层分析法建模

第五单元层次分析法建模人们在日常生活中常常碰到决策问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的⋯及花的、白的、方格的⋯之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐还是吃西餐；假期旅游，是去风光秀丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林。如果认为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么，当你面临报考学校、挑选专业，或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了。从事各种职业的人也都经常面对着决策问题：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解决问题带来了本质上的困难。T．L．Saaty等人在二十世纪七十年代提出了一种能有效地处理这类问题的实用方法，称为层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简记AHP）。这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析和测试分析两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律。近年来发展起来的系统分析是又一种方法，而层次分析法就是系统分析的数学工具之一。一、层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂决策问题的思维、判断过程大体上是一致的。不妨以假期旅游为例，假设有P、P、P三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、123费用、住宿、饮食、交通等一些准则去反复比较这三个旅游地。首先，你会确定这些准则在你心中各占多大比重。如果你经济宽绰、醉心旅游，自然会特别看重景色，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对住宿、饮食等条件特别关注。其次，你会就每一个准则将三个旅游地进行对比。譬如P景色最好，P次之；P费122用最低，P3次之；P3住宿条件比较好，P2次之等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，并在P1、P2、P3中确定一个最佳地点。上述思维、判断过程归纳起来就是层次分析法的基本步骤：（1）将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即选择旅游地。最下层为方案36层，有P1、P2、P3三个旅游地可供选择，中间层为准则层，有景色、费用、住宿、饮食、交通等5个准则。各层间的联系用相连的直线来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，见图5－１。图5－1称为层次分析（结构）图。2）通过相互比较确定各准则对目标的权重，各方案对每一准则的权重。这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。4）根据方案层对目标层的权重进行决策，选择旅游地。层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤，给出决策结果。下面来说明如何比较同一层次各因素对上一层因素的影响，从而确定它们在上一层因素中占的权重。二、成对比较矩阵和权重向量在涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题中，其主要困难是这些因素通常不易定量地测量，人们只能凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时，给出的判断结果往往是不全面和不准确的。如果只是定性的结果，则常常不易被别人接受。Saaty等人的做法，一是不把所有因素放在一起进行比较，而是两两相互对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。假设要比较某一层n个因素c1,c2,,cn对上一层中一个因素o的影响，如旅游决策问题中比较景色、费用等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素ci和cj，用aij表示ci和cj对o的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵37A(aij)nn,aij0,aji1（1）aij来表示。由（1）式给出的aij的特点，A称为正互反矩阵，显然有aii1。如用c1,c2,,c5依次表示景色、费用、住宿、饮食、交通5个准则，设某人用成对比较法（共做了C52次对比）进行判断得到的成对比较矩阵为11243321755A141711213.（2）13152111315311则矩阵A中a1212表示景色c1与费用c2对选择旅游地这个目标o的重要性之比为1:2；a134表示景色c1与住宿条件c3对选择旅游地这个目标o的重要性之比为4:1；a237表示费用c2与住宿条件c3对选择旅游地这个目标o的重要性之比为7:1。可以看出在此人选择旅游地时，费用因素最重，景色次之。怎样由成对比较矩阵A确定诸因素c1,c2,,cn对上一层因素o的权重呢？仔细分析一下（2）式给出的成对比较矩阵Ａ可以发现，既然c1与c2之比为1:2，c1与c3之比为4:1，那么c2与c3之比应为8:1，而不应是7:1，这说明此人的成对比较结果是不一致的。但是，n个因素要作n(n1)次成对比较，要求全部一致是太苛刻了。2Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素c1,c2,,cn对因素o的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围。为了说明这个问题我们先看成对比较完全一致的情况。设想把一块大石头o砸成n块小石头c1,c2,,cn，如果精确地称出它们的重量为w1,w2,,wn，在作成对比较时令aijwiwj，那么得到38w1w1w1w1w2wnw2w2w2Aw1w2wn.（3）wnwnwnw1w2wn这些比较显然是一致的，n块小石头对大石头的权重（即在大石头中占的比重）可用向量w(w1,w2,,wn)T来表示。如果大石头为单位重量，则有nwi1。显然，（3）式i1中A的各个列向量与w仅相差一个比例因子。一般地，如果一个正互反矩阵A满足aijajkaik,i,j,k1,2,,n.（4）则A称为一致性矩阵，简称一致阵（.3）式给出的A显然是一致阵.容易证明n阶一致阵A具有下列性质：1A1）A的秩为的唯一非零特征值为n。（，（2）A的任一列(行)向量都是对应于特征值n的特征向量。如果得到的成对比较矩阵是一致阵，象（3）式中的矩阵A，自然应取对应于特征值n的归一化特征向量（即分量之和为1的向量）来表示诸因素c1,c2,,cn对上一层因素o的权重，这个向量称为权向量。如果成对比较矩阵A不是一致阵，但在不一致的容许范围内(下面将说明如何确定这个范围)，Saaty等人建议用对应于A最大特征值(记作)的特征向量(归一化后)作为权向量w，即w满足Aww.（5）直观地看，因为矩阵A的特征值和特征向量连续地依赖于矩阵A的元素aij，所以当aij离一致性的要求不远时，A的特征值和特征向量也与一致阵的特征值和特征向量相差不大。（5）式表示的方法称为由成对比较矩阵求权向量的特征值法。三、比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素ci和cj对上一层中某个因素o的影响时，采用什么样的相对尺度aij较好呢？Saaty等人提出用1－9尺度，即aij的取值范围是1,2,,9及其互反数1,1,,1。理由如下：2939（1）在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5个明显的等级，用1－9尺度可以方便地表示出来，具体见表5－1。表5－11－9尺度aij的含义尺度aij含义1ci与cj的影响相同3ci比cj的影响稍强5ci比cj的影响强7ci比cj的影响明显地强9ci比cj的影响绝对地强2，4，6，8ci与cj的影响之比在上述两个相邻等级之间1,1,,1cj与ci的影响之比为上面aij的互反数29（2）心理学家认为，进行成对比较的结果等级太多，将超出人的判断能力，级数最多大致在72范围内。如以9个为限，用1－9尺度表示它们之间的差别正合适。（3）Saaty曾用1－3，1－5，⋯，1－17，⋯，(d0.1)(d0.9)(d1,2,3,4)，1p9p(p2,3,4,5)等共27种比较尺度，对在不同距离处判断某光源的亮度等实例构造成对比较矩阵，并算出权向量.把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到的实际权向量进行对比发现，1－9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且结果并不劣于复杂的尺度。目前在层次分析法的应用中，大多数人都用1－9尺度。在（2）式给出的成对比较矩阵A中就是用的这种尺度。四、成对比较矩阵的一致性检验成对比较矩阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征值的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内.怎样确定这个范围呢?前面已经指出n阶一致阵的唯一非零特征值是n。还可以证明n阶正互反矩阵A的最大特征值n，而当n时，A是一致阵。根据上述结果及连续地依赖于aij的事实可知，比n大的越多，A的不一致程度就越严重，用对应于的特征向量作为权向量引起的判断误差就越大。因而可以用n的数值的大小来衡量A的不一致程度。Saaty将n（6）CIn1定义为一致性指标.CI0时，A为一致阵；CI越大A的不一致程度就越严重。注意到A的n个特征值之和等于A的主对角上元素之和(为什么，而A的主对角上元素均为1，?)所以A的特征值之和为n。由此可知，一致性指标CI相当于矩阵A除外其余n1个40特征值的平均值(取绝对值)。为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 。Saaty又引入所谓随机一致性指标RI，计算RI的过程是:对于固定的n，随机地构造正互反矩阵A'(它的元素aij(ij)从1,2,,9和1,1,,1中随机取值，aji为aij的互反数，239aii1)，然后计算A'的一致性指标CI。可以想到，A'是非常不一致的，它的CI值相当大。如此构造相当多的A'，用它们的CI值的平均值作为随机一致性指标。Saaty对于不同的n(1,2,,11)，用100~500个样本A'算出的随机一致性指标RI的数值见表5－2。表5－2中n1,2时RI0，是因为1，2阶的正互反矩阵总是一致阵。表5-2随机一致性指标RI的数值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51对于n3的成对比较矩阵A，将它的一致性指标CI与同阶(指n相同)的随机一致性指标RI作比，称其为一致性比率，记作CR。当CI0.1（7）CRRI时，认为A的不一致程度在容许范围之内，可用其最大特征值对应的特征向量作为权向量。否则要重新进行成对比较，对A加以调整.顺便指出，（7）式中0.1的选取是带有一定主观信度的。对于A利用（6）、（7）两式和表5－2进行的检验称为一致性检验。对于（2）式给出的成对比较矩阵A可以算出5.073，归一化的特征向量w(0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T。由（6）式知，CI5.07350.018。在0.018510.0160.1。于是成对比较表5－2中查出RI1.12，按（7）式计算，CR1.12矩阵A通过了一致性检验，故上述w可作为准则层对目标层的权向量。五、组合权向量在旅游决策问题中我们已经得到了第2层(准则层)对第1层(目标层，只有一个因素)的权向量，记作w(2)(w1(2),w2(2),,w5(2))T(即由（2）式的A算出的w)。用同样的方法构造第3层(方案层，见图5－1)对第2层的每一个准则的成对比较矩阵，不妨设它们为12511318113B11212，B23113，B3113，1512183113131411341114B41311，B51114.1411441这里矩阵Bk(k1,2,,5)中的元素bij(k)是方案(旅游地)Pi与Pj对准则层中因素准则ck(景色、费用等)的优越性的比较尺度。由第3层的成对比较矩阵Bk计算出最大特征值k，权向量wk(3)和一致性指标CIk，结果列入表5－3。表5－3旅游决策问题第3层的计算结果k123450.5950.0820.4290.6330.166wk(3)0.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.668k3.0053.00233.0093CIk0.0030.00100.0050不难看出，由于n3时随机一致性指标RI0.58(表5－2)，所以上面的CIk均可通过一致性检验。下面的问题是由各准则对目标的权向量w(2)和各方案对每一准则的权向量wk(3)(k1,2,,5)计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作w(3)。对于方案P1，它在景色、费用等5个准则中的权重用wk(3)的第1个分量表示(表5－3中wk(3)的第1行)，而5个准则对于目标的权重又用权向量w(2)表示，所以方案P1对目标的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即0.5950.2630.0820.4750.4290.0550.6330.0990.1660.1100.300.同样可以算出方案P2和P3对目标的组合权重为0.246和0.456，于是组合权向量w(3)(0.300,0.246,0.456)T。由此可见，方案P3在旅游地选择中占的权重最大，远大于方案P1和P2。因此，旅游地P3应作为第1选择，其次是P1，最后是P2。42由上述计算可知，对于三个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2、3层分别有n、m个因素，记第2、3层对第1、2层的权向量分别为w(2)(w1(2),w2(2),,wn(2))T，wk(3)(w(3)k1,wk(3)2,,wkm(3))T,k1,2,,n.以wk(3)(k1,2,,n)为列向量构成矩阵W(3)w1(3),w2(3),,wn(3)，则第3层对第1层的组合权向量为w(3)W(3)w(2).（8）更一般地，若共有s层，则第k层对第1层（设其只有1个因素）的组合权向量为w(k)W(k)w(k1),k3,4,,s.（9）其中W(k)是以第k层对第k1层的权向量为列向量构成的矩阵。于是最下层(第s层)对最上层的组合权向量为w(s)W(s)W(s1)W(3)w(2).(10)六、组合一致性检验在层次分析的整个计算过程中，除了对每个成对比较矩阵进行一致性检验，以判断每个权向量是否可以应用外，还要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。组合一致性检验可逐层进行。若第p层的一致性指标CI1(p)，CI2(p)，⋯，CIn(p)(n是第p1层因素的数目)，随机一致性指标为RI1(p),RI2(p),,RIn(p)，定义CI(p)CI1(p),CI2(p),,CIn(p)w(p1)，(11)RI(p)RI1(p),RI2(p),,RIn(p)w(p1).(12)则第p层对第1层的组合一致性比率为CR(p)CR(p1)CI(p)(p),p3,4,,s.(13)RI43其中CR(2)为由(7)式计算的一致性比率.最后，当最下层对最上层的组合一致性比率CR(s)0.1(14)时，则认为整个层次的比较判断通过了一致性检验。在旅游决策问题中可以算出CI(3)0.00176,RI(3)0.58，前面已经有了CR(2)0.016，于是由(13)式得到CR(3)0.0160.001760.0190.1.0.58这说明上述旅游决策问题通过了一致性检验，前面得到的组合权向量w(3)可以作为最终决策的依据。44