平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量a,b（bO）,a〃b的充要条件是：存在唯一的实数，使ab由该定理可以得到平面内三点共线定理：点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点uuvIVUJV的0,存在唯一的一对实数x,y使得：OPxOAyOB且xy特别地有：当点P在线段AB上时，x0,y0当点P在线段AB之外时，xy0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用，供同行交流。例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若uujuuriuuOBa,OAa200OC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点0）,则S200=（）A.100B.101C.200D.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,•••S200200⑻如0）100,故选A2点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的咼考题———14例2已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR，则-xy的最小值是解：Q点P落在VABC的边BC上B，P,C三点共线uuuQAPuuuujurxAByAC且x>0,y>014()(xxy4xQx>0,y>0由基本不等式可知:4x4x4，取等号时y4xxy4x22xQx0,y0y2xQx13，yI，符合1所以丄x4的最小值为y点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中,UULT1UULTuuuAN3nc，点P是BC上的一点，若APUUU2UULTmAB石AC，则实数m图2的值为（A.211B.511C.311D.-11解：QB,P,Nuuu三点共线，又QAPuuu2mAB2UULTAC11uuumAB2UULT4AN11uuu8uuu"mABAN11m§111m-，故选C11例4（07年江西高考题理科）如图3，在AABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点uuuM、N，若AB=mAM,AC=nAN，贝Um+n的值为解：Q因为O是BC的中点，故连接AO,如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:UULTUUUUUULTQAB=mAM，ACUULT1uuuuuurAO—(ABAC)2UULTnAN图3uur1uuLuruurAO-(mAM2nAN)uurmuuuunuurAOAM-AN22又QM,O,N三点共线,由平面内三点共线定理可得：m21mn2P、Q例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示:点G是A0AB的重心,设OPxOA，OQyOB，证明：11疋疋值，xy证明：Q因为G是VOAB的重心,uur21uuuuuu1uuuuurOG(OAOB)(OA(323OB)uuruuruur1ujurxOAOA—OPuuuruuuunrQOPQOQyOBOBxuur1uuuuuu11uuu1(OAOB)(OP—33xyuuruuiu1uuuOP3xOGOQ)OG11又QPGQ三点共线，3X3y111xy3-x分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线.1uuirOQy1为定值y1imrOQ3y图5例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,占八、、）uuur记ABa，uuirADrb，uur则AG2r1r2r3r小3r1r4r2rA.abB.abC.abD.ab77777777unr1mmuuur1uur在平行四边形ABCD中，AE-AB,AF—AD,CE与BF相交于G34D-图6分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解解：QE,G,C三点共线,uurAGuuuuurxAE(1x)ACuurAG1rrxa(1x)(a3uuu1uuu,QAE-AB3r2xrb)(1亍)a(11ruuurrra,ACab3x)b又QF,G,B三点共线,由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数使得uurAGuurAB(1uuu)AFuuu1uuirQAFAD4丄b,,4uurAGa(11r)4b由①②两式可得:2x~36737luirAG点评：本题的解法中由两组三点共线(F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,BN与CM相交于点P，且ABa，ACb，试用a、b 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示AP图7解：QN,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使uuuuuruur得APxAByAN,xy1QAN:AC=1:4,ANAC丄buuuuuuyuuury[r1xrxabxab…APxABAC…•①44444又QC,P,M三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,使得uurAPuuuuAMuuuAC,1•/AM:AB=1:3•••AM1--AB313a，，uurrr1rrAPabab…②3313由①②两式可得：x3x118Qxy1,yuuu3rAP—a1x2111111411例6的变式二：如图8所示：直线I过YABCD的两条对角线AC与BD的交点0,与AD边交于点N,与AB的延长线uuu.uur一,交于点M。又知AB=mAM,AD=nAN，贝Um+n=_解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点UULT1uuuuuruuuumrAO(ABAD)QAB=mAM,AD=nAN2uuriuuiuruurmuuuunuurAO(mAMnAN)AMAN又QM,0,N三点共线，222由平面内三点共线的向量式定理可得：m-1mn222定理的推广：x,y使彳图：iouuvOPuvuuvxOAyOB且xy1。点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数uuuiuuuuur例7已知点P为VABC所在平面内一点，且AP丄ABtAC（t3R),若点P落在VABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）A3A-（。，4）13B.（越）C.（列D.(0,2)解：Q点P落在VABC的内部A,P两点在直线BC的同一侧,图111由推论2知：-t132t3，所以选D例8（06年湖南高考题文科）如图12:OM//AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）且OPxOAyOB，则实数对（x,y）可以是（）图12AG4)B.(i，t)C.(4,3)D.(1，所以A,D两解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以x选项不符合。对于选项B、C,都有xy1,但当x2时,①如果点P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知:②如果点P在直线OM上,uuuuuuOM//AB可知：OP||AB，由平面向理共线定理可知:数t,使uuu得OPuuumuurnumruuutABt(OBOA)tOAtOB，QOPxOAyOBtx,tt3，y又因为点P在两平行直线AB、OM之间,11对选项C同理可知：当x1时，1y2所以235，故y45y-,故B选不符合。333符合，4所以选C例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM//AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边uuuuuuuuu1界）运动，且OPxOAyOB,当x?时，y的取值范围解：当x2时,图13①如果点3P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：y勺②如果点P在直线0M上,uuuuuuOM//AB可知：OPPAB，由平面向理共线定理可知:uuu数t,使得OPuuutABuuut(OBuuuOA)tOAuurtOB，QOPxOAyOBtx,tt2，y12，又因为点P在两平行直线AB、OM之间,所以所以实数13y的取值范围是：（厂L练习：uuuujuujuruuur则OP()“1r2r2r1rA.—abB.ab33333.OAB，点P在边AB上,AB3AP，设OAa,OBb，uuu1r2r2r1rC.-abD.ab33331、平面直角坐标系中,ujiruuuO为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OC=aOA+卩uurOB，其中a氏R且a+3=1，则x,y所满足的关系式为（）A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0一—一142、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR，贝U-xy的最小值是3、在平行四边形ABCD中，0是对角线AC与BD的交点,E是BC边的中点,连接DE交AC于点F。已知AB=a,AD=b，则OF=（）A.-a+-bb.-(a+b)364C.丄(a+b)6D.6+丄b64、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点,DE交AF于H，记AB、BC分别为a、b，则AH=(24A.—a—一b5524B.—a+_b5524C一a+_bD.55uuu6、在平行四边形ABCD中，AE1uuuuuur-AB,AF3小uULT则AG=()21u23UA.abB.ab77771嚣,CE与BF相交于点G,记ABa，嚣b，C3a!bD•爲务77775、(2008年广东卷）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点0,E是线段OD的中点，AEuuruuuruuu的延长线与CD交于点F.若ACa,BDb，则AF()11,21,11,12,A.abB.abC.—abD.-ab42332433ujur则0M（结果用a与b表示）uuuriuuuuuiriuuuuunruuur7、在△ABO中，已知OC—OA,OD—OB,，且AD与BC相交于点M，设OAa,OBb,428、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若uuiruuruuuOCxOAyOB则有：（）A.0xy1B.xy1A.xy1A.1xy0变式:如图所示:A,B,C是圆O上的三个点,CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，imr若OCuuixOAuuuyOB则有：（A.0xB.xyA.xyA.