量子力学补充习
题
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集物理系理论物理教研室2010年3月第一章量子力学的实验基础1-1求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。1-2单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m-2.s-1，假设太阳平均辐射波长是5500，问这相当于多少光子？1-3一个质点弹性系统，质量m=1.0kg，弹性系数k=20N.m-1。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n为何？若n变为n+1，则能量改变的百分比有多大？1-4用波长为2790和2450的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v与1.26v。设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。1-5从铝中移出一个电子需要4.2ev能量，今有波长为2000的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？1-6康普顿实验得到，当x光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x光原来的波长，为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为其中m为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）1-7根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。1-8能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？1-9两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？1-10试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。1-11讨论受热He原子束为简单立方晶格（Å）所衍射。在什么温度下He原子的衍射才是明显的。第二章波函数和薛定谔方程2-1设粒子的波函数为，求在（）范围内发现粒子的几率。2-2设在球坐标系中粒子的波函数可表为：。试表出在球壳（）中找到粒子的几率。2-3沿直线运动的粒子的波函数。（1）试将ψ归一化。（2）画出几率分布曲线。（3）在何处最易发现粒子，而该处的几率密度为何？2-4作一维运动的粒子处在的状态中，其中λ＞0。（1）将此波函数归一化，试说明如其在t=0时刻归一化了，那么在以后的任何时刻都是归一化的。（2）粒子的几率分布函数为何？2-5判断下列波函数所描写的状态是否定态？（1）（2）（3）。2-6由下列定态波函数计算几率流密度：（1）（2）从所得的结果说明表示向外传播的球面波，表示向内（向原点）传播的球面波2-7如在势能上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到（选择无穷远处的U为零）。2-8设体系的波函数为，式中，和为常数。为使此波函数满足定态薛定谔方程，应是怎样的函数？2-9设和是薛定谔方程的两个解，证明与时间无关。第三章简单体系定态薛定谔方程的解3-1设粒子在无限深方势阱中运，能量的量子数为n，试求：（1）距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多少？（2）n取何值在此处找到粒子的几率最大？（3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？3-2设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子，并设势阱宽度为1Å，试求：（1）两个最低能级间的间隔；（2）电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。3-3试将一维自由粒子的定态波函数和组合成具有确定宇称的波函数。3-4对于任意势垒，试证明粒子的反射系数R与透射系数T满足R+T=1，（取E＞U0）3-5一束粒子入射在一窄势垒（）上，如其垒高U0为粒子动能的二倍时，证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。3-6用以下一维势场模型：来研究金属电子的发射，求E>0时的透射系数D。3-7一势垒的势能为式中U0，A，a均为正数。试估算A
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。4-20有两个归一化的但不是正交的波函数及，（实数），，试将及进行叠加组成两个正交归一化的函数及。4-21证明一维谐振子不管处于哪一个定态，它的动量都没有确定值。4-22电子在原子大小范围（数量级为10-10m）内运动，试用测不准关系估计电子的最小能量。4-23质量为m，速度为v，能量为E=1/2mv2的粒子沿x轴方向运动，其位置测量的误差为，设，试由测不准关系，导出能量和时间的测不准关系4-24求证力学量x与F(px)的测不准关系4-25设是x，p的多项式，证明，4-26计算：。4-27设算符不可对易，，但和及可对易，即，试计算：。其中n为正整数，为参变量，f为任何可以表示为正幂级数的函数。4-28设算符不可对易，但和及可对易，即，试证Glauber公式：。4-29证明：（提示：考虑按λ展开，然后令=1）4-30设与对易，证明，4-31设与对易，证明（提示：考虑，然后积分）4-32证明下列几个关于厄米算符的定理：（1）在任何定态下，厄米算符的平均值都是实数。（2）在任何态下。平均值均为实数的算符必为厄米算符。4-33证明几个关于一维定态薛定谔方程的定理：（1）对于一维定态薛定谔方程，如果和是属于同一个本征值E的两个独立的解，则（常数）。(2)对于一维束缚态，所有能级都是非简并的。(3)对于一维定态问题，如果U(x)为x的偶函数，则任何一个束缚态都有一定的宇称性。4-34用测不准关系估计原子核中核子（质子和中子）的动能的数量级。曾经设想电子也是原子核的构成单元之一，试利用测不准关系判断这个设想是否正确。4-35对于的任何一个本征束缚态，证明公式，其中为包含在中的任何一个常数（等等）。4-36对于一维谐振子，证明4-37质量为m的粒子在中心势场中运动，证明：（1）对所有的束缚态相同，并求出。（2）任何两个能级的间隔与质量m无关。4-38给定，下列力学量中哪些是守恒量？4-39证明定理：设体系有两个守恒量，但，则一般说来，体系的能级是简并的。4-40在一维无限深势阱中，已知阱宽为a，试用测不准关系估算零点能。第五章表象理论5-1试证明算符（1）在x表象中的表示为：，，；（2）在P表象中的表示为：，，5-2求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。5-3求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。5-4求连续性方程的矩阵表示。其中，5-5设厄米算符满足，且，求：（1）在A表象中，算符的矩阵表示。（2）在B表象中，算符的矩阵表示。（3）在A表象中，算符的本征值和本征函数。（4）在B表象中算符的本征值和本征函数。（5）由A表象到B表象的么正变换矩阵S。5-6已知二阶矩阵A,B满足下列关系：，试证明，并且在B表象中求矩阵A，B。5-7证明：，由此说明矩阵的det及Tr不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。5-8设矩阵A的本征值为，令，其本征值为，证明，由此证明。5-9设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。5-10证明若三个厄米矩阵A，B和C有如下对易关系，AB=BA，AC=CA，BC≠CB，则A的本征值必有简并。5-11设，证明求和规则5-12设为厄米算符，证明在能量表象中下式成立：5-13对于线性谐振子，设态矢量满足，试证明中态的成份为，其中5-14设已知在及的共同表象中，算符和的矩阵分别为：，，求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx及Ly对角化。5-15试证明：若算符和满足，则算符的本征值为。并且，若记相应的归一化本征矢为，则，第六章角动量初步6-1分别用球坐标和直角坐标证明是厄米算符6-2试证明：为和的共同本征函数，并求相应的本征值。说明当体系处于此状态时，有无确定值。6-3设体系处在的状态中，试：（1）将此波函数归一化；（2）求力学量的测量值及相应的几率；（3）求力学量的可能值及相应的几率；（4）和的可能值及相应的几率。6-4设在和的共同表象中，算符的矩阵表示为，求它的本征值和归一化的本征函数，并将它表示成的线性叠加。6-5求粒子处在态时，轨道角动量的x分量和y分量的平均值和，并证明6-6设体系处于的本征态，求证轨道角动量沿与z轴成θ角方向上的分量的平均值为了。6-7设体系处于某一状态，在该状态中测量力学量L2得到的值是，测量力学量得到的值为，求测量力学量和的可能值。6-8求L2，的共同本征函数，限定。6-9对于，求的取值及相应的几率。6-10试证明：（1）（2）6-11证明：（1）（2）6-12证明：，进而证明6-13对于（）的共同本征态，计算和的平均值，以及，验证测不准关系。6-14粒子处于状态，C为归一化常数。求（1）L2的取值；（2）的平均值；（3）的几率；（4）Lx的可能值及相应的几率。6-15将（）的共同本征态Ylm，记为，证明6-16运用（）的共同本征矢作为基矢，写出表示轨道角动量算符和的矩阵。指出从到的矩阵元。6-17（1）在和是对角的，即以作为基矢的表象中，对的体系写出和矩阵。（2）对于（1）中的体系导出的矩阵。6-18（1）已知的体系在和的表象中的矩阵(见上题)，试求通过变换使对角化的么正矩阵S（2）在是对角的表象中，写出和的矩阵。6-19对于，的共同本征态，求的平方的平均值及的取值几率分布。（）6-20设代表两个角动量与之和,求证：（1），即对量子数m是对角化的。（提示：利用）（2）。（提示：利用）6-21证明（1）（2）6-22.证明和的球坐标表达式，第七章中心力场7-1对于库仑场证明，其中E是总能量。7-2中心力场中的经典粒子的哈密顿量为，其中，当过渡到量子力学时，要换为，试问是否厄米算符？是否厄米算符？7-3设氢原子处于状态，试求氢原子的能量，及的可能值及其几率，并由此求出它们的平均值。7-4某类氢原子的波函数表示如下（r以a0为单位）：（1）通过对的考察，求量子数和的数值。（2）从产生具有相同值，但磁量子数等于的另一个本征函数。（3）当时，求为所规定的状态中某电子的最可几r值。7-5氢原子处于基态，试求（1）r的平均值；（2）最可几半径。7-6试证明：处于1S，2P和3d态的氢原子的电子在离原子核距离分别为a0,4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大（a0为第一玻尔轨道半径）7-7氢原子处于基态，（1）求距核二倍玻尔轨道半径以外发现电子的几率。（2）如果我们画一个球面，使得在此球面内发现电子的几率为90%，那么这个球面的半径是多少？7-8如坐标轴绕z轴旋转一个α角，试问氢原子波函数的角度部分将如何变化？此种变化是否观察到？7-9试求出在及态下，电子按角度的分布几率取极大值和极小值的角。7-10试证明：的氢原子中的电子在和1350方向上被发现的几率最大。7-11原子中的电子束缚态，作为的共同本征态，，求相应的电流密度和磁矩。7-12求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示。7-13由于发生原子核的衰变，原子核的电荷突然由。对于衰变前处于原子Z的K层（1S层）的电子，在原子核衰变后仍旧处于原子（Z+1）的K层的几率等于多少？7-14粒子在半径为a，高度为h的圆筒中运动，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外势能为无限大，求粒子的能量本征值及本征函数。7-15单价原子中的价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的作用可近似表示为，式中，为玻尔半径，求价电子的能级，并与氢原子能级相比较。7-16对于类氢原子（核电荷Ze）的状态，计算：（1）最可几半径rn（2）平均半径（3）涨落，并将它和相比较。7-17讨论二维氢原子，其中的电子为库仑力束缚于原子核，并限制在一个平面中运动。（1）试求此体系的本征函数和能量本征值。（2）试解释玻尔虽然假设一个平面轨道求解氢原子问题，为什么还能够得与实验一致的能量。7-18三维各向同性谐振子势U（r）如下：，式中m为粒子质量，是常数。试求该体系的能级和波函数，并讨论能级的简并情况。7-19一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（x>0）运动。介质的介电常数为，不可穿透。按电像法可求出静电势为，试求电子的能级（E<0）。第八章自旋8-1设电子处于状态，求与Z轴的夹角。8-2证明8-3和组成正交归一完全系，试将的本征值分别为和的本征函数用它们展开。8-4试证明和是的本征函数，但不是的本征函数。8-5试证明。8-6在“自旋”向下态中，求和的涨落，以及。8-7求的本征值和本征函数（取表象）。8-8（1）在表象中求的归一化本征函数；（2）证明，并求相应的本征函数；（3）在态内，求的几率。8-9设电子自旋Z分量为，问沿着与Z轴成角的轴方向上，自旋取及的几率为多少？求此方向上自旋分量的平均值。8-10证明不存在和的三个分量均反对易的非零二维矩阵。8-11测得一电子自旋Z分量为。再测，可能得何值，各值的几率为多少？平均值为何？8-12设为常数，证明8-13设为和对易的任何矢量算符，证明8-14化简，，为常数。8-15证明8-16定域电子受到均匀磁场的作用，指向x轴方向，磁作用势为，设t=0时，电子自旋“向上”，即，求t>0时电子自旋的几率和的平均值。8-17对于两个自旋为1/2的粒子体系，以表示粒子1和2的泡利算符，试求的本征值和本征函数，并求的本征值。8-18设体系有两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子1处于态，粒子2处于态，（1）写出粒子1和粒子2以及体系的波函数，（2）求总自旋的可能测得值及相应的几率。8-19将两个自旋为1/2的粒子组成的体系置于均匀磁场中，设磁场沿Z轴方向，体系哈密顿量与自旋有关部分为，试求体系能级。8-20两个自旋1/2的定域非全同粒子的哈密顿量为，t=0时粒子1自旋“向上”（），粒子2自旋“向下”（），求t>0时（1）粒子1自旋“向上”的几率；（2）粒子1和2自旋均“向上”的几率；（3）总自旋S=1和0的几率；（4）和的平均值。8-21设氢原子的状态是（1）求和的平均值；（2）求总磁矩的Z分量平均值。8-22若电子处于d态，试问它的总角动量可以取哪些值？这时轨道角动量矢量和自旋角动量矢量之间的夹角是多少？8-23对于三电子体系，求总自旋量子数的取值。8-24对于三个电子的自旋函数，求和的本征值。其中第一组构成四重态，对电子1，2和3的任意交换都是对称的，第三组对于电子2和3交换为反对称的。8-25讨论三电子体系的自旋函数：（1）证明是和二者的本征函数，确定相应的本征值。（2）运用阶梯算符生成对于S=3/2的全部2S+1个本征函数。（3）确定S=1/2的三电子体系的本征函数。这样的函数必定有多少组？第九章多粒子系的量子力学9-1两个质量为m的全同粒子，在弹性势场中运动，，忽略粒子间的相互作用。（1）写出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。（2）将用质心坐标X和相对坐标x表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。9-2下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？（1），（2）（3）（4）（5）9-3设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？9-4设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和U（r）相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。9-5一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？9-6考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是，试写出体系的所有可能状态波函数。9-7考虑在无限深势阱（00时，处于的电场中（为常数），求谐振子处于第一激发态的几率。11-2一粒子具有电荷为e，在宽度为a的无限深势阱中运动，原来处于基态，在光波照耀下激发跃迁。求其跃迁几率，和跃迁选择定则。11-3设在时刻t=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为，与均为常数，电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。11-4求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。11-5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即，求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。11-6具有电荷q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动，在光的照射下发生跃迁。设入射光能量密度（单位频率）为，波长较长。若离子原来处于基态，求每秒钟跃迁到第一激发态的几率。11-7计算氢原子由第一激发态到基态的自发跃迁几率。11-8计算氢原子光谱中赖曼系的第一条谱线（2P→1S）的强度。11-9有一自旋1/2，磁矩，电荷为零的粒子，置于磁场中，，开始时（t=0）,粒子处于自旋“向下”态，即，t>0时，加上沿x方向的弱磁场，从而，求粒子在t>0时的自旋态以及测得自旋“向上”（）的几率。11-10氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用，为常矢量，试用微扰论求电子跃迁至各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。11-11根据实验测定，氢原子的能级高于能级1058MHz（兰姆移动），试求电子在这两个能级间的自发跃迁平均寿命。11-12计算氢原子赖曼线系的头两条谱线与的强度比。第十二章散射理论12-1粒子受势能为的场的散射。求S分波的微分散射截面。12-2慢速粒子受到势能为的场的散射，若，求散射截面。12-3只考虑S分波，求慢速粒子受到势能的场散射时的散射截面。12-4用玻恩近似法求粒子在势能场中散射时的散射截面12-5用玻恩近似法求粒子在势能场中散射的微分散射截面。式中。12-6用玻恩近似法求粒子在势能场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下可以应用玻恩近似法。12-7设势场，用分波法求分波的相移。12-8计及S波，P波及d波情况下，给出截面与散射角的依赖关系的一般表示式。12-9用玻恩近似法计算粒子对势的散射截面。截面有何特点？并与低能粒子的散射截面与库仑势的散射截面的特点比较。12-10考虑中子束对双原子分子H2的散射。中子束沿z轴方向入射，两个氢原子核位于处，中子与电子无相互作用，中子与氢原子核（即质子）之间的短程作用为，为简单起见，不考虑反冲。试用玻恩一级近似公式计算散射振幅及微分截面。12-11设有两个电子，自旋态分别为，（1）证明两个单电子处于自旋单态（S=0）及三重态（S=1）的几率分别为，（2）设有两束这样的极化电子散射，证明，其中与分别表示两个电子处于三重态及单态下的散射截面。12-12质量为m的粒子束被球壳势场散射，，在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。12-13设有某种球对称的电荷分布，电荷密度记为，具有下列性质：，迅速趋于0；。今有一束质量m，电荷e，动量的粒子，沿Z轴方向入射，受到此电荷分布所生静电场作用而发生散射，试用玻恩近似公式计算向前散射（）的微分截面。
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