§4 数学归纳法课前预习学案在多米诺骨牌游戏中，你能说出使所有多米诺骨牌全部倒下的条件吗？[提示] 要使所有骨牌全部倒下，必须具备两个条件：①第一张牌被推倒；②前面的一张倒下时，能推倒它后面的一张．数学归纳法是用来
证明
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某些与_______________的数学命
题
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的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证n＝1时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥1)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．1．数学归纳法正整数n有关从观察一些______的简单的问题入手，根据它们所体现的共同体质，运用_____________作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫作“归纳—猜想—证明”.2．归纳、猜想与证明(1)数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n有关的数学命题，但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可以用数学归纳法证明．一般说来，从n＝k的情形过渡到n＝k＋1的情形时，如果问题中存在可利用的递推关系，那么数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就很困难．特殊不完全归纳法(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据．这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，无法递推下去，同样，只有第二步缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设失去了成立的前提，第二步也无意义．(3)第二步的证明中，“当n＝k时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用，“当n＝k＋1时结论正确”则是求证的目标，而且证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程里，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n＝k时结论正确”这一条件，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法．解析： 当n＝1时，不等式不成立；当n＝2时，不等式成立，故n0＝2.答案： B4．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(n∈N＋)．证明： (1)当n＝1时，左边＝1×4，右边＝1×(1＋1)2＝4.等式成立．(2)假设n＝k时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2成立，则当n＝k＋1时，有1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k2＋k＋3k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即n＝k＋1时等式成立，由(1)(2)可知，对任意正整数n∈N＋等式成立．课堂互动讲义用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明一个与正整数n有关的恒等式时，关键是第二步，要特别注意两方面的问题：第一是当n＝k＋1时与n＝k时等式两边的联系，必须弄清等式两边分别增加了哪些项，减少了哪些项；第二是利用归纳假设后的变形目标要明确，即在等式的一端应用归纳假设后，要逐步变形为n＝k＋1时等式另一端的形式．用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式，推导n＝k＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均可灵活运用．在证明过程中，常常要在“凑”出归纳假设的前提下，根据剩余部分的结构特点及n＝k＋1时命题的需要进行放缩．平面上有n个圆，其中任意两圆都相交，任意三圆不共点，试证n个圆把平面分为f(n)＝n2－n＋2个部分．[思路导引] 每增加一个圆，把平面分成的部分就增加2k块．证明： (1)当n＝1时，即一个圆把平面分成两个部分，f(1)＝2，又n＝1时，n2－n＋2＝2，∴命题成立．用数学归纳法证明几何问题(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．那么设第(k＋1)个圆为⊙O.由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k个圆相交于2k个点，把⊙O分成2k条弧，而每条弧把原区域分成两块，因此平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对于任何正整数n命题均成立．用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述要准确清楚，关键要弄清从n＝k到n＝k＋1时新增加的量是什么．一般地，证明第二步时，常用的方法是“加一法”，即在原来k的基础上，再增加一个，也可以从k＋1个中分出一个来，剩下的k个利用归纳假设．3．平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点．证明：这n条直线相互分割出n2条线段或射线．证明： (1)当n＝2时，两条直线相交得到4条射线，命题成立．(2)假设n＝k时，k(k≥2)条直线按题目要求相交可得到k2条线段或射线，则当n＝k＋1时，记这k＋1条直线中的一条为l，则其余k条直线相交可得到k2条线段或射线，直线l与这k条直线相交可新增加k个不同的交点，这k个点把直线l分成k＋1段，又各自把它们所在线段或射线分成两部分，即又增加k条线段或射线，那么新增加的线段或射线的条数为k＋1＋k＝2k＋1条，从而k＋1条直线相交，得到的线段或射线的条数为：k2＋2k＋1＝(k＋1)2条．所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知命题对n∈N＋且n≥2成立．某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．归纳、猜想、证明解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成数列的规律，同时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律，证明时弄清n的初值，并且牢记猜想过程中的各式之间的变化．
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