轮换对称性在积分计算中的应用

第1期(总31期) 2009年3月 河北能源职业技术学院学报 JournalofHebeiEnergyInstituteofVocationand’reehnology No．i($umNo．31) Mlit．2009 轮换对称性在积分计算中的应用 徐年方 (淮安市广播电视大学，江苏淮安223001) 摘要：本文首先给出轮换对称性的定义，将它应用于二重、三重积分及曲线、曲面积分的计算中，用 统一的形式归纳出计算积分的简易 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，最后用轮换对称性证明定积分不等式。 关键词：积分；轮换对称性；定积分不等式 中图分类号：0421 文献标识码：A 文章编号：1671—3974(2009)01-0092—03 AppficationoftheTramlatableSymmetryinIntegralCalculation XUNian—fang (HuaiknRadioandTVUniversity，Huailm，Jiangsu，223001) Abstract：Inthispaper，theauthorgivestheconceptofthetranslatablesymmetryandapplyittodouble， triple，curvilinear，surfaceintegralcalculation，andthenasimplemethodofcalculatingintegralisdeduced bytheunifiedform．Finally，theauthorintroducesthemethodtoU80translatablesymmetrytOprovethe definiteintegralinequality． Keywords：integral；translatablesymmetry；definiteintegralinequality 积分计算是微积分学中的基本运算之一，根据 被积函数和积分区间(或区域)的特点，利用对称性 计算积分文献很多，如文献[1]、[2]，但利用轮换对 称性研究积分甚少，鉴于此，本文首先给出轮换对称 性的定义，将它应用于二重积分，三重积分及曲线， 曲面积分的计算之中，用统一的形式归纳出计算积 分的简易方法，最后还用轮换对称性证明定积分不 等式。 1、轮换对称性及相关积分的简化计算 为论述方便起见，现给出如下定义与定理： 定义1．1 设D为一有界可度量平面区域(或光 滑平面曲线段)，若V(菇，，，)ED，3(y，菇)ED，则 称区域D(或光滑平面曲线段)关于x,y具有轮换对 称性。 定理1．2设D为一有界可度量平面区域(或光 滑平面曲线段)，且关于茹，Y具有轮换对称性，z= 只茹，Y)是定义在D上的连续函数，则 f妖菇，y)do．=I以Y，x)do'(do"为D的度量微 J占 。d 元) 证明：易证(略)。 运用定理1．2可以简化下面一些积分的计算。 例题1．3计算二重积分Ⅱ【事+等】如，其中 D为矿+严≤Rz 解：因为D是茹2+严≤R2关于x,y具有轮换对 称性，由定理1．2得胪do-=do-，则 玎【参+吾】如 =U【事+吾】撕 =丢妒蛐年丢＼P蛐 2芝1U(x2+广)出毋+去ⅣD(菇2+严)如咖 =(刍+击)玎(矿+严)也匆 =(刍+矛I)广d《r3由 =争4[刍+矿1】 例题1．4 计算纱出，其中￡为髫2+严=9 解：因为L县矿+俨=9关于茹．’，且右轮捶对称 收稿日期：20∞一11—28 作者筒介：徐年方(1975一)，女，在读硕士，淮安市广播电视大学信息工程系讲师。研究方向：基础数学。 ·92· 万方数据 徐年方：轮换对称性在积分计算中的应用 性由定理1．2得 xZds=纱幽，则上广出=虿1小茹2+广)蠡 =瓤9也=虿9×斯×3=27仃 定义1．5【l】l∞设力是一有界可度量的几何体 (n可为空间区域，空间曲线，曲面块)，其边界光滑， 若V(茹，Y，：)E．仃，了(，，，=，茹)E．f2，j(z，菇，，，)E．仃， 则称力关于x,y，z具有轮换对称性。 定理1．6 设以是一有界可度量的几何体(If2可 为空间区域，空间曲线，曲面块)，其边界光滑，若n 关于菇，Y，=具有轮换对称性，埘=以石，’，，z)是lf2上的 连续函数，则 ＼＼皿x,y∞如=＼s皿”∞m =fJ妖=，石，，，)加 。∥ 证明：易证(略)。 推论1．7设以是一有界可度量的几何体(力可为 空间区域，空间曲线，曲面块)，其边界光滑，若以关 于z,y，z具有轮换对称性，埘=灭石，，，，彳)是以上的连 续函数，则 ＼＼证吣，z瑚 n =告＼Mx儿幻m+＼＼讯y。z．％’)m+＼＼沁z． n n n 菇，，，)如 ． 让明：由足理1．6易证(略)。 运用定理1．6和推论1．7可以简化下面一类型 积分的计算。 例题1．8吲4皿计算三重积分fff(茹+，，+。)2如， 其中力为正方体0≤茹≤1，0≤Y≤1，0≤z≤1。 解：由于n具有轮换对称性，由定理1．6得 j娶叠如=＼醛，锄=1娶≥姻 ＼炉m=j妒姻=j妒枷， 鼬＼Ut篱+y+幻2dn=m(3x2+6md嘶如 =r如r(3矿+嘶)毋I『出 =113(矿+石)也=虿5 例题1．9Ⅲ辑 计算曲线p凼，其中三为球面 矿+严+严=口2被平面茹+Y4-z=0所截得的圆周。 解：由于L具有轮换对称性，由推论1．7知 上，如等托(矿+广+≯)出 =÷口2弘=争×咖=争矿 例题1．10t3】440州1计算曲面积分ff(口2矿+62严+ 。j c2，+俨)西，其中s为茹2+广+卢=萨。 解：由于S具有轮换对称性，由推论1．7知 妒沁妒山2p =i1限矛+矿+孑’)d％曲 =争2×4积2=詈树 从而Ⅳ(992X2+62严+c2矿+俨)出 =Ⅳ(口2茗2+62严+c2≯)函+胪da =(矿+62+c2)．rP凼+4仃砰cf2=鱼≠(矿+62+ c2)+4erR2铲 2．轮换对称性证明定积分不等式 上面的定理不仅可以简化积分的计算，还可以 证明定积分不等式。 ： 例题2．1‘4脚(著名的Schwarz5Jq等式)设只茹)、 g(茹)和它们的平方在[口，6]上可积，证明：[f只茹)·m 一 一． g(菇)如]2sf尸(石)如J矿(菇)也 _№ “ 证明：设D为口s省s6，口5，，s6，显然D关于 x,y具有轮换对称性。 ∥(茹)dx．f矿(茹)如；陟(茹)出．f矿(y)dy J4 J4 托 ●‘ =缈(菇)矿(，，)如方童磐缈(，，)矿(茹)也方 =上2玎酽(茹)92(Y)+广(y)矿(茗))如咖。， ≥互1 f。f(2f(茹)g(，，)。氕，，)g(茹))也毋 =Ⅳ吹舅)g(，，)·火，，)g(茹))如方 =』以茹)g(茹)出·J人，，)g(，，)方 Jo Ja 一 =[f以茹)g(菇)d鬈]2 Ja 证毕。 例题2．2141缁。蛳设^(1)是[口，b]上(下转96页) 万方数据 陈金虎等：煤炭技工学校实习教学的管理模式 大，因为在校外实习教学过程中，学生较为分散，无 法进行集中授课，而且受场地、工作时间的影响，不 能像校内实习教学那样按部就班地进行。以上三种 形式，不论是采取那一种，都必须同校内实习教学一 样，做到： l、组织有序、建立制度。实习教学有实习副校长 分管，有实习教师带队，有学生班长管班，有从实习 企业聘请的师傅带教。 建立学生定期汇报制度。校外实习学生要定期 向学校递交实习报告，及时汇报自己在实习中的表 现和遇到的问题。内容包括：实习单位和岗位、联系 电话、主管领导姓名、实习场地的各方面情况、自己 的实习体会、遇到的问题、自己是如何处理这些问题 的等等，使班主任能够及时掌握学生在实习单位的 基本情况。建立学校与实习基地的联系制度。除了听 取学生的实习汇报外，学校还要积极与实习基地的 主管领导或实习指导教师进行联系，及时掌握和了 解学生的思想动态和表现，做到及时发现问题、及时 处理，防患于未然。另外，还要定期召开实习现场会， 对实习工作进行总结和部署：第一，总结前段实习的 工作情况，公布学生在实习中出现的各种问题及处 理结果；第二，肯定成绩，部署下一步工作；第三，就 普遍出现的问题展开讨论，商定解决办法，以保证顺 利完成以后的实习工作。 2、目的明确、做到“五定”：在实习之前，由实习 办公室组织各专业的专业课教师制定出适合本专业 的实习教学 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 ，内容包括专业名称、实习时间、实 习步骤、应掌握的技能、测试时间等等。做到定计划、 定课题、定学时、定岗位和定师傅。并把职业道德教 育和安全生产教育融入综合实习之中。 3、跟踪管理、防患未然。加强对学生实习期间的 日常管理、教学和专业技术指导，严格按照实习教学 计划进行实习，随时随地解决学生在实习中出现的 问题，训练他们掌握熟练的操作技能，培养学生处理 突发事件的应变能力，并定期进行技能测试，检查学 生的掌握情况。实习班级的班主任、实习带队的老师 和主管实习的副校长，要定期和不定期下到实习基 地走访学生，了解实习情况，为学生解决实际问题， 并做好详细的跟踪 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 。 4、加强考评、客观公正。设计实习专用 考勤表 考勤表下载单位月考勤表下载公司员工考勤表下载体育课考勤表免费考勤表模板excel下载 和考 核表，对实习学生进行综合考评，并将考评结果记入学 生档案，作为学生毕业的主要依据之一。对学生的实习 成绩考评参考以下几个依据：(1)学生本人的实习总 结；(2)实习期间的操作考试成绩；(3)实习指导教师 和班主任对学生的评定；(4)实习场地主管领导或指 导教师对学生的评定(也可参考实习反馈表)。 总之，搞好实习教学，突出学生技能的培养，这 是技工学校的特色所在，是办好技工教育的前提所 在，也是适合我国目前国情的煤炭技工教育的最佳 途径。 参考文献： 【1]续一亮．校外实习中存在的问题及解决方法[J】．<职业教 育研究>．2004年第5期． [2]王虎良．浅谈实>-2教学管理[J]．‘现代技能开发)2002年 第4期． [3]朱天志．校外实习基地建设的探索[J]．<河南职业技术师 范学院学报>(职业教育版)．2000年第6期． [4]孟宪芳．职业技术院校校外实习教学存在的问题及对策 [J]．‘职业教育研究>．2004年第4期． [5]陈斌．中职实践教学基地的建设与管理[J]．‘职教论 坛>．2004年第6期． (上接93页)的正值连续函数，求证：lh(t)dtIn J● 南dt≥(b—a)2。 证明：设D为a≤t5bpa≤8sb，显然D关于 t9s具有轮换对称性，又因为h(t)是[a，b]上的正值 连续函数，则 如№f南at=m汕·j『南as． 2U黔atas燮lf器ataB =2-1fJ(h(t)h_丽+黔)dtd8 ·96· 芝号俨atas=丢×2(h)2-(b-a)2 证毕。上述方法在积分计算中有着广泛的应 用，由于篇幅关系，这里就不再赘述。 参考文献： [1]粱应仙等．对称性在三重积分计算中的应用[J]．沈阳大 学学报2003：15(4)100—101 [2]华东师范大学数学系编，数学分析(第二版)下册，[M】． 北京：高等教育出版社1991：359 [3]孙清华等．数学分析内客、方法与技巧下[M]．武汉：华中 科技大学出版社2003：402、440一“1 [4]钱吉林等．数学分析解题精粹[M]．武汉：崇文书局 2003：265—2】66 万方数据 轮换对称性在积分计算中的应用 作者： 徐年方， XU Nian-fang 作者单位： 淮安市广播电视大学,江苏,淮安,223001 刊名： 河北能源职业技术学院学报 英文刊名： JOURNAL OF HEBEI ENERGY INSTITUTE OF VOCATION AND TECHNOLOGY 年，卷(期)： 2009，9(1) 引用次数： 0次 参考文献(4条) 1.梁应仙.辛兰芬 对称性在三重积分计算中的应用[期刊论文]-沈阳大学学报 2003(4) 2.数学分析 1991 3.数学分析内客、方法与技巧下 2003 4.数学分析解题精粹 2003 相似文献(10条) 1.期刊论文 张云艳.Zhang yun yan 轮换对称性在积分计算中的应用 -毕节师范高等专科学校学报2002,20(3) 举例说明了积分区域的轮换对称性在积分计算中的应用. 2.期刊论文 王建刚 轮换对称性在解题中的应用 -高等数学研究2005,8(2) 利用轮换对称性,得到解题当中的一个简便方法 3.期刊论文 石秀文 定积分一个性质的推广——多元函数积分对坐标轮换的对称性 -邢台学院学报2007,22(4) 通过 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 中一些简单实例结合自己的教学体会给出具有轮换对称性的积分区域上多元积分的巧妙运算,目的是使学生在掌握多元积分基本运算方法之 后,熟悉多元积分一些特性及巧妙运算方法,增强解题能力. 4.期刊论文 刘洁.戴长城.LIU Jie.DAI Chang-cheng 对称性在积分计算中的应用 -邵阳学院学报(自然科学版) 2008,5(4) 本文给出了被积函数的奇偶性、积分区域的对称性及轮换对称性计算积分的几个定理和性质.并介绍了这些定理和性质在各种积分中的应用. 5.期刊论文 姜鹏 三类积分的对称性算法 -沈阳化工学院学报2001,15(4) 通过积分区域、被积函数的几何对称性及积分区域的轮换对称性,定量给出了重积分、曲线积分和曲面积分的两种计算方法 6.期刊论文 陈云新 轮换对称性在积分中的应用 -高等数学研究2001,4(1) 在某些积分的计算过程中,若积分区域具备轮换对称性,则可以简化积分的计算过程.本文讨论了利用轮换对称性简化二重积分,三重积分,第一,二类 曲线积分,第一,二类曲面积分的计算方法.(以下都在积分存在下予以讨论) 7.期刊论文 马军英 用积分域变量轮换对称性计算几类积分 -山东师范大学学报（自然科学版）2004,19(1) 给出了积分域关于变量轮换对称的定义,讨论了有关几类积分的计算公式及其应用实例. 8.期刊论文 李曼生.霍锦霞 利用变量轮换对称性计算积分 -甘肃科技2007,23(12) 给出了变量轮换对称的定义,讨论了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算公式及应用实例. 9.期刊论文 刘建康.Liu Jiankang 积分中的对称性 -数理医药学杂志2008,21(1) 介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论. 10.期刊论文 于信.李秀珍 对称性在多元函数积分中的应用 -山东商业职业技术学院学报2004,4(4) 本文较为深入地探讨了对称性在多元函数积分中的应用,当被积函数和积分区域都具有对称性时,给出了多元函数的积分公式. 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hbnyzyjsxyxb200901039.aspx 下载时间：2010年5月24日