概率统计方法建模讲座

案例1：如何估计池塘中鱼的数量一、问题：要估计一个池塘里有多少条鱼，可以采用“标志重捕法”，即：先重池塘中捕出r条，每条鱼都做上记号，经过一段时间后，再从池塘中捕出s条（s>r），统计其中标有记号的鱼的条数t,利用这些信息，估计池塘中鱼的条数N.需要作哪些假设？1、实验期间，标记个体不会变化。2、标记不会对鱼造成伤害。3、期间没有迁出、迁入、新生和死亡。4、所有鱼被捕获的概率相等。模型假设二、问题的分析与求解解法一：用概率的统计定义方法求从而，N的估计为：可用参数估计方法求解解法二：用矩估计方法求易求得：与解法一结果一致！解法三：二项分布与最大似然估计评述：1、同一问题可用不同方法求解。2、类似问题可用同样方法去考虑。3、估计动物群体数量还可用其它方法，如“轰赶法”.案例2：产品质量验收中抽样 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的确定一、问题：一批产品出厂之前，要进行质量验收，一般采用抽样检验法，即从一大批产品中随机抽出n件，用这n件产品的质量信息推断整批产品的质量状况，以确定这批产品是否合格。在抽样之前要确定抽样方案，即样本容量及接受这批产品的准则。二、问题的分析与模型的建立显然，接受概率L是p的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，记为L=L(p)，称为接受概率曲线，或抽样特征曲线，也称OC曲线.L(p)是p的减函数.p由于抽样的随机性，有可能拒绝一批高质量的产品，犯这类错误的概率记为，称为生产风险；也有可能接受一批低质量的产品，犯这类错误的概率记为，称为使用风险。只有增大容量n才能同时降低这两类错误的概率，但这样做通常是不可行的！一种折衷的方案是生产者和使用者都承担一定的风险.高质量的产品(p较小)使用方以高概率接受，以保护厂方利益；低质量的产品(p较大)使用方以低概率接受，以保护使用方利益。p由于L(p)是p的减函数，所以n,d也可由下式确定现要验收一批产品，如果该批产品的次品率p<0.04,就接受该批产品；如果p>0.1就拒绝这批产品。并且要求当p<0.04时,不接受这批产品的概率为0.1，当p>0.1时接受这批产品的概率为0.1，试为验收者制定验收抽样方案。三、举例抽查112件产品，如果抽得的不合格品数不超过8件，就接受该批产品，否则拒绝该批产品。四、问题的扩展也可用上述方法确定计量质量指标抽样检验方案因此，抽样检验检验方案可以用(n,c)表示。解上述方程组，得五、问题的进一步思考一、问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.每份报纸订购价格为b，零售价格为a，退回价格为c(a＞b＞c).请你为报童制定一个最佳订购方案.案例3：报童的订报模型二、问题的分析报童每天卖出报纸的数量是一个随机变量，因此报童每天的收入也是一个随机变量,所以作为优化模型的目标函数,不能是报童每天的收入,而应该是他长期卖报的日平均收入.从大数定律的观点来看,这相当于他每天收入的期望值.另一方面,如果报纸订得太少,供不应求,报童就会失去一些挣钱的机会,将会减少收入;但如果订多了,当天卖不完,每份得赔钱,报童也会减少收入.设报社有足够的报纸可供定购；当天卖不出去的报纸只能退回；报童除了订购报纸费用外,其它费用(如交通费、摊位费等)一概不计；报童每天订购n份报纸,实际能卖出r份报纸,且P{=r}=p(r).（分布律是什么？泊松分布还是正态分布？）三、模型的假设如果0≤r≤n,则售出r份报纸增加收入(a-b)r,退回n-r份减少收入(b-c)(n-r)；如果r＞n,则售出n份报纸增加收入(a-b)n.因此报童每天收入的期望值：问题归结为在a,b,c,p(r)为已知时,求n使f(n)最大.四、模型的建立期望值模型将r视为连续变量五、模型的求解与结果结果解释nP1P2取n使a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱0rp六、模型结果的模拟检验>>poisscdf(104,100)ans=0.6784此时，平均每天收益的期望cleara=2.0;b=1.0;c=0.5;n=104;x=[0:n]';p=poisspdf(x,100);d=(a-b)*x-(b-c)*(n-x);f=sum(d.*p)f=f+n*(a-b)*(1-poisscdf(n,100))f=94.5115这是解析计算的结果！利用伪随机数产生函数poissrnd作随机模拟clearN=5000;G=zeros(N,1);m=104;a=2.0;b=1.0;c=0.5;X=poissrnd(100,N,1);forI=1:NifX(I)>=mG(I)=(a-b)*m;elseG(I)=(a-b)*X(I)-(b-c)*(m-X(I));endendf=mean(G)f=94.5863f=94.7597再算一次！！每天平均的收益的模拟值随机模拟求最佳订购数量cleara=2.0;b=1.0;c=0.5;M=[50:150]';k=length(M);A=zeros(k,1);forJ=1:kN=5000;G=zeros(N,1);m=M(J);X=poissrnd(100,N,1);forI=1:NifX(I)>=mG(I)=(a-b)*m;elseG(I)=(a-b)*X(I)-(b-c)*(m-X(I));endendA(J)=mean(G);end[Y,I]=max(A)n=M(I)Yn=105Y=94.6011再算一次！！n=104Y=94.8050七、模型的推广报童订报模型适用于一些季节性强、更新快、不易保存等特点的货物订货模型.但是模型中有一个严格的限制条件：两次订货之间没有联系,这种策略是决策论中的一种定期定量订货策略.案例4：轧钢中的浪费轧制钢材两道工序粗轧(热轧)~形成钢材的雏形精轧(冷轧)~得到钢材规定的长度粗轧钢材长度正态分布均值可以调整方差由设备精度确定粗轧钢材长度大于规定切掉多余部分粗轧钢材长度小于规定整根报废随机因素影响精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背景分析设已知精轧后钢材的规定长度为l，粗轧后钢材长度的均方差为记粗轧时可以调整的均值为m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作x~N(m,2)切掉多余部分的概率整根报废的概率存在最佳的m使总的浪费最小lP0p(概率密度)mxP´mPP´建模选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根报废的浪费总浪费=+粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧N根成品材PN根成品材长度lPN总长度mN共浪费长度mN-lPN选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数优化模型：求m使J(m)最小（已知l,）建模粗轧N根得成品材PN根求解求z使J(z)最小（已知）求解例设l=2(米),=20(厘米)，求m使浪费最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z97年赛题：零件的参数 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。一、模型的假设（略）二、问题的分析与建模该优化问题的目标是：由产品的质量损失L和零件的成本C二者构成的费用函数最小，质量损失取决于产品参数偏离目标值y0的大小，由所给数据，可设质量损失函数functionz=ff(x)z=174.42*(x(1)/x(5))*(x(3)/(x(2)-x(1)))^0.85*sqrt((1-2.62*(1-0.36*(x(2)/x(4))^(0.56))^1.5*(x(4)/x(2))^1.16)/(x(6)*x(7)));functiony=ff1(x)y=-8721/250000*(3*x(1)-20*x(2))*x(3)*10^(1/2)*((6250*x(2)-3275*(25-9*(x(2)/x(4))^(14/25))^(1/2)*x(4)*(x(4)/x(2))^(4/25)+1179*(25-9*(x(2)/x(4))^(14/25))^(1/2)*x(4)*(x(4)/x(2))^(4/25)*(x(2)/x(4))^(14/25))/x(2)/x(6)/x(7))^(1/2)/x(5)/(-x(3)/(-x(2)+x(1)))^(3/20)/(-x(2)+x(1))^2;function[f,g]=jianm97(x,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10)%本函数为优化目标函数K=100000;%t=[0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.05,0.05];t=[0.05,p1,p2,p3,0.1,p4,p5];C=25+p6+p7+p8+50+p9+p10;a=[0.075,0.225,0.075,0.075,1.125,12,0.5625];b=[0.125,0.375,0.125,0.125,1.875,20,0.935];%C=275;f=K*(ff(x)-1.5)^2+(K/9)*((ff1(x)*x(1)*t(1))^2+(ff2(x)*x(2)*t(2))^2+...(ff3(x)*x(3)*t(3))^2+(ff4(x)*x(4)*t(4))^2+(ff5(x)*x(5)*t(5))^2+...(ff6(x)*x(6)*t(6))^2+(ff7(x)*x(7)*t(7))^2)+C;g=[a-xx-b]';%97年建模题零件参数的设计(A题)%本文件为可执行文件（主程序）clearallx1=[0.075,0.375,0.125,0.1185,1.1616,19.96,0.5626];f=100000;N=0;ch2a=[0.1,0.05];%第二个零件的等级ch3a=[0.1,0.05,0.01];ch4a=ch3a;ch6a=ch3a;ch7a=[0.05,0.01];cb2n=[20,50];%第二个零件的成本cb3n=[20,50,200];cb4n=[50,100,500];cb6n=[10,25,100];cb7n=[25,100];forI=1:2forJ=1:3forK=1:3forL=1:3forM=1:2[x,opt]=constr('jianm97',x1,[],[],[],[],ch2a(I),ch3a(J),ch4a(K),ch6a(L),...ch7a(M),cb2n(I),cb3n(J),cb4n(K),cb6n(L),cb7n(M));N=N+1ifopt(8)