3.2.2最大值、最小值问题

3.2导数在实际问题中的应用【课前自主预习】【学习目标】1.掌握最大值与最小值的概念；1.有关函数的最值问题。（重点）2.理解掌握最值与极值的区别与联系；2.最值常与函数的极值以及函数的值域等结合考3.能够利用导数去求函数的最值．察。（难点）。3.最值与函数的极值。（易混点）【学习脉络】请沿着以下脉络预习：从最值与极值的概念出发，思考最值与极值区别与联系最值与极值的关系最值的定义利用导数求最值【自主预习】1、最大值、最小值的概念：...2、设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：①.②.答案提示：1、参考课本2、⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值。【预习自测】1．下列说法正确的是()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值解析:D;2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x))A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能解析:A;3.设y=|x|3,那么y在区间［－3，－1］上的最小值是.解析:1;4.已知函数f(x)x312x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则Mm.解析:32;f'(x)3x2120解得：x2f(2)为极大值，f(2)为极小值。计算f(3)17、f(2)24、f(2)8、f(3)1∴M24，m85.求f(x)x24x3在区间[1,4]上的最大值与最小值．解：f(x)2x4．令，解得x2．列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ：－＋递减递增从上表可知，函数f(x)的最大值是8，最小值是1．【课堂合作探究】知能点一：函数在区间上的最值问题。【指点迷津】函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间a,b上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．【典型例题】例1求下列函数的最值：(1)f(x)3xx3,(3x3)；(2)f(x)sin2xx,(x)22【思路 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的正确性.【解析】(1)f(x)33x2，令f(x)0，得x1，∴f(1)2,f(1)2．又f(3)0,f(3)18.∴[f(x)]max2,[f(x)]min18.(2)f(x)2cos2x1，令f(x)0，得x，6∴f3,f3，266266又f,f22．22∴[f(x)]max,[f(x)]min.22【规律小结】(1)准确求导;研究函数的单调性,正确的求出极值及端点值比较大小,有时需要讨论【知一反三】1、函数ylnx）x的最大值为（D．10A．e1B．eC．e23解析:A;2、求函数f(x)x1x2的最值.解析:函数定义域为1x1，当x(1,1)时，令f(x)0，解得x2f22，，∴22又f(1)1,f(1)1，∴[f(x)]max2,[f(x)]min1.知能点二：通过最值求参数的取值范围【指点迷津】由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值得变化；可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分解的确定。【典型例题】设aR，函数f(x)ax33x2．若函数g(x)f(x)f(x)，x[0，2]，在x0处取得最大值，求a的取值范围．【思路分析】利用求最值的方法确定a的值，注意对a的讨论【解析】解：由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)．当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥20a24．故得a≤6．反之，当a≤65时，对任意x[0，2]，53x(2x5)(x2)≤0，5而g(0)0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．6综上，a的取值范围为，．5【规律小结】若函数的最大值中含有参变量，需对参数进行讨论。【知一反三】1、已知t为常数，函数yx22xt在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___。解析：1；2.已知a是实数，函数f(x)x2(xa)。求f(x)在区间0,2上的最大值。解析：令f(x)0，解得x12a0，x2．3当2a≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而3fmaxf(2)84a．当2a≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而3fmaxf(0)0．当02a2，即0a3时，f(x)在2a上单调递减，在2a，上单调递增，从，303238，a≤，而fmax4a02，2a．038，≤，综上所述，fmax4aa2，a．02【课时训练】1．函数y=1x41x31x2，在［－1，1］上的最小值为()432A．0B．－2C．－113D．12解析：A；2．函数y=2xx2的最大值为()x13B．1C．13A．2D．32解析：A；3.函数yx4x3在区间2,3上的最小值为（）4A．72B．36C．12D．0解析：D；y'4x34,令y'0,4x340,x1,当x1时,y'0;当x1时,y'0得y极小值y|x10,而端点的函数值y|x227,y|x372，得ymin04．设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则()A．a=2,b=29B．a=2,b=3C．a=3,b=2D．a=－2,b=－3解析：B；5.设f(x)x31x22x5，当x[1,2]时，f(x)m恒成立，则实数m的2取值范围为。解析：(7,)；x[1,2]时，f(x)max76.函数f(x)sin2x在[,0]上的最大值是.最小值是.解析:14,0;21xsinx在区间[0,27.f(x)]上的最大值与最小值．2124解析：f(x)cosx．令f(x)0，解得x1，x2．列表：233＋－＋递增递减递增从上表可知，函数f(x)的最大值是，最小值是0．8.设2a1，函数f(x)x33ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为6，322求常数a，b．解析：f(x)3x23ax0，解得x10，x2a．列表：＋－＋递增递减递增由表格可知，f(0)f(a)，f(1)f(1)，所以f(0)f(1)3a10，所以f(x)的最大值为f(0)b，所以b1．2又f(1)f(a)1(a1)2(a2)0，2所以f(x)的最小值为f(1)13ab3a，所以a6．223【百尺竿头】已知x、y为正实数，且满足关系式x22x4y20，求xy的最大值．解析:解法一：4y22xx2,y0,y12xx2，2∴xy1x2xx2．2由x0解得0x2．2xx20设f(x)xy1x2xx2(0x2).2当0x2时，f(x)12xx2x(1x)22xx2x(32x)．22xx2令f(x)0，得x3或x0（舍）．2∴f333，又f(2)0，∴函数f(x)的最大值为33．288即xy的最大值为33．8解法二：由x22x4y20得(x1)24y21(x0,y0)，设x1cos,y1sin(0)，2∴xy1sin(1cos)，设f()1sin(1cos)，22则f()1sin2(1cos)cos21令f()0，得cos1或cos．20,，此时x3,y3.324∴f33,f33.383max8即当x33时，xymax33,y48.2【规律小结】进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．【备课百宝箱】对数函数中导数的应用【高考目标定位】一、考纲点击1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。3）知道对数函数是一类重要的函数模型。（4）了解指数函数y=ax与对数函数ylogax互为反函数（a0,且a1）二、热点提示1）对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查 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思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主。2）以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题。【考纲知识梳理】一、对数的概念（1）对数的定义如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。2）几种常见对数表格1对数形式特点记法一般对数底数为aa0,且a1常用对数底数为10自然对数底数为e2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（a0,且a1）：10，②logaalogaNNaN①loga1，③a，④logaN。2）对数的重要公式：①换底公式：NlogbNloga(a,b均为大于零且不等于1,N0)；bloga②logab1，推广logablogbclogcdlogad。logba（3）对数的运算法则：如果a0,且a1，M0,N0那么①loga(MN)logaMlogaN；logaMlogaMlogaN②N；③logaMnnlogaM(nR）；logambnnlogab④m。3、对数函数的图象与性质图象（1）定义域：（0,+）（2）值域：R性（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）质（4）当0x1时，y(,0)；（4）当x1时，y(,0)；当x1时，y(0,)当0x1时，y(0,)（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴01,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0;②00,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)0b>1，如图1.当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x);当0logbf(x).②若1>a>b>0,如图2。当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x);当1>f(x)>0时，logaf(x)>logbf(x).③若a>1>b>0。当f(x)>1时，则logaf(x)>logbf(x);当01，x2>1则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2。因为A、B在过点O的直线上，所以log8x1log8x2，x1x2点C、D的坐标分别为（x，log2x）、（x，log2x）1122由于log2x1log8x13log8x1,log2x23log8x2log82OC的斜率为k1=log2x13log8x1，x1x1OD的斜率为k2log2x23log8x2，x2x2由此可知k1k2，即O、C、D在同一直线上。注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到x1与x2关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对x1、x2的范围没有搞清楚。（2）由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得logx=1log2x2，xx321321代入x2log8x1x1log8x2，得x13log8x13x1log8x1由于x11，知log8x10,故x133x1考虑x11，解得x13，于是点A的坐标为（3，log83）注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。〖例2〗设A、B是函数ylog2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:x=a+2与函数ylog2x图象交于点C,与直线AB交于点D1）求点D的坐标；2）当△ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围解：（1）易知D为线段AB的中点,因A(a,log2a),B(a+4,log2(a4))，所以由中点公式得D(a+2,log2a(a4))（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B-S梯形AA′B′B=⋯=(a2)2log2a(a4)其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影由S△ABC=log2(a2)2>1,得0