*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter巴特沃斯滤波器设计公式、步骤冲激响应不变法设计数字巴特沃斯滤波器双线性变换法设计数字巴特沃斯滤波器*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter巴特沃斯(Butterworth)滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化的。模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter如下图所示为Butterworth滤波器的幅度特性，其中为角频率，在处幅度响应的平方为0.5，N为滤波器的阶数，当时，幅度响应为1。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter由此看出，巴特沃斯滤波器的极点分布特点：在s平面上共有2N个极点等角距地分布在半经为的圆周上．*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter这些极点对称于虚轴，而虚轴上无极点；N为奇数时，实轴上有两个极点；N为偶数时，实轴上无极点；各个极点间的角度为。图示为N=3时各极点的分布情况。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter知道巴特沃斯滤波器的极点分布后，便可以由s平面左半平面的极点构成系统函数，根据极点分布，可以得到上式中， 是s平面左半平面的极点， 是右半平面的极点， A和B都为常数。rs*巴特沃斯滤波器ButterworthFilterButterworth滤波器有2N个极点，且对称于虚轴，所以可将左半平面的极点分配给，以便得到一个稳定的系统，把右半平面的极点分配给，不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯滤波器系统函数：*巴特沃斯滤波器ButterworthFilterＡ值的确定N为偶数，A由滤波器在处的单位冲激响应来确定，即于是得到N为奇数可得到一样的结果。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter当Ｎ为偶数时，模拟Butterworth滤波器的系统函数为式中，为左半平面的极点，为的共轭极点N为奇数时，模拟Butterworth滤波器的系统函数为 为负实轴上的极点。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter
总结
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设计数字Butterworth滤波器的步骤如下根据实际需要规定滤波器的数字截止频率处的衰减，单位为dB由数字截止频率 处的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数N和频率*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半平面 的极点构成系统函数左半平面的极点：系统函数：使用冲激不变法或双线性变换法将 转换成数字滤波器的系统函数*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter例4.2设计一个数字巴特沃斯滤波器，在通带截止频率 处衰减不大于1dB，在阻带截止频率处衰减不小于15dB。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter解(1)根据滤波器的指标得同理可得*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(2)设T=1，将数字域指标转换成模拟域指标得代入巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得解这两个方程得按此值设计的滤波器满足通带指标要求，阻带指标将超过给定值。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter求解N的详细过程代入巴特沃斯滤波器的幅度平方函数得*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(3)把 代入式子得到s平面左半平面的3对极点分别为：由这3对极点构成的滤波器的系统函数为*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(4)将上述模拟Butterworth滤波器的系统函数部分分式展开，再按照冲激响应不变法求得数字滤波器的系统函数为可以代入来验证滤波器的各项性能指标是否满足要求。可以看出，设计的滤波器完全满足规定的技术指标。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(5)实现上述设计的MATLAB程序如下a=10.^1.5-1;b=10.^0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(3/2),pause;n=ceil(n);wc=0.2*pi/b.^(1/2/n),pause;[z,p,k]=butter(6,0.7032,'s'),pause;[sosa,ga]=zp2sos(z,p,k),pause;[b,a]=sos2tf(sosa,ga);[bz,az]=impinvar(b,a,1)[sos,g]=tf2sos(bz,az)模拟滤波器Butter(N,ωc,’S’)二阶节变为传函形式零极增益形式变为二阶节形式传函变为二阶节形式fs=1*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter例4.3用双线性变换法设计一个数字巴特沃斯滤波器，设取样频率为，在通带截止频率 处衰减不大于1dB，在阻带截止频率 处衰减不小于15dB。解(1)将模拟截止频率转换成数字截止频率*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(2)计算将模拟截止频率进行预畸变，即于是得到即*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter现在可以认为模拟频率时归一化的频率，即令T=1，得即：解得：再代入左边下面阻带指标式子求得：可以验算这个值对应的阻带指标刚好满足要求，而通带指标已经超过要求。*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(3)把 代入式子得到s平面左半平面的3对极点分别为：由这3对极点构成的滤波器的系统函数为*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(4)将上述模拟Butterworth滤波器的系统函数按照双线性变换法求得数字滤波器的系统函数为*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(4)这个滤波器由3个二阶节级联构成，如果每个二阶节都采用直接II型结构，则这个滤波器的
流程
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图如下图所示。为了检验所设计的数字滤波器性能指标，将 代入验证*巴特沃斯滤波器ButterworthFilter(5)求解该题的MATLAB程序如下：a=10.^1.5-1;b=10.^0.1-1;c=a/b;d=log10(c);n=d/2/log10(tan(0.15*pi)/tan(0.1*pi)),pause;n=ceil(n)wc=2*tan(0.15*pi)/a.^(1/2/n),pause;[z,p,k]=butter(n,wc,'s'),pause;[sosa,ga]=zp2sos(z,p,k),pause;[b,a]=zp2tf(z,p,k);pause;[bz,az]=bilinear(b,a,1)[sos,g]=tf2sos(bz,az)
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