南京鼓楼实验学校七年级下册数学期末试卷培优测试卷

南京鼓楼实验学校七年级下册 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 期末试卷培优测试卷一、解答题1．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；（3）利用（2）的结论解答：如图，，分别平分，，请你写出与的数量关系，并说明理①2AP1BP1∠DAP∠FBP∠P∠P1由；如图，，分别平分，，若＝，求．（用含的代数式②3AP2BP2∠CAP∠EBP∠APBβ∠AP2Bβ表示）2．（1）（问题）如图1，若AB//CD，AEP40，PFD130．求EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB//CD，点P在AB的上方，问PEA，PFC，EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知EPF，PEA的平分线和PFC的平分线交于点G，用含有的式子表示G的度数．3．如图，MN//PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BGAD，垂足为点G．（1）如图1，求证：MAGPBG90；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，MAG和PBC的平分线交于点H请在图2中补全图形，猜想并证明CBG与AHB的数量关系；4．综合与探究（问题情境）王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出PAF、PBN和APB之间的数量关系；（问题迁移）（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设ADP，BCP．则CPD，，之间有何数量关系？请说明理由．②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD，，之间的数量关系．5．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：B+D=BED；（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．二、解答题6．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且BCMN，其中∠ABCACB，DEFDFE，ABCDFE90，点E、F均落在直线MN上．（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：DF//AB；聪明的小丽过点C作CG//DF，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：DE//AC；（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点E，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若DFE，则CAB________．（用含的代数式表示）7．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．8．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD（1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系；（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB的度数；（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．9．已知，如图①，∠BAD=50°，点C为射线AD上一点（不与A重合），连接BC．（1）[问题提出]如图②，AB∥CE，∠BCD=73°，则：∠B=．（2）[类比探究]在图①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系？并用平行．．．．线的性质．．．．说明理由．（3）[拓展延伸]如图③，在射线BC上取一点O，过O点作直线MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E点，OF平分∠BON交AD于F点，OG//BE交AD于G点，当C点沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．10．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°旋转360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以CPD下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证BPN明．三、解答题11．解读基础：（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出A、B、C、D之间的关系，并说明理由；（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出A、B、C、D之间的关系，并说明理由：应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题（3）①如图3，在ABC中，BD、CD分别平分ABC和ACB，请直接写出A和D的关系；②如图4，ABCDEF．（4）如图5，BAC与∠BDC的角平分线相交于点F，GDC与CAF的角平分线相交于点E，已知B26，C54，求F和E的度数．12．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动,A、B不与点O重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反3向延长线交于E、F，则∠EAF＝；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO2的度数.13．如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（1）求证：∠BED＝90°；（2）如图2，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；（3）如图3，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EBM的角平分线与∠FDN的角平分线交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论：．14．已知，AB//CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，写出EAF、AED、EDG之间的数量关系并证明；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：EAFAEDEDG；（3）如图3，AI平分BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且EDI：CDI2:1，AED20，I30，求EKD的度数．15．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与A，1，2之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决．（1）请你在横线上补全小明的探究过程：∵BDCDBCBCD180，（______）∴BDC180DBCBCD，（等式性质）∵A12DBCBCD180，∴A12180DBCBCD，∴BDCA12．（______）（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题：①如图①，在凹四边形ABCD中，BDC135，BC25，求A______；②如图②，在凹四边形ABCD中，ABD与ACD的角平分线交于点E，A60，BDC140，则E______；③如图③，ABD，ACD的十等分线相交于点、F、F、…、F，若BDC120，129BFC64，则A的度数为______；3④如图④，BAC，∠BDC的角平分线交于点E，则B，C与E之间的数量关系是______；⑤如图⑤，ABD，BAC的角平分线交于点E，C40，BDC140，求AEB的度数．【参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】一、解答题1．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=解析：（）；（）猜想：，理由见解析；（），1110°2∠APB=∠DAP+∠FBP3①∠P=2∠P11理由见解析；②∠APB=180．22【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP，然后根据角平分线的定义和平角等于2B=∠CAP2+∠EBP2180°列式整理即可得解．【详解】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．理由：见（1）中证明．（）结论：；3①∠P=2∠P1理由：由（）可知：，，2∠P=∠DAP+∠FBP∠P1=∠DAP1+∠FBP1∵∠DAP=2∠DAP，，1∠FBP=2∠FBP1∴∠P=2∠P．1由得，，②①∠APB=∠DAP+∠FBP∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2∵AP、分别平分、，2BP2∠CAP∠EBP∴∠CAP=1∠CAP，∠EBP=1∠EBP，2222∴∠APB=1∠CAP+1∠EBP，222=1（180°-∠DAP）+1（180°-∠FBP），22=180°-1（∠DAP+∠FBP），2=180°-1∠APB，2=180°-1β．2【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．2．（1）90°；（2）∠PFC=∠PEA+∠P；（3）∠G=α【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN=∠PEA+∠FPE，进而可得∠PF解析：（1）90°；（2）∠PFC=∠PEA+∠P；（3）∠G=1α2【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN=∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；（3）令AB与PF交点为O，连接EF，根据三角形的内角和定理可得∠GEF+∠GFE＝1∠PEA+1∠PFC+∠OEF+∠OFE，由（2）得∠PEA=∠PFC-α，由∠OFE+∠OEF=180°-22∠FOE=180°-∠PFC可求解．【详解】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1=∠AEP．又∠AEP=40°，∴∠1=40°．∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD=180°．∵∠PFD=130°，∴∠2=180°-130°=50°．∴∠1+∠2=40°+50°=90°．即∠EPF=90°．（2）∠PFC=∠PEA+∠P．理由：过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA=∠NPE，∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN=∠PFC，∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；（3）令AB与PF交点为O，连接EF，如图3．在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF），∵∠GEF＝1∠PEA+∠OEF，∠GFE＝1∠PFC+∠OFE，22∴∠GEF+∠GFE＝1∠PEA+1∠PFC+∠OEF+∠OFE，22∵由（2）知∠PFC=∠PEA+∠P，∴∠PEA=∠PFC-α，∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC，∴∠GEF+∠GFE＝1(∠PFC−α)+1∠PFC+180°−∠PFC＝180°−1α，222∴∠G＝180°−(∠GEF+∠GFE)＝180°−180°+1α＝1α．22【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．3．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，．【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解．【详解】（1）证明：解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C在AG上时，2AHBCBG90；当点C在DG上时，2AHBCBG90．【分析】（1）过点G作GE//MN，根据平行线的性质即可求解；（2）分两种情况：当点C在AG上，当点C在DG上，再过点H作HF//MN即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点G作GE//MN，∴PBCPBGCBG22．∴2AHB2122MAGPBGCBG90CBG．即2AHBCBG90．【点睛】本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．4．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；②根据题意，可对点P进行分类讨论解析：（1）PAFPBNAPB360°；（2）①CPD，理由见解析；②图见解析，CPD或CPD【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到DPE，CPE，即可得到答案；②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：∵EF//MN，∴EF//MN//PQ，∴PAFAPQ180°，PBNBPQ180°，∵APBAPQBPQ∴PAFPBNAPB360°；（2）①CPD；理由如下：如图，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴DPE，CPE，∴CPDDPECPE；②当点P在BA延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴CPD；当P在BO之间时，如备用图2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴CPD．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．5．（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行解析：（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的mn1延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）2n【分析】（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．【详解】解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=1m，2∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，n1n1n1n11mn1∴∠BFD=xyxy=m=．nnnn22n【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．二、解答题6．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；（2）先证明，再证明，得到，问题得证；（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠D解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2．【分析】（1）过点C作CG//DF，得到DFEFCG，再根据BCF90，ABCDFE90，得到ABCBCG，进而得到CG//AB，最后证明DF//AB；（2）先证明ACBDEF90，再证明ACBACE90，得到DEFACE，问题得证；（3）根据题意得到DFEDEF，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到∠ABCACB=90，根据三角形内角和即可求解．【详解】解：（1）过点C作CG//DF，DFEFCG，BCMN，BCF90，BCGFCG90，BCGDFE90，ABCDFE90，ABCBCG，CG//AB，DF//AB；（2）解：ABCACB，DEFDFE，又ABCDFE90，ACBDEF90，BCMN，BCM90，ACBACE90，DEFACE，DE//AC；（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．∵DFE，∴DFEDEF，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，∵ACBACE90，∴∠ACB=90，∴∠ABCACB=90，∴∠A=180°-∠ABCACB=2．故答案为为：2．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．7．（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠A解析：（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案为110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α，理由是：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β，理由是：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，分类讨论是解题的关键．8．(1)；(2)；(3)不发生变化，理由见解析【分析】(1)如图1，延长DE交AB于点F，根据平行线的性质推出；(2)如图2，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB，根据AB∥CD，AB∥E解析：(1)ACB+BED180；(2)100；(3)不发生变化，理由见解析【分析】(1)如图1，延长DE交AB于点F，根据平行线的性质推出ACB+BED180；(2)如图2，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB，根据AB∥CD，AB∥ES推出BEDABECDE，再根据AB∥TH，AB∥CD推出GHDTHDTHB，最后根据BED比BHD大60得出BED的度数；(3)如图3，过点E作EQ∥DN，根据DEBCDEABE得出的度数，根据条件再逐步求出PBM的度数．【详解】(1)如答图1所示，延长DE交AB于点F．AB∥CD，所以DEFB，又因为AD，所以AEFB，所以AC∥DF，所以ACBCED．因为CED+BED180，所以ACB+BED180．(2)如答图2所示，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB．设ABGEBG，FDHEDH，因为AB∥CD，AB∥ES，所以ABEBES，SEDCED，所以BEDBESSEDABECDE21802，因为AB∥TH，AB∥CD，所以ABGTHB，FDHDHT，所以GHDTHDTHB，因为BED比BHD大60，所以2+1802()60，所以40，所以BHD40，所以BED100(3)不发生变化如答图3所示，过点E作EQ∥DN．设CDNEDN，EBMKBM，由(2)易知DEBCDEABE，所以2+1802100，所以40，所以DEBCDEEDN180(EBMPBM)180PBM，所以PBM80()40．【点睛】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．9．（1）；（2），见解析；（3）不变，【分析】（1）根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度数；（2）过点作∥，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；（3）运用解析：（1）23；（2）BCDAB，见解析；（3）不变，FOG25【分析】（1）根据平行线的性质求出ADCE50，再求出BCE的度数，利用内错角相等可求出角的度数；（2）过点C作CE∥AB，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；（3）运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出FOG的度数，可得结论．【详解】（1）因为CE∥AB，所以ADCE50，BBCE因为∠BCD=73°，所以BCEBCDDCE23，故答案为：23（2）BCDAB，如图②，过点C作CE∥AB，则ADCE，BBCE．因为BCDDCEBCE，所以BCDBADB，（3）不变，设ABEx，因为BE平分ABC，所以CBEABEx．由（2）的结论可知BCDBADABC，且BAD50，则：BCD502x．因为MN∥AD，所以BONBCD502x，因为OF平分BON，1所以COFNOFBON25x．2因为OG∥BE，所以COGCBEx，所以FOGCOFCOG25xx25．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相等，通过等量代换等方法得出角之间的关系．10．（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．【分析】（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和解析：（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正确，②错误，证明见解析．【分析】（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：DPC180CPADPB,从而可得答案；②当BD//PC时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当PA//BD时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//DP时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//BD时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC//BP时的旋转时间与PA//BD相同；（2）分两种情况讨论：当PD在MN上方时，当PD在MN下方时，①分别用含t的代数CPD式表示CPD,BPN，从而可得的值；②分别用含t的代数式表示BPNCPD,BPN，得到BPNCPD是一个含t的代数式，从而可得答案．【详解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案为90；②如图1﹣1，当BD∥PC时，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为3秒；如图1﹣2，当PC∥BD时，∵PC//BD,∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为21秒，如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为9秒，如图1﹣4，当PA∥BD时，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为27秒，如图1﹣5，当AC∥DP时，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为6秒，如图1﹣6，当AC//DP时，AC//DP，DPAPAC90，DPNDPA1803090240，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为24秒，如图1﹣7，当AC∥BD时，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴点A在MN上，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为18秒，当AC//BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s．综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；（2）如图，当PD在MN上方时，①正确，理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，BPN2CPD1802t,CPD1∴.BPN2②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．当PD在MN下方时，如图，①正确，理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t30,∠APN＝3t．∴∠CPD＝360CPAAPNDPBBPN360603t301802t=90tBPN2CPD1802t,CPD1∴.BPN2②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．综上：①正确，②错误．【点睛】本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题11．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）；.【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结解析：（1）DABC，理由详见解析；（2）ADBC，理由详见解1析：（3）①D90A；②360°；（4）E124；F=14.2【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）DABC．理由如下：如图1，BDEBBAD，CDECCAD，BDCBBADCCADBBACC，DABC；（2）ADBC．理由如下：在ADE中，AED180AD，在BCE中，BEC180BC，AEDBEC，ADBC；（3）①A180ABCACB，D180DBCDCB，BD、CD分别平分ABC11和ACB，ABCACBDBCDCB，221111D180(ABCACB)180(180A)90A．22221故答案为：D90A．2②连结BE．∵CDCBEDEB，ABCDEFAABEFBEF360．故答案为：360；（4）由（1）知，BDCBCBAC，B26，C54，BDC80BAC，1CDF402CAE，BAC4CAE，BDC2CDF，GDE90CDF，2AGDBGDB26180CDF，GAE3CAE，33E360GAEAGDGDE64(2CAECDF)6440124；22F180AGFGAF180(206CDF)2CAE26CDF2CAE264014．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键．12．（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到∠解析：（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM＝270°，根据角平分线的定义得到∠BAC＝1∠PAB，∠ABC＝1∠ABM，22于是得到结论；（2）由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC＝∠CAB，即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可得出∠E与∠ABO的关系，由AE、AF分别3是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍2分情况进行分类讨论即可．【详解】解：（1）∠ACB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠ABM＝270°，∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，∴∠BAC＝1∠PAB，∠ABC＝1∠ABM，22∴∠BAC+∠ABC＝1（∠PAB+∠ABM）＝135°，2∴∠ACB＝45°；（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，∴∠CAB＝∠BAQ，∵AC平分∠PAB，∴∠PAC＝∠CAB，∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，∴∠ABC＝∠ABN，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠MBC，∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，∴∠ABO＝60°，故答案为：30°，60°；（3）∵AE、AF分别是∠BAO与∠GAO的平分线，∴∠EAO＝1∠BAO，∠FAO＝1∠GAO，22∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝1（∠BOQ﹣∠BAO）＝1∠ABO，22∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF＝∠EAO+∠FAO＝1（∠BAO+∠GAO）＝90°．2在△AEF中，∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,∴∠EAO=1∠BAO，∠EOQ=1∠BOQ，22∴∠E=∠EOQ-∠EAO=1（∠BOQ-∠BAO）=1∠ABO，223∵有一个角是另一个角的倍，故有：23①∠EAF＝∠F，∠E＝30°，∠ABO＝60°；23②∠F＝∠E，∠E＝36°，∠ABO＝72°；23③∠EAF＝∠E，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；23④∠E＝∠F，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）；2∴∠ABO为60°或72°．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.另外需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想．13．（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°90a解析：（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．2【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝1（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质2∠ABD+∠BDC＝180°，从而根据∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；（2）过点G作GP∥AB，根据AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，从而得到∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根据∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分线的定义求出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；（3）过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，从而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根据BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝1∠FBP＝1（180°22﹣∠3），∠6＝1∠FDQ＝1（180°﹣∠5），即可求解.22【详解】解：（1）证明：∵BE平分∠ABD，∴∠EBD＝1∠ABD，2∵DE平分∠BDC，∴∠EDB＝1∠BDC，2∴∠EBD+∠EDB＝1（∠ABD+∠BDC），2∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．（2）解：如图2，由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，又∵∠ABD+∠BDC＝180°，∴∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，过点G作GP∥AB，∵AB∥CD，∴GP∥AB∥CD∴∠ABG＝∠BGP，∠PGD＝∠CDG，90∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG＝；2（3）如图，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GM∥FN∥CD，∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∴∠4＝1∠FBP＝1（180°﹣∠3），22∠6＝1∠FDQ＝1（180°﹣∠5），22∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，＝∠3+∠5+1（180°﹣∠3）+1（180°﹣∠5），22＝180°+1（∠3+∠5），2＝180°+1∠BFD，2整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.14．（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）设CD与AE交于点H解析：（1）EAFEDGAED，证明见解析；（2）证明见解析；（3）EKD80．【分析】（1）过E作EH∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）设CD与AE交于点H，根据∠EHG是△DEH的外角，即可得出∠EHG=∠AED+∠EDG，进而得到∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）设∠EAI=∠BAI=α，则∠CHE=∠BAE=2α，进而得出∠EDI=α+10°，∠CDI=1α+5°，再根2据∠CHE是△DEH的外角，可得∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=1α+5°+α+10°+20°，求得2α=70°，即可根据三角形内角和定理，得到∠EKD的度数．【详解】解：（1）∠AED=∠EAF+∠EDG．理由：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠EAF=∠AEH，∠EDG=∠DEH，∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠EAF+∠EDG；（2）证明：如图2，设CD与AE交于点H，∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHG，∵∠EHG是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵AI平分∠BAE，∴可设∠EAI=∠BAI=α，则∠BAE=2α，如图3，∵AB∥CD，∴∠CHE=∠BAE=2α，∵∠AED=20°，∠I=30°，∠DKE=∠AKI，∴∠EDI=α+30°-20°=α+10°，又∵∠EDI：∠CDI=2：1，∴∠CDI=1∠EDK=1α+5°，22∵∠CHE是△DEH的外角，∴∠CHE=∠EDH+∠DEK，即2α=1α+5°+α+10°+20°，2解得α=70°，∴∠EDK=70°+10°=80°，∴△DEK中，∠EKD=180°-80°-20°=80°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外解析：（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①A85；②E100；③A40；④BC2E；⑤130【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长BD交AC于E，然后根据外角的性质确定BECA1，BDCBEC2，即可判断∠BDC与A，1，2之间的关系；（3）①连接BC，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；②连接BC，然后根据（1）中结论，求得ABDACD的和，进而得到DBCDCB的和，然后根据角平分线求得EBDECD的和，进而求得EBCECB80，然后利用三角形内角和定理EEBCECB180，即可求解；③连接BC，首先求得DBCDCB180BDC60，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到CBFBCF180BFC=116，然后得到ABDACD的和，最后333根据（1）中结论即可求解；④设BD与AE的交点为点O，首先利用根据外角的性质将BOE用两种形式表示出来，然后得到BAEABDEBDE，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断；⑤根据（1）问结论，得到BACABD的和，然后根据角平分线的性质得到BAEABE的和，然后利用三角形内角和性质即可求解．【详解】（1）∵BDCDBCBCD180，（三角形内角和180°）∴BDC180DBCBCD，（等式性质）∵A12DBCBCD180，∴A12180DBCBCD，∴BDCA12．（等量代换）故答案为：三角形内角和180°；等量代换．（2）如图，延长BD交AC于E，由三角形外角性质可知，BECA1，BDCBEC2，∴BDCA12．（3）①如图①所示，连接BC，，根据（1）中结论，得BDCAABDACD，∴ABDCABDACD=135252585，∴A85；②如图②所示，连接BC，，根据（1）中结论，得BDCAABDACD，∴ABDACDBDCA=1406080，∵ABD与ACD的角平分线交于点E，11∴EBDABD，ECDACD,22111∴EBDECDABDACDABDACD40，222∵BDC140，BDCDBCDCB180，∴DBCDCB180BDC40，∴EBCECB80，∵EEBCECB180，∴E100；③如图③所示，连接BC，，根据（1）中结论，得BDCAABDACD，∵BDC120，BDCDBCDCB180，∴DBCDCB180BDC60，∵ABD与ACD的十等分线交于点F，377∴DBFABD，DCFACD,310310777∴DBFDCFABDACDABDACD，331010107∴CBFBCFEBFECFDBCDCBABDACD60，333310∵CBFBCFBFC180，333∴CBFBCF180BFC=116，333∴ABDACD80，∴ABDCABDACD1208040，∴A40；④如图④所示，设BD与AE的交点为点O，∵AE平分BAC，BD平分∠BDC，11∴BAEBAC，BDEBDC，22∵BOEBAEABD，BOEEBDE，∴BAEABDEBDE,11∴BACABDEBACABD+ACD,221111∴EBACABD+ACDBACABDABDACD，2222即BC2E；⑤∵ABD，BAC的角平分线交于点E，1∴BAEABEBACABD50，2∴AEB180BAEABE18050130．【点睛】本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路，然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解．