\f(n(n+2),2),∴bn=eq\f(1,2Sn)=-eq\f(1,n(n+2))=-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)-\f(1,n+2))),∴Tn=-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)+\f(1,2)-\f(1,4)+\f(1,3)-\f(1,5)+\f(1,4)-\f(1,6)+…))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(+\f(1,n)-\f(1,n+2)))=-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2)-\f(1,n+1)-\f(1,n+2)))=-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)-\f(1,n+1)-\f(1,n+2))).∵eq\f(3,2)-eq\f(1,n+1)-eq\f(1,n+2)<eq\f(3,2),∴Tn>-eq\f(3,4).22解:(1)依题意知,b=1,c=1,∴a2=2.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,2)+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k(x-2),,\f(x2,2)+y2=1,))消去y得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.则x1+x2=eq\f(8k2,1+2k2),x1x2=eq\f(8k2-2,1+2k2).Δ=(-8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)=64k4-4(8k2+16k4-2-4k2)=-16k2+8.∵OA⊥OB,∴eq\f(y1y2,x1x2)=-1,即x1x2+y1y2=0.∵y1y2=k2(x1-2)(x2-2),∴x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=0,∴eq\f((1+k2)(8k2-2),1+2k2)-eq\f(16k4,1+2k2)+4k2=0.解得k2=eq\f(1,5),此时Δ>0,∴k=±eq\f(\r(5),5).即当k=±eq\f(\r(5),5)时,OA⊥OB.
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