内蒙古赤峰市宁城县2020学年高一数学上学期期末考试试卷（含解析）

PAGE内蒙古赤峰市宁城县2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设,则A.B.C.D.【答案】C【解析】因为=,==,所以.故选C．2.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【详解】A．y=是奇函数，则定义域内不具备单调性，不满足条件．B．y=-x3是奇函数，则（-∞，+∞）上是减函数，满足条件．C．y=（）x是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=-|x|是偶函数，不满足条件．故选：B．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性判断，根据常见函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．3.已知,则的大小关系是A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,所以,即.故选A．4.如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】此题考查直线方程及一次函数图像所在象限知识点，只要确定直线的横纵截距的符号即可确定直线所在的象限；，所以与轴交点横坐标是负数，与轴交点纵坐标是正数，所以过第一，二，三象限，不过第四象限；选D5.函数 f（x）=lnx+2x-6的零点x0所在区间是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间．【详解】∵连续函数f（x）=lnx+2x-6是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3），故选：C．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，A.，，则m⊥α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A答案的情况不可能出现。B.，，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故B答案的情况不可能出现。D.，，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故D答案的情况不可能出现。故A，B，D三种情况均不可能出现。故选C.7.过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为A.B.2C.D.2【答案】D【解析】由已知可得直线的方程为，圆心，半径圆心到直线的距离所求弦长为，故选D.【此处有视频，请去附件查看】8.若函数f（x）的图象和g（x）=ln（2x）的图象关于直线x-y=0对称，则f（x）的解析式为（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用反函数的概念及指对互化可得结论．【详解】由题可知，y=f（x）与y=g（x）互为反函数，因为y=g（x）=ln（2x），所以x=ln（2y），即2y=ex，所以y=f（x）=ex，故选：B．【点睛】本题考查函数解析式的求法及常用方法，考查反函数的概念，考查指对互化，注意解题方法的积累，属于基础题．9.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为，高为的三角形，面积，三棱锥的高是，所以故选C.点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．10.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-2）2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】经验证可知，点M在圆的内部，要使过点M的直线交圆后所得的圆心角最小，则直线交圆所得的劣弧最短，也就是弦长最短，此时直线与过圆心及M点的连线垂直，根据斜率之积等于-1求出直线的斜率，由点斜式可得所求的直线方程．【详解】如图，把点M（1，2）代入圆的方程左边得：（1-2）2+22=5＜9，所以点M（1，2）在圆的内部，要使过M的直线交圆后得到的∠ACB最小，也就是过M的直线交圆所截得的弦长最短，即当CM⊥l时弦长最短，∠ACB最小，设此时直线l的斜率为k，∵由k•kCM=-1，得：-2k=-1，所以，．∴l的方程为：，即x-2y+3=0．故选D.【点睛】本题考查了圆的 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方程，考查了直线和圆的位置关系，过⊙C内一点M作直线l与⊙C交于A、B两点，则弦AB的长最短⇔弦AB对的劣弧最短⇔弦对的圆心角最小⇔圆心到直线l的距离最大⇔CM⊥l⇔弦AB的中点为M，此题是中档题．11.在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是（　　）A.且B.且C.且D.且【答案】D【解析】【分析】在几何体中选取边长的中点，运用等腰三角形的性质，直线平面的垂直，平面与平面的垂直问题判断即可得出答案．【详解】①∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC=B，∴AB⊥面BCD，∵CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，②设A在面BCD射影为O，AO⊥面BCD，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心连接BO，则BO⊥CD，AO⊥CD∴CD⊥面ABO．∵AB⊂面ABO．∴AB⊥CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC=AD且BC=BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG=G，∴CD⊥面ABG，∵AB⊂面ABG∴AB⊥CD，综上选项A，B，C能够得出AB⊥CD，故选：D【点睛】本题综合考查了空间几何体中点直线，平面的垂直问题，关键是利用平面几何知识，空间直线平面的性质定理，判定定理转化直线的位置关系判断即可．12.已知函数，若，则取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，，，所以恒成立，所以；当时，恒成立，则在同一坐标系中由函数与的图象可知，综上，，故选C．点睛：本题主要考查了分段函数的解析式和不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及到分段函数的解析式，二次函数的性质和对数函数的单调性的应用，解答中牢记恒成立问题的求解和函数的基本性质是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点（1，1）到直线x+y-1=0的距离为______．【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【详解】利用点到直线的距离可得：d=故答案为：．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知是奇函数，当时，，则当时，=．【答案】【解析】试题分析：当时，，所以，又因为函数是奇函数，所以有，因此.考点：奇函数的应用.【方法点晴】本题主要考查奇函数的应用.题中所给条件是的解析式，欲求的解析式，可以利用，则求出的解析式，然后再根据，就可以求出的解析式.本题重点考查利用奇函数性质求对称区间解析式，考查学生对奇函数的理解和应用.15.已知函数f（x），g（x）分别由如表给出：x123f（x）211x123g（x）321则当f[g（x）]=2时，x=______．【答案】3.【解析】【详解】分析：根据表格可知，则，故可得答案.详解：由表格可知：．∵，∴．由表格知，故．故答案为：3.点睛：本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格即可求出.16.已知正三棱锥所有棱长均为，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．【答案】3π【解析】【分析】构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．由此能求出该球表面积．【详解】构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．此球的直径为正方体的体对角线，即，所以该球表面积S=4πR2=．故答案为：3π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查正方体、正四面体、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）时，可以求出集合，然后进行并集及补集的运算即可；（2）根据可得出，解该不等式组即可得出实数的取值范围．试题解析：（1）当时，集合，因为集合，所以，从而.（2）因为集合，且，所以，解之得，即实数的取值范围是.18.如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E(3,2)，……………………1分且，……………………………………………………1分，∴CE：y－2＝x－3，即x－y－1＝0．………………………………2分（Ⅱ）由得C(4,3)，…………………………………1分∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，…………………………………………1分∴【解析】试题分析：（1）由题意，求得直线的斜率，从而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程；（2）由，求得，利用两点间的距离公式和三角形的面积公式，即可求得三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）由题意可知，为的中点，∴，且，∴所在直线方程为，即.（Ⅱ）由得∴∴,∴∴19.求圆心在直线l1：x-y-1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，截直线l3：3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．【答案】（x-2）2+（y-1）2=25.【解析】【分析】根据题意设圆心为C（a，a-1），半径为r，利用点到直线的距离以及勾股定理求出圆心与半径即可．【详解】由题意，设圆心为C（a，a-1），半径为r，则点C到直线l2的距离是d1==；点C到直线l3的距离是d2==；由题意，得，解得a=2，r=5，即所求圆的方程是：（x-2）2+（y-1）2=25．【点睛】本题考查了直线与圆的应用问题，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．【详解】（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG=PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴AP=AB=，EG=．∴S△ABC=AB•BC=××2=，∴VE-ABC=S△ABC•EG=××=．【点睛】本题考查线面平行的判定，和棱锥的体积，是中档题．求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化21.某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设表示学生注意力指标，该小组发现随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：（，且）若上课后第分钟时的注意力指标为，回答下列问题：（1）求的值；（2）上课后第分钟时和下课前分钟时比较，哪个时间注意力更集中?并请说明理由．（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长?【答案】（1）；（2）上课后第分钟末比下课前分钟末注意力更集中；（3）分钟.【解析】试题分析：（1）由题意得，，即可求解；（2）根据函数的解析式，求得的值，比较即可得到结论；（3）根据分段函数的分段条件，在各段内分别求解的解集，即可得到学生的注意了指标至少达到的时间保持多长的时间.试题解析：（1）由题意得，当时，，即，解得．（2），，由于，故上课后第分钟末比下课前分钟末注意力更集中．（3）①当时，由（1）知，的解集为；②当时，，成立；③当时，，故．综上所述，，故学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟．22.已知函数，.（1）求证：函数在上是单调增函数；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）若方程有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）偶函数；（3）【解析】试题分析：（1）任取，且，利用函数单调性的定义即可证明函数在上是单调增函数；（2）函数的定义域为，验证即可证明函数为偶函数；（3）由题意得：可证，则方程有实数解，即，即，可得实数的取值范围试题解析：（1）任取，且，因为，所以因为，且，所以，，，从而，即，所以函数在上是增函数（2）函数为偶函数，函数的定义域为，对于任意的，，所以函数为偶函数.（3）由题意得：，因为，所以，，，，；又方程有实数解，则，则，即.