第27章圆——垂径定理27.1圆的认识1.若将一等腰三角形沿着底边上的高对折,将会发生什么结果?2.如果以这个等腰三角形的顶点为圆心,腰长为半径作圆,得到的圆是否是轴对称图形呢?1.结论:圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴.强调:(1)对称轴是直线,不能说每一条直径都是它的对称轴;(2)圆的对称轴有无数条.判断:任意一条直径都是圆的对称轴()1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD;2.作一条和直径CD的垂线的弦,AB与CD相交于点E.问题:把圆沿着直径CD所在的直线对折,你发现哪些点、线段、圆弧重合?ABCDOE新知识在你们动手实验中产生得出结论:①EA=EB;②AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒理由如下:∵∠OEA=∠OEB=Rt∠,根据圆的轴轴对称性,可得射线EA与EB重合,∴点A与点B重合,弧AC和弧BC重合,弧AD和弧BD重合.∴EA=EB,AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒ABCDOE垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的几何语言∵CD为直径,CD⊥AB(OC⊥AB)∴EA=EB,AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒ABCDOE例1如图,两个圆都以点O为圆心,小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系?为什么?G例2一条排水管的截面如图所示.排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,求截面圆心O到水面的距离OC..OABC思路:先作出圆心O到水面的距离OC,即画OC⊥AB,∴AC=BC=8,在Rt△OCB中,∴圆心O到水面的距离OC为6.例3已知:如图,线段AB与⊙O交于C、D两点,且OA=OB.求证:AC=BD.思路:作OM⊥AB,垂足为M∴CM=DM∵OA=OB∴AM=BM∴AC=BD..OABCMD圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.小结:1.画弦心距是圆中常见的辅助线;.OABCrd2.半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系:1.已知⊙0的半径为13,一条弦的AB的弦心距为5,则这条弦的弦长等于.242.如图,AB是⊙0的中直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不一定成立的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC⌒⌒C.ABCODE五、目标训练3.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM长为()A.3B.6cmC.cmD.9cm4.如图,⊙O的直径为10,弦AB长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是()A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3
证明
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.3.解题的主要
方法
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:(2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系:(1)画弦心距是圆中常见的辅助线;