§2.3.2双曲线的几何性质要点精讲1.本节用双的标准方程研究其几何性质，目的有二：①掌握双曲线的基本性质，掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义，以及a,b,c,e之间的相互关系；②通过对方程的讨论，领悟解析几何是怎样用代数
方法
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来研究曲线的性质的．2.研究曲线的范围运用的是函数思想，可以将y解出来，通过研究定义域、值域确定双曲线的范围(当然应分别讨论x轴上方、下方的情形)．3.‘‘离心率’’这个名词是很形象的：在固定a后，焦点距离中心越远，双曲线的开口越大.4.在运用双曲线的定义解题时，离心率确定双曲线的形状，离心率越大，双曲线的开口越大.范围在不等式x≥a与x≤－a“所表示的区域内对称性关于坐标轴x轴、y轴对称，关于原点对称坐标轴是双曲线的对称轴顶点双曲线的顶点Al(－a，0)，A2(a，0)，双曲线的实轴长是2a，虚轴长是2b线段A1A2、线段B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，a，b分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长渐近线双曲线的各支向外延伸，与两条直线y=eq\f(b,a)x和y=－eq\f(b,a)x逐渐接近两条直线y=±eq\f(b,a)叫做双曲线的渐近线离心率e＞l，离心率越大，双曲线的开口越大e=eq\f(c,a)叫做双曲线的离心率典型题解析【例1】双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，且与圆x2＋y2＝5交于点P(2,－1)，如果圆在点P的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线，求双曲线的方程．【解析】【点评】【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦距为16，准线方程为；(2)虚轴长为12，离心率为；(3)顶点间的距离为6，渐近线方程为．【
分析
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】要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a和b．【解】（１）由准线方程为，可知双曲线的焦点y在轴上,设所求双曲线的方程为由题意，得 解得， ．所以 ．因此，所求双曲线的方程为．（２）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得，． ∴．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．因此，所要求的双曲线的方程为和．（3）方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得 解得，．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．因此，所要求的双曲线的方程为和．方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为当＞０时，，解得，＝．此时，所要求的双曲线的方程为．当＜０时，，解得，＝－１．此时，所要求的双曲线的方程为．因此，所要求的双曲线的方程为和．【点评】已知渐近线方程为,可设双曲线,然后用待定系数法试求.【例3】(1)求证：双曲线与双曲线有共同的渐近线．(2)求与双曲线有共同的渐近线·且经过点M(3，－2)的双曲线方程．【解析】【点评】【例4】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2s．若声速为340rn／s．(1)爆炸点在什么曲线上?(2)已知A，B两地相距800m，试求这条曲线的方程．【解析】(1)设M为爆炸点，由题意得MA－MB=340×2=680．因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上(如图)．(2)如图，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy．设M(x，y)为曲线上一点．由于MA－MB=680，得2a=680，即a=340．由于AB=800，得2c=800，即c=400．所以b2=c2－a2=44400因为MA－MB=680>0，所以x＞0．因此，所求曲线的方程为eq\f(x2,115600)―eq\f(y2,44400)=1(x＞0)【点评】确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重要作用．从本例看出，利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置．要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢?如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的方程、性质在实际问题中的应用．【例5】已知：双曲线的两条渐近线的夹角为2,离心率为e．求证：cos．【分析】【解】【点评】【例6】如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围.【解析】如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称．依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．由定比分点坐标公式得，设双曲线的方程为，则离心率．由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得，①②,由①式得③.将③式代入②式，整理得，故．由题设得，．解得.所以双曲线的离心率的取值范围为．【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力.规律总结1.双曲线中有关的参数主要有四个：实轴的长2a，虚的长2b，半焦距c，离心率e．在求双曲线的标准方程时，已知条件常常和这些系数有关，而这些系数又不是相互独立的，它们之间有以下两个关系：和2.双曲线的几何性质集中体现在双曲线的中心、顶点、焦点、对称轴、准线和离心率上；它们又通过参数a，b，c，，来描述的．3.双曲线上的若点P（）在右支上的两个焦半径分别为与a－ex0,若点P（）在左支上的两个焦半径分别为与－(a－ex0).4.对直线和双曲线的位置关系与方程组的转换、两交点存在与判别式△＞0及韦达定理的转换.
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