二、二重积分的性质第7节一、二重积分的概念二重积分第八章五、利用极坐标计算二重积分三、曲顶柱体体积的计算四、利用直角坐标计算二重积分解法:类似定积分解决问题的思想:一、二重积分的概念1.引例:曲顶柱体的体积底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面如何求其体积？“大化小,常代变,近似和,求极限”上页下页返回结束1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体2)“常代变”在每个则中任取一点分为n个小曲顶柱体上页下页返回结束4)“取极限”令3)“近似和”上页下页返回结束2.二重积分的概念定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,上页下页返回结束引例中曲顶柱体体积:直角坐标系中,这时面积元素因此,可用平行坐标轴的直线来划分区域D,说明:(1)若在D上可积,与D的分法与选点无关.上页下页返回结束(2)二重积分存在定理若函数TH2.TH1.在D上可积.点或有限个光滑曲线外都连续,则在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除有限个例如上二重积分存在;在D上二重积分不存在.在D上可积.上页下页返回结束三、二重积分的性质(k为常数)A为D的面积,则(可加性)上页下页返回结束特别则5.若在D上6.设D的面积为A,则有(单调性)上页下页返回结束7.二重积分的中值定理证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上连续,A为D的面积,则至少存在一点使使因此(几何意义解释)上页下页返回结束被积函数相同,且非负,解:由它们的积分域范围可知例1.比较下列积分值的大小关系:上页下页返回结束例2.设D是第二象限的一个有界闭域,且00.解:既是X型域又是Y型域上页下页返回结束例9.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则上页下页返回结束五、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外，小区域的面积及射线=常数,分划区域D为上页下页返回结束直角坐标的二重积分变换为极坐标的二重积分公式极坐标系下的面积元素被积函数说明:(1)若f≡1则可求得D的面积A（边界曲线为上页下页返回结束区域D满足：(2)极点O在区域D之外时的积分公式(3)极点O在区域D的边界上时的积分公式区域D表为:上页下页返回结束区域D表为：(4)极点O在区域D内部时的积分公式(5)当区域D是圆一部分，或边界线用极坐标表示简单，或者被积函数含有时使用极坐标计算二重积分较方便.上页下页返回结束下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围是什么?(1)(2)思考:上页下页返回结束例10（P360-例7）计算二重积分所确定的园域.解:被积函数、积分区域均含有其中D是由极坐标下求积分更方便，极坐标下D可表为上页下页返回结束例11（P360-例6）计算二重积分其中D是圆所围成的闭区域.解:被积函数、积分区域均含有极坐标求解更方便上页下页返回结束例12.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用由于故直角坐标计算.上页下页返回结束注:利用例12可得到一在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式（P361-例8）（当D为R2时）由例12可得①故①式成立.或上页下页返回结束例13.求球体被圆柱面所截得(含在柱面内的)立体的体积.解:由对称性可知上页下页返回结束例14.计算其中D为由圆及直线解：所围成的平面闭区域.上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(共有七个，与定积分性质相似)上页下页返回结束3、直角坐标系情形:若积分区域为X型域若积分区域为Y型域上页下页返回结束4、极坐标系情形:若积分区域为上页下页返回结束5、计算步骤及注意事项•画出积分域•确定积分序•写出积分限：•计算要简便积分域分块要少累次积分好算为佳不等式形式交换积分次序利用对称性应用换元公式上页下页返回结束备例1.比较下列积分的大小其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0），从而域D位于直线x+y=1的上方,故在D上上页下页返回结束备例2.估计下列积分之值解:D的面积为积分性质5即:1.96I2D上页下页返回结束备例3.判断的正负.解：当时，故又当时，于是上页下页返回结束备例4.证明其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.上页下页返回结束备例5.计算积分其中D由所围成解:如图所示有定义且连续，所以上页下页返回结束备例6.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为由对称性,计算第一卦限部分曲顶柱体顶为所求体积为上页下页返回结束解：原式备例7.给定改变积分的次序.上页下页返回结束备例8.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)上页下页返回结束备例9.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线上页下页返回结束(2)两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成上页下页返回结束备例10.计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.解:利用极坐标原式上页下页返回结束备例11.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.上页下页返回结束(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得上页下页返回结束
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