小学数学难题解法大全 第一部分 常用解题依据(六~二)公理、定理或性质

小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 数学难题解法大全第一部分常用解题依据(六~二)公理、定理或性质小学数学难题解法大全第一部分常用解题依据（六之二）公理、定理或性质1．数的公理、定理或性质【小数性质】小数的性质有以下两条：（1）在小数的末尾添上或者去掉几个零，小数的大小不变。（2）把小数点向右移动n位，小数就扩大10n倍；把小数点向左移动n位，小数就缩小10n倍。【分数基本性质】一个分数的分子和分母都乘以或者都除以同一不为零的数，分数的大小不变。即【去九数的性质】用9去除一个数，求出商后余下的数，叫做这个数的“去九数”，或者叫做“9余数”。求一个数的“去九数”，一般不必去除，只要把该数的各位数字加起来，再减去9的倍数，就得到该数的“去九数”。（求法见本书第一部分“（四）法则、方法”“2．运算法则或方法”中的“弃九验算法”词条。）去九数有两条重要的性质：（1）几个加数的和的去九数，等于各个加数的去九数的和的去九数。（2）几个因数的积的去九数，等于各个因数的去九数的积的去九数。这两条重要性质，是用“弃九验算法”验算加、减、乘、除法的依据。【自然数平方的性质】（1）奇数平方的性质。任何一个奇数的平方被8除余1。为什么有这一性质呢？这是因为奇数都可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为2k1的形式，k为整数。而（2k1）2=4k24k1=4k（k1）1k与k1又是连续整数，其中必有一个是偶数，故4k（k1）是8的倍数，能被8整除，所以“4k（k1）1”，即（2k1）2能被8除余1，也就是任何一个奇数的平方被8除余1。例如，272=729729÷8=91……1（2）偶数平方的性质。任何一个偶数的平方，都是4的倍数。这是因为偶数可以用2k（k为整数）表示，而（2k）2＝4k2显然，4k2是4的倍数，即偶数的平方为4的倍数。例如，2162=4665646656÷4=11664即4|46656【整数运算奇偶性】整数运算的奇偶性有以下四条：（1）两个偶数的和或差是偶数；两个奇数的和或差也是偶数。（2）一个奇数与一个偶数的和或差是奇数。（3）两个奇数之积为奇数；两个偶数之积为偶数。（4）一个奇数与一个偶数之积为偶数。由第（4）条性质，还可以推广到:若干个整数相乘，只要其中有一个整数是偶数，那么它们的积就是个偶数。【偶数运算性质】偶数运算性质有：（1）若干个偶数的和或者差是偶数。（2）若干个偶数的积是偶数。例如，四个偶数38、126、672和1174的和，是偶数2010；用偶数相减的算式3756-128-294-1350的差，也是偶数1984。【奇数运算性质】奇数运算性质有：（1）奇数个奇数的和（差）是奇数；偶数个奇数的和（差）是偶数。（2）若干个奇数的积是奇数。2．整除性质或定理【最大公约数定理】定理一如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公约数。证明：由于b|a，b|b，∴b是a、b的公约数。又由于比b大的数不可能是b的约数，也不可能是a、b的公约数，所以，（a，b）=b。定理二如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数，就是第二个数与这个余数的最大公约数。即如果a÷b=q（余r）（r≠0），那么（a，b）=（b，r）。证明设p是a、b两数的一个公约数，∴a÷b=q（余r），又∵p|a，p|b，∴p|r（根据“有余除法”的整除性定理--定理五）。因此，a、b两数的公约数，一定是b、r两数的公约数。又因为a、b的公约数与b、r的公约数是完全一致的，所以，它们的最大公约数也完全是一致的。即（a，b）＝（b，r）。（注：定理二是用“辗转相除法”求最大公约数的理论依据。）【最大公约数的性质】最大公约数具有以下一些性质：（1）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。例如，（45，27）=9（此式表示“45和27的最大公约数是9”）45÷9=5，27÷9=3，（5，3）=1，所以，所得的两个商5和3是互质数。（2）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。例如，（48，60）=12，12的约数有1，2，3，4，6，12。1，2，3，4，6，12也都是48和60的公约数。（3）两个数的公约数，都是这两个数的最大公约数的约数。例如，（32，48）=16；32和48的公约数有1，2，4，8，16；1，2，4，8，16也都是16的约数。（4）两个数都乘以一个自然数m，所得的两个积的最大公约数，等于这两个数的最大公约数乘以m的积。这就是如果（a，b）=c，m≠0那么（am，bm）=cm。例如，（24，32）=8，则（24×2，32×2）=8×2，即（48，64）=16（5）若两个数都除以它们的一个公约数m，则所得的两个商的最大公约数，等于这两个数的最大公约数除以m的商。这就是如果（a，b）=c，且m|a，m|b（即m能整除a，m能整除b，也就是m是a和b的公约数）；例如，（24，32）=8，【最小公倍数的性质】最小公倍数的性质如下：（1）两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数。例如，[4，6]=12（它表示“4和6的最小公倍数是12），则4与6的其他任何一个公倍数24、36、48……，就都是最小公倍数12的的倍数。（2）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。这就是（a，b）·[a，b]=a·b。例如，（24，32）×[24，32]=8×96=768而24×32=768，∴（24，32）×[24，32]=24×32【和差整除性定理及推论】定理一如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除。用字母表达，就是如果ba，ca，且b＞c，那么，（bc）a，或者（b-c）a。（符号“”是整除符号，如“ba”读做“b能被a整除”，或“a能整除b”。）它也可以表达为如果a|b，a|c，且b＞c，那么a|（bc），或者a|（b-c）。（符号“|”也是整除符号，但写的前后顺序与“”符号恰好相反。“a|b”读做“a能整除b”，或者读作“b能被a整除”。）例如，123，153，则（1215）3，或者（15-12）3。改用另一种整除符号“|”表达，就是如果3|12，3|15，那么3|（1215），3|（15-12）。推论一如果若干个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除。也就是：如果am，bm，cm，……，dm，那么（abc……d）m。或者是：如果m|a，m|b，m|c，……，m|d，那么，m|（abc……d）例如，11|22，11|33，11|99，11|121，那么，11|（223399121）。定理二如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和（或差）能被这个自然数整除的充分必要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。也就是：如果am，那么（ab）m的充分必要条件是bm；如果am，那么（a-b）m的充分必要条件是ba。推论二如果两个数中，一个数能被某一自然数整除，另一个数不能被这个自然数整除，那么，它们的和（或差）也不能被这个自然数整除。也就是：如果am，b不m，那么（ab）不m，（a-b）不m。（“不”是不能整除的符号）或者是：如果m|a，mb，那么m（ab），m（a-b）（“”也是不能整除的符号）例如，7|35，720，那么，7（3520），7（35-20）。推论三如果两个数的和及其中的一个加数能被同一个自然数整除，那么另一个加数也能被这个自然数整除。也就是如果（ab）m，am，则bm。例如，两数的和408，其中的一个加数248，那么另一个加数168。【整除的传递性】“整除的传递性”见下面的“定理三”。定理三如果第一个数能被第二个数整除，第二个数能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。这也就是如果ab，bc，那么ac。例如，4824，246，则486。【积的整除性定理及推论】积的整除性定理见“定理四”。定理四一个数如果能被某一自然数整除，则这个数的整数倍数，也能被这个自然数整除。这也就是如果ab，m为整数，那么amb。例如，217，则（21×11）7，即2317。推论在若干个数的积中，如果有一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个自然数整除。用字母来表达，可以是在abc中，若am，则abcm。例如，在算式“11×19×21”中，因217，所以（11×19×21）7。【有余除法整除性定理】定理五在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。用字母来表达，就是如果a÷b＝q……r，且am，bm，那么rm。例如，在84÷49=1……35中，847，497，则357。定理六在有余数的除法里，如果除数和余数都能被同一个自然数整除，则被除数也能被这个自然数整除。用字母表达，就是如果a÷b=q……r，且bm，rm，那么am。例如，在3029÷91=33………26中，由9113，2613，可知302913。3．比和比例的定理或性质【比的性质】比的前项和后项都乘以（或除以）不等于零的同一个数，比值不变。这叫做“比的性质”（或“比的基本性质”）。用字母表示，就是a∶b=（a×m）∶（b×m）（m≠0，n≠0）=（a÷n）∶（b÷n）例如，1∶0.75=（1×100）∶（0.75×100）=100∶75=（100÷25）∶（75÷25）=4∶3【比例基本性质】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做“比例的基本性质”。反过来，如果两个数的积等于另外两个数的积，则这四个数成比例。这一性质，又称“比例的性质定理”。用字母表达，就是：比例的基本性质：如果a∶b=c∶d，那么ad=bc。比例的性质定理：如果ad=bc，那么a∶b=c∶d。例如，若有3∶4=6∶8，则有3×8＝4×6。反之，若有3×6=2×9，则有3∶2=9∶6。特殊的，如果比例的两个内项相同，即a∶b=b∶c，则有b2=ac。反过来也是成立的。此处的“b”，叫做a和c的“比例中项”。例如，2∶4=4∶8，则42=2×8。4是2和8的比例中项。反过来，如果62=4×9，则4∶6=6∶9。这里的6是4和9的比例中项。【反比定理】在一个比例中，两个比的前、后项同时交换位置，比例式仍然成立。用字母表达，就是如果，2∶6=3∶9，则6∶2=9∶3。【更比定理】一个比例的两个内项（或两个外项）交换位置，比例式仍然成立。用字母表达就是例如，若3∶4=6∶8，则3∶6=4∶8（交换内项）；或8∶4=6∶3（交换外项）。【合比定理】比例式中，一个比的前、后项之和与其后项的比，等于另一个比的前、后项之和与其后项的比。用字母表达，就是例如，3∶4=6∶8，则（34）∶4=（68）∶8，即7∶4=14∶8。【分比定理】比例式中，每一个比的前项减后项的差与它的后项的比相等。用字母表达就是例如，8∶6=4∶3，则（8-6）∶6=（4-3）∶3，即2∶6=1∶3。【合分比定理】比例式中，每一个比的前、后项之和与它的前项减后项的差的比相等。用字母表达就是例如，5∶2=25∶10，则（52）∶（5-2）=（2510）∶（25-10），即7∶3=35∶15。【等比定理】如果若干个比相等，那么这些比的前项之和与它们的后项之和的比，仍等于原来的每一个比。用字母表达就是例如，1∶2=3∶6=4∶8，则（134）∶（268）=1∶2=3∶6=1∶8，即8∶16=1∶2=3∶6=4∶8。4．几何公理、定理或性质【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：两条直线相交，只有一个交点。【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）【垂线性质】（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。【有关平行线的定理】（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。（2）三角形三内角之和等于180°。由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，∠4=∠1∠2。②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1，∠4＞∠1，∠4＞∠2。【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。用字母表达就是a2b2=c2。（a、b表直角边长，c表斜边长。）我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。【平行四边形的性质】（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形邻角的和是180°。如图1.2，∠A∠B=∠B∠C=∠C∠D=∠D∠A=180°。（4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。【长方形的性质】长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）长方形四个角都是直角。（2）长方形对角线相等。长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）菱形的四条边都相等。（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）·180°。（又称“求多边形内角和”的公式。）例如三角形（三边形）的内角和是（3-2）×180°=180°；四边形的内角和是（4-2）×180°=360°。【多边形内角和定理的推论】（1）任意多边形的外角和等于360°。这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180°，所以，n边形n个外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。例如图1.4，∠1的两边分别垂直于∠A的两边，则∠1∠A=180°，即∠1与∠A互补。又∠2、∠3、∠4的两边也分别垂直于∠A的两边，则∠3和∠A也互补，而∠2=∠A，∠4=∠A。【圆的一些性质或定理】（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。例如图1.5，图中的AA′对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。例如图1.5中，BA与B′A′的延长线相交，交点M在对称轴L上。（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。例如，图1.5中△ABC与△A′B′C′全等。【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。中心对称图形具有以下性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如，图1.6中对称点A与A′，B与B′，C与C′，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。5．其他定理或性质【算术基本定理】任意一个大于1的整数，都能表示成若干个质数的乘积，如果不计质因数的顺序，则这个分解式是唯一的。即任意一个大于1的整数a=[p1×p2×p3×……×pn（p1≤p2≤p3≤……≤pn）其中p1、p2、p3、…、np都质数；并且若a=q1×q2×q3×…qm（q1≤q2≤q3≤…≤qm）其中q1、q2、q3、…、qm都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，…，n）当这个整数是质数时是符合定理的特例。上述定理，叫做“算术基本定理”。【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理：定理一方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。根据这一同解定理，可把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变形叫做移项。例如，解方程3x=2x5。解移项，得3x-2x=5合并同类项，得x=5。定理二方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。是同解的。【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。图──用若干条线（不一定是直线段）把一些点连接起来的图形，如图1.7。这些点叫图的顶点，如A、B、C、D；这些线叫图的边，如AB、AC、AD等。点的次--每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次”。如图1.7中，A点有五条线与它相连，B点有三条线与它相连，则A点的次为5；B点有三条线与它相连，则B点的次为3。奇点--点的次数为奇数，则这个点为“奇点”。如图1.7中的A、B、C、D点，全部都是奇点。偶点--点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点”。如图1.8中的B点（4次）、D点（2次），都是偶点。一笔画问题--在图1.8中，能否从A点（或其他点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫做“一笔画问题”（也称“七桥问题”，见本书第九部分“七桥问题”词条）。能一笔画的图形，具有下面两条性质：（1）若一个图形中，奇点的个数不大于2，则这个图形必能一笔画成，否则就不能画成。