中考数学 教材知识梳理 第7单元 图形的变化 第30课时 图形的相似与位似

第七单元图形的变化第30课时图形的相似与位似2016中考真题中考考点梳理中考题型突破考点2考点3比例的相关概念及性质相似三角形的判定及性质(必考)中考考点梳理温馨提示：点击文字链接进入考点1平行线分线段成比例相似多边形考点4第一部分教材知识梳理考点5位似图形题组二位似图形中考题型突破温馨提示：点击文字链接进入题组一相似三角形的证明及性质的相关计算第一部分教材知识梳理1.(2016河北)如图­1，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()(一)2016中考真题2016中考真题C图­1(一)2016中考真题A，B选项利用“两角对应相等的两个三角形相似”可判定两三角形相似．D选项利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可判定两三角形相似．C选项无法判定两三角形相似，故选C.2．(2016巴中)如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为(　　) A．1∶2　　　　　　　　　B．1∶3C．1∶4D．1∶1B(一)2016中考真题3．(2016临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为____．(一)2016中考真题返回考点1平行线分线段成比例(二)中考考点梳理基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图，两条直线AC，DF被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，则(二)中考考点梳理结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图，因为DE∥BC，所以也可以说还可以说返回考点2比例的相关概念及性质(二)中考考点梳理线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．比例中项：如果即b2＝____，我们就把b叫做a，c的比例中项．ac3.比例的性质(二)中考考点梳理性质1＝⇔______＝bc(a，b，c，d≠0)性质2如果，那么＝______性质3如果(b＋d＋…＋n≠0)，则＝______ad4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使那么点C叫做线段AB的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．返回(二)中考考点梳理1.定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2.性质：(1)相似三角形的对应角_______；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)_______；(3)相似三角形的周长比等于________，面积比等于_____________．考点3相似三角形的判定及性质(必考)(二)中考考点梳理相等成比例相似比相似比的平方3．判定：(1)_______对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且_______相等，两三角形相似；(3)三边_____________，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．(二)中考考点梳理返回两角夹角对应成比例1.定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2.性质：(1)相似多边形的对应边________；(2)相似多边形的对应角______；(3)相似多边形周长的比______相似比，相似多边形面积的比等于________________．考点4相似多边形(二)中考考点梳理成比例相等等于相似比的平方返回1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2.性质：(1)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________．考点5位似图形(二)中考考点梳理位似比3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们所在的直线相交于一点，则该点即是位似中心．4.画位似图形的步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.(二)中考考点梳理返回1.(2016乌鲁木齐二模)如图，不等长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是()A．甲、丙相似，乙、丁相似B．甲、丙相似，乙、丁不相似C．甲、丙不相似，乙、丁相似D．甲、丙不相似，乙、丁不相似题组一相似三角形的证明及性质的相关计算B(三)中考题型突破2.(2016唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为()A．4　　　　　　　　　　B．7C．3D．12B(三)中考题型突破2(三)中考题型突破依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，所以由AD＝4，得AB＝6，所以DB＝6－4＝2.3．(2016乐山)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝____．4.(2015南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．(1)∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.又∵∴△ACD∽△CBD.(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中,∵∠ADC＝90°,∴∠A＋∠ACD＝90°,∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.(三)中考题型突破证明：解：5.(2016洛阳模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.(1)求BD·cos∠HBD的值；(2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．(三)中考题型突破(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝∠DCH，∴△ABC∽△DHC，∴∵AC＝3CD，BC＝3，∴CH＝1，∴BH＝BC＋CH＝4.在Rt△BHD中，cos∠HBD＝∴BD·cos∠HBD＝BH＝4.(三)中考题型突破解：(2)∵△ABC∽△DHC，∴∴AB＝3DH.∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴∴DH＝2，∴AB＝6.(三)中考题型突破返回(三)中考题型突破规律点拨判定两个三角形相似的四种方法：(1)当图形中有平行线时，多用两角对应相等判定；(2)当已知两个三角形的一组角相等时，可以再找一组角，尝试证明相等，或是证明夹相等的这组角的两边对应成比例；(3)当已知两个三角形中三边的长度时，可以用三组边的比相等来证明两个三角形相似；(4)当条件中给出比例式时，可考虑证三边对应成比例，或者用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．1.(2016烟台)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为()A．(3，2)　　　　　　　　B．(3，1)C．(2，2)D．(4，2)题组二位似图形A(三)中考题型突破(三)中考题型突破∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为∴∵BG＝6，∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴∴解得：OA＝1，∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．2.(2016连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是()A．(－4，－3)B．(－3，－3)C．(－4，－4)D．(－3，－4)A(三)中考题型突破3．(2016咸宁)如图,以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶5D．1∶6B(三)中考题型突破方法点拨两个图形位似：若在位似中心同一侧，则位似图形上对应点的横、纵坐标的比都为k；若不在位似中心同一侧，则位似图形上对应点的横、纵坐标的比都为－k.(三)中考题型突破温馨提示：请完成《练测考》P191习题．第一部分教材知识梳理