高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数一学案无答案新人教A版必修4

PAGE§1.2　任意角的三角函数1．2.1　任意角的三角函数(一)学习目标　1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．知识点一　任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1　角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).思考2　对确定的锐角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3　在思考1中，当取|OP|＝1时，sinα，cosα，tanα的值怎样表示？答案　sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).梳理　(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sinα＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x；③eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考　根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案　由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0,x>0，故sinα>0，cosα>0，tanα>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理　记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三　诱导公式一思考　当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案　它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．梳理　诱导公式一sinα＋k·2π＝sinα，cosα＋k·2π＝cosα，tanα＋k·2π＝tanα，其中k∈Z.1．sinα，cosα，tanα的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关．(　×　)提示　三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关．2．终边相同的角的同名三角函数值相等．(　√　)提示　由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.类型一　三角函数定义的应用命题角度1　已知角α终边上一点的坐标求三角函数值例1　已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.考点　任意角的三角函数题点　用定义求三角函数的值解　由题意知r＝|OP|＝eq\r(x2＋9)，由三角函数定义得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又∵cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，∴eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,1)＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝eq\f(3,－1)＝－3.反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．考点　任意角的三角函数题点　用定义求三角函数的值解　r＝eq\r(－3a2＋4a2)＝5|a|.①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，∴2sinα＋cosα＝eq\f(8,5)－eq\f(3,5)＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f(3,5)＝－1.综上所述，2sinα＋cosα＝±1.命题角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．考点　任意角的三角函数题点　用定义求三角函数的值解　由题意知，cosα≠0.设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.(1)当k>0时，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq\r(10)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.(2)当k<0时，r＝－eq\r(10)k，α是第二象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\f(3\r(10),10)＋3×(－eq\r(10))＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.综上所述，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.反思与感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，tanα＝eq\f(b,a).跟踪训练2　在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值．考点　任意角的三角函数题点　用定义求三角函数的值解　当角α的终边在射线y＝－eq\f(3,4)x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3,5)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).所以sinα－3cosα＋tanα＝－eq\f(3,5)－eq\f(12,5)－eq\f(3,4)＝－eq\f(15,4).当角α的终边在射线y＝－eq\f(3,4)x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(3,－4)＝－eq\f(3,4).所以sinα－3cosα＋tanα＝eq\f(3,5)－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))－eq\f(3,4)＝eq\f(3,5)＋eq\f(12,5)－eq\f(3,4)＝eq\f(9,4).综上，sinα－3cosα＋tanα的值为－eq\f(15,4)或eq\f(9,4).类型二　三角函数值符号的判断例3　判断下列各式的符号：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5.考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号解　(1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.(2)∵eq\f(π,2)＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟　角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3　已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则α是第________象限角．考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号答案　二解析　由题意知tanα<0，cosα<0，∴α是第二象限角．类型三　诱导公式一的应用例4　求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)·tan4π.考点　诱导公式一题点　诱导公式一解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).反思与感悟　利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．跟踪训练4　求下列各式的值：(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.考点　诱导公式一题点　诱导公式一解　(1)原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于(　　)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(4,5)考点　任意角的三角函数题点　任意角三角函数的定义答案　D解析　由题意可知x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5).故选D.2．sineq\f(13π,6)的值是(　　)A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)考点　诱导公式一题点　诱导公式一答案　B解析　sineq\f(13π,6)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).3．已知角α的终边与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，则tanα等于(　　)A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(3,4)考点　任意角的三角函数题点　任意角三角函数的定义答案　D解析　根据三角函数的定义，知tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4).4．若α是第二象限角，则点P(sinα，cosα)在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号答案　D解析　∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴点P在第四象限，故选D.5．已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sinα，cosα，tanα的值．考点　任意角的三角函数题点　用定义求三角函数的值解　①当k>0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝eq\r(24k2＋7k2)＝25k，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(7,25)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(24,25)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(7,24).②当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，∴sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(7,25)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(24,25)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(7,24).1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．2．角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.一、选择题1．(2020·长沙检测)sin(－315°)的值是(　　)A．－eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)考点　诱导公式一题点　诱导公式一答案　C解析　sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).2．(2020·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα等于(　　)A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),3)考点　任意角的三角函数题点　任意角三角函数的定义答案　C解析　由题意得P(1，－eq\r(3))，它与原点的距离r＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，∴sinα＝－eq\f(\r(3),2).3．已知sinθ<0，且tanθ<0，则θ为(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号答案　D4．已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，则x的值为(　　)A.eq\r(3)B．±eq\r(3)C．－eq\r(2)D．－eq\r(3)考点　任意角的三角函数题点　任意角三角函数的定义答案　D解析　∵cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x，∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3，∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝eq\r(3)(舍去)或x＝－eq\r(3).故选D.5．(2020·黄山检测)θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是(　　)A．sineq\f(θ,2)B．coseq\f(θ,2)C．taneq\f(θ,2)D．cos2θ考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号答案　C解析　因为θ是第二象限角，所以eq\f(θ,2)为第一或第三象限角，所以taneq\f(θ,2)>0.6．某点从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))考点　任意角的三角函数题点　任意角三角函数的定义答案　A解析　由三角函数定义可得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)，sin\f(2π,3)))，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).7．如果点P(sinθ＋cosθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ的终边在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号答案　C解析　由题意知sinθ＋cosθ＜0，且sinθcosθ＞0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＜0，,cosθ＜0，))∴θ为第三象限角．二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________.考点　诱导公式一题点　诱导公式一答案　eq\f(\r(3),2)解析　tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).9．(2020·广州检测)设角θ的终边经过点P(－3,4)，那么sinθ＋2cosθ＝________.考点　任意角的三角函数题点　用定义求三角函数的值答案　－eq\f(2,5)解析　根据三角函数的定义，sinθ＝eq\f(y,r)，cosθ＝eq\f(x,r)(其中r＝eq\r(x2＋y2))，由角θ的终边经过点P(－3,4)，可得r＝eq\r(－32＋42)＝5，sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，所以sinθ＋2cosθ＝eq\f(4,5)－2×eq\f(3,5)＝－eq\f(2,5).10．(2020·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则实数a的取值范围是________．考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号答案　(－2,3]解析　∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sinα>0，cosα≤0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,3a－9≤0，))解得－20，则α为第一象限角，r＝2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(a,2a)＝－eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).13．sineq\f(7,2)π＋coseq\f(5,2)π＋cos(－5π)＋taneq\f(π,4)＝________.考点　诱导公式一题点　诱导公式一答案　－1解析　原式＝sineq\f(3,2)π＋coseq\f(π,2)＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y＝eq\f(|sinx|,sinx)＋eq\f(|cosx|,cosx)－eq\f(2|sinxcosx|,sinxcosx)的值域是________________．考点　三角函数值在各象限的符号题点　三角函数值在各象限的符号答案　{－4,0,2}解析　由sinx≠0，cosx≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，sinxcosx>0，y＝0；当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，sinxcosx<0，y＝2；当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，sinxcosx>0，y＝－4；当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，sinxcosx<0，y＝2.故函数y＝eq\f(|sinx|,sinx)＋eq\f(|cosx|,cosx)－eq\f(2|sinxcosx|,sinxcosx)的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，求m的值及sinα的值．考点　任意角的三角函数题点　用定义求三角函数的值解　(1)∵eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，∴sinα＜0.①∵lg(cosα)有意义，∴cosα＞0.②由①②得角α的终边在第四象限．(2)∵点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))在单位圆上，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－eq\f(4,5).由三角函数定义知，sinα＝－eq\f(4,5).