（新课程）高中数学《2.2.2 椭圆及其简单几何性质（2）》评估训练 新人教A版选修2-1

本资料为共享资料来自网络如有相似概不负责PAGE第2课时椭圆方程及性质的应用双基达标　限时20分钟1．椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是(　　)．A．±eq\f(\r(3),4)B．±eq\f(\r(3),2)C．±eq\f(\r(2),2)D．±eq\f(3,4)解析　由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，∴P坐标(3，y0)，又P在eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的椭圆上得y0＝±eq\f(\r(3),2)，∴M的坐标(0，±eq\f(\r(3),4))，故选A. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　A2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)解析　由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，∴a＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案　D3．已知椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝(　　)．A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．4D．8解析　如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1、FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1为椭圆的下焦点)为平行四边形，∴AF1＝FD，同理BF1＝CF，∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8.答案　D4．直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．解析　由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1))消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋m≠0，,Δ＝（4m）2－4m（3＋m）>0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠－3，,m<0或m>1.))由eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.综上可知，m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案　(1，3)∪(3，＋∞)5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝eq\f(1,2)x＋1截得的弦长为________．解析　由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦长|MN|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(（x1－x2）2＋（\f(1,2)x1－\f(1,2)x2）2)＝eq\r(\f(5,4)[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(\f(5,4)（4＋24）)＝eq\r(35).答案　eq\r(35)6．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3).求直线l的方程．解　设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0.由|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝eq\f(32,9)，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝eq\f(32,9)，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq\f(32,9).即(1＋k2)(－eq\f(4k,1＋2k2))2＝eq\f(32,9).化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率是eq\f(\r(6),3)，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为(　　)．A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)解析　设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2＝b2－eq\f(b2x2,a2)，y12＝b2－eq\f(b2x12,a2)，所以k1·k2＝eq\f(y－y1,x－x1)·eq\f(y＋y1,x＋x1)＝eq\f(y2－y12,x2－x12)＝－eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝e2－1＝－eq\f(1,3)，即k1·k2的值为－eq\f(1,3).答案　D8．已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若eq\o(FA,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，则|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝(　　)．A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．3解析　设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．∴由eq\o(FA,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝eq\f(4,3)，y0＝eq\f(1,3)n.将x0，y0代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得eq\f(1,2)×(eq\f(4,3))2＋(eq\f(1,3)n)2＝1.解得n2＝1，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(（2－1）2＋n2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2).所以选A.答案　A9．已知F1、F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解析　由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案　810．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．解析　直线A1B2的方程为eq\f(x,－a)＋eq\f(y,b)＝1，直线B1F的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,－b)＝1，二者联立，得T(eq\f(2ac,a－c)，eq\f(b（a＋c）,a－c))，则M(eq\f(ac,a－c)，eq\f(b（a＋c）,2（a－c）))在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，∴eq\f(c2,（a－c）2)＋eq\f(（a＋c）2,4（a－c）2)＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2eq\r(7)－5.答案　2eq\r(7)－511．已知过点A(－1，1)的直线与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．解　设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC中点M(x，y)，则eq\f(x12,8)＋eq\f(y12,4)＝1，①eq\f(x22,8)＋eq\f(y22,4)＝1.②②－①，得(eq\f(x22,8)－eq\f(x12,8))＋(eq\f(y22,4)－eq\f(y12,4))＝0.∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③当x1≠x2时，eq\f(x1＋x2,2)＝x，eq\f(y1＋y2,2)＝y，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y－1,x＋1)，又∵③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·eq\f(y2－y1,x2－x1)＝0.∴2x＋2·2y·eq\f(y－1,x＋1)＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.当x1＝x2时，由点M(x，y)是线段BC中点，∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．总之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.12．(创新拓展)如图所示，点A、B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解　(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)．由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,（x＋6）（x－4）＋y2＝0.))则2x2＋9x－18＝0,即得x＝eq\f(3,2)或x＝－6.由于y>0，只能x＝eq\f(3,2)，于是y＝eq\f(5,2)eq\r(3).∴点P的坐标是(eq\f(3,2)，eq\f(5,2)eq\r(3))．(2)直线AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是eq\f(|m＋6|,2)，于是eq\f(|m＋6|,2)＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq\f(5,9)x2＝eq\f(4,9)(x－eq\f(9,2))2＋15，由于－6≤x≤6.∴当x＝eq\f(9,2)时，d取最小值eq\r(15).