第18讲　等腰三角形与直角三角形

第18讲　等腰三角形与直角三角形考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一等腰三角形1．概念及分类有的三角形叫等腰三角形；有的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为的等腰三角形和___________的等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角；(2)等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相，简称“三线合一”；三边相等腰和底不相等腰和底相等相等重合两边相等(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴．(4)等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足0°＜α＜90°；顶角满足0°＜β＜180°.3．等腰三角形的判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；(2)有相等的三角形是等腰三角形．温馨提示：应用性质“三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直.两角考点二等边三角形的性质与判定1．性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于60°；(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．温馨提示：（1）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.（2）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一.考点三线段的中垂线1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．考点四直角三角形的性质、判定1．性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)；(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的；(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为；(5)直角三角形上的中线等于斜边的一半．互余一半30°斜边2．判定(1)有一个角是的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为三角形；(4)在一个三角形中,如果有两个角互余,那么这个三角形是三角形．直角直角直角温馨提示：（1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 .（2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.（3）若a、b、c为一直角三角形的三边长，则以ma、mb、mc(m＞0)为三边的三角形也是直角三角形.(1)(2011·呼和浩特)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是(　　)　A．9cm　　　　　　　　　　　B．12cm　C．15cm或12cmD．15cm(2)(2010·东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(　　)A．40°　　B．100°　　C．40°或100°　　D．70°或50°(3)(2010·长沙)下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(　　)(4)(2011·南充)如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D【点拨】本组 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定.【解答】(1)D　∵3＋3＝6，∴等腰三角形的底边长和腰长分别为3cm和6cm，∴它的周长是6×2＋3＝15(cm)．(2)C　当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：（1）等腰三角形与直角三角形是常见的图形，其性质在研究平行四边形、等腰梯形、圆、三角函数等时应用非常广泛，因此应熟练、准确掌握其性质并灵活应用.（2）“等边对等角”或“等角对等边”仅限于在一个三角形中.在两个三角形中，如果两边相等，这两条边所对的角不一定相等.2011·芜湖如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．【点拨】先证F为BD的中点，从而得到DF＝EF＝BF.再由∠BDE＝60°，可得△DEF为等边三角形．∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD.∵CF⊥BD，∴F为BD的中点．又∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF.由∠ABD＝30°，得∠BDE＝60°，∴△DEF为等边三角形．1．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则第三条边的长是(　　)A．8　　　B．7　　　C．4　　　D．3答案：B2．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于(　　)A．80°　　　B．70°C．60°D．50°答案：C3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角度数为(　　)A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°答案：D4．下面给出的几种三角形：(1)有两个角为60°的三角形；(2)三个外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(　　)A．4个　　　B．3个　　　C．2个　　　D．1个答案：B5．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于(　　)A．50°B．30°C．20°D．15°答案：C6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB、AC为边作两个等腰直角△ABD和△ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°.(1)求∠DBC的度数；(2)求证：BD＝CE.答案：(1)∠DBC＝115°　(2)先证△DAB≌△EAC，即得BD＝CE等腰三角形与直角三角形训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共44分)1．(2012中考预测题)等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是(　　)A．9　　　B．12　　　C．15　　　D．12或15【解析】当6为腰，3为底时，6＋3>6，此时周长为15；当6为底，3为腰时，3＋3＝6，不能组成三角形．【答案】C　2．(2012中考预测题)在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于(　　)A．30°　　B．40°C．45°　　D．36°【解析】AD＝BD，∴∠ABD＝∠A.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，∴∠A＝36°.【答案】D　3．(2011·铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是(　　)A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形【解析】等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形．【答案】C　4．(2010中考变式题)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　　)A．1,2,3　　B．2,3,4C．3,4,5　　D．4,5,6【解析】∵32＋42＝52，∴3、4、5构成直角三角形．【答案】C　5．(2012中考预测题)等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为(　　)A．13　　B．14C．15　　D．16【解析】由等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，可求出AB＝AC＝8.∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∴C△BEC＝BC＋BE＋EC＝BC＋AE＋EC＝BC＋AC＝5＋8＝13.【答案】A　6．(2010中考变式题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D、交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是(　　)A．∠B＝∠CAE　　B．∠DEA＝∠CEAC．∠B＝∠BAE　　D．AC＝2EC【解析】由DE垂直平分AB得EA＝EB，∴∠B＝∠BAE，又∵AE平分∠BAC，∴AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，因此A、C都成立．∵AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，又ED⊥AB，EC⊥AC，∴∠DEA＝∠CEA(等角的余角相等)，B成立．【答案】D　7．(2010中考变式题)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是(　　)A．13　　B．26C．47　　D．94【解析】SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝32＋52＋22＋32＝47.【答案】C　8．(2010中考变式题)一架长25dm的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑出(　　)A．9dm　　B．15dmC．5dm　　D．8dm【答案】D9．(2010中考变式题)已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是(　　)【答案】D10．(2010中考变式题)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为(　　)【答案】D11．(2012中考预测题)P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A、B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作(　　)A．1条　　B．2条C．3条　　D．4条【解析】过点P分别作两直角边的平行线，得2条直线；过点P作斜边AB的垂线，得到第3条直线．【答案】C　二、填空题(每小题4分，共16分)12．(2010中考变式题)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4cm，则AB＝________cm.【解析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”得斜边AB＝2CD＝2×4＝8(cm)．【答案】8　13．(2011·新疆)如图所示，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，则BC边上的高AD等于________cm.14．(2011·宁波)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝________cm.【答案】8三、解答题(共40分)16．(8分)(2010中考变式题)在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，求∠DBC的度数．【答案】解：∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝65°.∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°.∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.17．(8分)(2011·陕西)如图所示，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F两点．求证：△ADF≌△BAE.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°.又∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.∴∠2＝∠3，∠4＝∠1.∴△ADF≌△BAE(ASA)．18．(12分)(2011·黄冈)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．19．(12分)(2012中考预测题)如图所示，一根长2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．