【状元之路】2020届高中数学 集合与简易逻辑2-1 文 大纲人教版

PAGE对应学生 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf P161一、选择题1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)A．①②③④　　B．①②③　　C．②③　　D．②解析：由映射的定义，要求函数在定义域上都有图像，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.答案：C2．下列各组函数是同一函数的是(　　)A．y＝eq\f(|x|,x)与y＝1B．y＝|x－1|与y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1,　x＞1，,1－x,　x＜1　)))C．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1D．y＝eq\f(x3＋x,x2＋1)与y＝x解析：y＝eq\f(|x|,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1　　x＞0，,－1　x＜0，))排除A；y＝|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1　x≥1，,1－x　x＜1，))排除B；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x－1≥0，))即x≥1时，y＝|x|＋|x－1|＝2x－1，排除C.答案：D3．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1－x2,1＋x2)，则f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝eq\f(x,1＋x2)B．f(x)＝－eq\f(2x,1＋x2)C．f(x)＝eq\f(2x,1＋x2)D．f(x)＝－eq\f(x,1＋x2)解析：令eq\f(1－x,1＋x)＝t，得x＝eq\f(1－t,1＋t).∴f(t)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,1＋t)))2)＝eq\f(2t,1＋t2)，∴f(x)＝eq\f(2x,1＋x2).答案：C4．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，则f(x＋1)＝(　　)A．(x＋1)2＋eq\f(1,x＋12)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2)C．(x＋1)2＋2D．(x＋1)2＋1解析：由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2.∴f(x)＝x2＋2，∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋2.答案：CA.eq\f(15,16)B．－eq\f(27,16)C.eq\f(8,9)D．18解析：由f(2)＝22＋2－2＝4，得feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\f(1,16)＝eq\f(15,16).答案：A6．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x123f(x)231g(x)321则方程g[f(x)]＝x的解集为(　　)A．{1}B．{2}C．{3}D．∅解析：当x＝1时，g(f(1))＝g(2)＝2，不合题意；当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不合题意；当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，符合题意．答案：C7．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，映射f：M→N，在f作用下点(x，y)的象是(2x,2y)，则集合N＝(　　)A．{(x，y)|x＋y＝2，x＞0，y＞0}B．{(x，y)|xy＝1，x＞0，y＞0}C．{(x，y)|xy＝2，x＜0，y＜0}D．{(x，y)|xy＝2，x＞0，y＞0}解析：设集合N中的元素为(x，y)，则x＝2a，y＝2b，且a＋b＝1，∴x＞0，y＞0，且xy＝2a×2b＝2，故选D.答案：D8．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，映射f：A→B可以构成值域为B的函数的个数为(　　)A．12B．24C．36D．48解析：分两步构造函数：第一步，把4个原象分3组，方法数为C42；第二步，把3组原象排列对应3个象，方法数为A33.∴共构成函数的个数为C42A33＝6×6＝36，故选C.答案：C二、填空题9．已知f：x→－sinx是集合A⊆[0,2π]到集合B＝{0，eq\f(1,2)}的一个映射，则集合A中元素的个数最多是__________．解析：A⊆[0,2π]，由－sinx＝0，得x＝0，π，2π；由－sinx＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(7π,6)，eq\f(11π,6).∴A中最多有5个元素．答案：5解析：f(5)＝log2(5－1)＝2，∴f(f(5))＝f(2)＝22－2＝1.答案：111．(2020·陕西)已知函数若f[f(0)]＝4a，则实数a等于__________．解析：∵f[f(0)]＝f(20＋1)＝f(2)＝22＋2a＝2a＋4，∴2a＋4＝4a，∴a＝2.答案：212．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a、b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为______．解析：∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝(bx)2＋2(bx)＋a＝b2x2＋2bx＋a；而f(bx)＝9x2－6x＋2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝9，,2b＝－6，,a＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3；))∴f(ax＋b)＝0⇒f(2x－3)＝0⇒(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝0⇒4x2－8x＋5＝0.又∵Δ＝(－8)2－4×4×5＝－16＜0，∴f(ax＋b)＝0无解，即其解集为∅.答案：∅三、解答题13．设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，对任意x，y∈R恒有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．解析：方法一：∵f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，令y＝x，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)．∵f(0)＝1，∴f(x)＝x2＋x＋1.方法二：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝y2－y＋1.再令y＝－x，得f(x)＝x2＋x＋1.14．已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3.又f(x)＋g(x)为奇函数，∴a＝1，c＝3.∴f(x)＝x2＋bx＋3，对称轴x＝－eq\f(b,2).当－eq\f(b,2)≥2时，f(x)在[－1,2]上为减函数，∴f(x)的最小值为f(2)＝4＋2b＋3＝1，∴b＝－3.又b≤－4，此时无解．当－1＜－eq\f(b,2)＜2时，f(x)min＝f(－eq\f(b,2))＝3－eq\f(b2,4)＝1，∴b＝±2eq\r(2).∵－4＜b＜2，∴b＝－2eq\r(2)，此时f(x)＝x2－2eq\r(2)x＋3，当－eq\f(b,2)≤－1时，f(x)在[－1,2]上为增函数，∴f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1，∴b＝3.又满足b≥2，∴f(x)＝x2＋3x＋3.综上所述，f(x)＝x2－2eq\r(2)x＋3，或f(x)＝x2＋3x＋3.15．已知函数f(x)＝－eq\f(\r(3),3x＋\r(3)).(1)求证：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)为定值；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．解析：(1)f(1－x)＋f(x)＝－eq\f(\r(3),31－x＋\r(3))－eq\f(\r(3),3x＋\r(3))＝－eq\f(\r(3)×3x,3＋\r(3)×3x)－eq\f(\r(3),3x＋\r(3))＝－eq\f(\r(3)×3x＋3,3＋\r(3)×3x)＝－1.∴当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)为定值．(2)由(1)，有f(x)＋f(1－x)＝－1，∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.