高中数学必修2知识点总结第四章-圆和方程

高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 必修2知识点总结第四章-圆和方程高中数学必修2知识点总结第四章-圆和方程PAGE优质.参考.资料高中数学必修2知识点总结第四章-圆和方程第四章圆与方程知识点与习题1.★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P={M||MA|=r}★2、圆的方程（1） 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程，圆心，半径为r；点与圆的位置关系：当>，点在圆外;当=，点在圆上当<，点在圆内;（2）一般方程（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4（）当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ24条外切ｄ＝ｒ1+ｒ23条相交|ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ22条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2|1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程①若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；②若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；③若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线，得到的切线长相等（反之，亦成立）★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）★7、已知两圆相交，求公共弦的长度①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长　　　　　　　　　　　　　　　　　③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）★8、圆系与圆系方程(1)圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2)圆系方程：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（Ⅰ）①若圆C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P2两点的圆的方程。②若圆C1与圆C2交于P点（一个点），则方程（Ⅰ）代表过P点的圆的方程。★9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；　　　第二步：通过代数运算，解决代数问题；　　　第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论★10、空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是P、Q、R在、、轴上的坐标2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。★11、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点到点之间的距离公式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是(　　)A．相离　　　　　　　　　B．相交C．外切D．内切解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距eq\r(0－32＋0－42)＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案：C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　)A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋1＝0解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－1,2－1)，即3x－y－5＝0.答案：A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为(　　)A．1，－1B．2，－2C．1D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得eq\f(|1＋a＋0＋1|,\r(1＋a2＋1))＝1，即|a＋2|＝eq\r(a＋12＋1)，平方整理得a＝－1.答案：D4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，eq\r(6))的切线方程是(　　)A．x＋eq\r(6)y－10＝0\r(6)x－2y＋10＝0C．x－eq\r(6)y＋10＝0D．2x＋eq\r(6)y－10＝0解析：∵点M(2，eq\r(6))在圆x2＋y2＝10上，kOM＝eq\f(\r(6),2)，∴过点M的切线的斜率为k＝－eq\f(\r(6),3)，故切线方程为y－eq\r(6)＝－eq\f(\r(6),3)(x－2)，即2x＋eq\r(6)y－10＝0.答案：D5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(　　)A．(－3,3，－1)B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1)D．(3,3,1)解析：点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝(　　)A．5\r(13)C．10\r(10)解析：依题意得点A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)．∴|AC|＝eq\r(－2－12＋－2＋22＋－5＋32)＝eq\r(13).答案：B7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为(　　)\r(3)\r(2)\r(3)或－eq\r(3)\r(2)和－eq\r(2)解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线y＝kx＋1的距离为eq\f(1,2)，∴eq\f(1,\r(1＋k2))＝eq\f(1,2)，∴k＝±eq\r(3).答案：C8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是(　　)A．4B．3C．2D．1解析：两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是(　　)A．2x－y＝0B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0D．x－2y＋3＝0解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为(　　)A．9πB．πC．2πD．由m的值而定解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案：B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，则x＝eq\f(x1＋3,2)，y＝eq\f(y1,2)，∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.答案：C12．曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)A．(0，eq\f(5,12))B．(eq\f(5,12)，＋∞)C．(eq\f(1,3)，eq\f(3,4)]D．(eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]解析：如图所示，曲线y＝1＋eq\r(4－x2)变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，当直线l与半圆相切时，有eq\f(|－2k＋4－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12).当直线l过点(－2,1)时，k＝eq\f(3,4).因此，k的取值范围是eq\f(5,12) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤)17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．解：解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即eq\f(y,x)·eq\f(y,x－4)＝－1，即x2＋y2－4x＝0①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝eq\f(1,2)|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)，∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0，解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．解：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点的坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－3x－3y＋3＝0,x2＋y2－2x－2y＝0))的解，两方程相减得：x＋y－3＝0，∵A、B两点的坐标都满足该方程，∴x＋y－3＝0为所求．将圆C2的方程化为标准形式，(x－1)2＋(y－1)2＝2，∴圆心C2(1,1)，半径r＝eq\r(2).圆心C2到直线AB的距离d＝eq\f(|1＋1－3|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2－\f(1,2))＝eq\r(6).即两圆的公共弦长为eq\r(6).20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.设P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝eq\r(2).∵|PM|＝|PO|，∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2，化简得点P的轨迹方程为：2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为eq\f(3\r(5),10).21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．解：设点P的坐标为(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2.欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC，设其交⊙C于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图所示．则u最小值＝|OP1|2＝(|OC|－|P1C|)2＝(5－1)2＝16.此时，eq\f(x1,3)＝eq\f(y1,4)＝eq\f(4,5)，∴x1＝eq\f(12,5)，y1＝eq\f(16,5).∴d的最小值为34，对应点P1的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(16,5))).同理可得d的最大值为74，对应点P2的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(24,5))).22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．解：(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为eq\r(5)|k＋1|的圆．设圆心的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－k，,y＝－2k－5，))消去k，得2x－y－5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．(2)证明：将原方程变形为(2x＋4y＋10)k＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0，∵上式对于任意k≠－1恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4y＋10＝0，,x2＋y2＋10y＋20＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3.))∴曲线C过定点(1，－3)．(3)∵圆C与x轴相切，∴圆心(－k，－2k－5)到x轴的距离等于半径，即|－2k－5|＝eq\r(5)|k＋1|.两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，∴k＝5±3eq\r(5).