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第八九章旋转D最优设计

第八九章旋转D最优设计第八章回归的旋转设计回归正交设计的优点：(1)试验次数少；(2)计算简便；(3)消除了回归系数间的相关性。缺点：二次回归的预测值y的方差依赖于试验点在因子空间的位置，不能根据预测值直接寻找最优区域。为此提出回归的旋转设计(旋转性)。它不仅克服了正交设计的缺点，还能基本保留其优点。第七章证明了一次回归正交设计的旋转性，这里主要讨论二次回归旋转设计。根据设计方法的不同，又分为二次回归正交旋转设计及二次回归通用旋转设计。二次回归旋转设计与二次回归正交设计类似，p个变量的组合设计由下列n个点组成：n=mc+2p+m02p—...

第八章回归的旋转设计回归正交设计的优点：(1)试验次数少；(2)计算简便；(3)消除了回归系数间的相关性。缺点：二次回归的预测值y的方差依赖于试验点在因子空间的位置，不能根据预测值直接寻找最优区域。为此提出回归的旋转设计(旋转性)。它不仅克服了正交设计的缺点，还能基本保留其优点。第七章证明了一次回归正交设计的旋转性，这里主要讨论二次回归旋转设计。根据设计方法的不同，又分为二次回归正交旋转设计及二次回归通用旋转设计。二次回归旋转设计与二次回归正交设计类似，p个变量的组合设计由下列n个点组成：n=mc+2p+m02p—p个坐标轴上的星号点，要使设计具有旋转性，星号臂满足：=2p/4(全面试验mc=2p)，或=2(p-1)/4(1/2实施mc=2p-1).m0—零水平的中心点的重复试验次数（任意）。其中：mc=2p或2p-1，2p-2等(二水平试验点个数）。§8.1二次回归旋转组合设计部分值表二次旋转组合设计对m0的选择相当自由。如果适当地选取m0，可得二次正交旋转组合设计。1.4142.000441.6822.828862.0004.0001682.3785.65532102.0004.000161023455(1/2实施)2mc2pp二次正交旋转组合设计参数表旋转性是指在同一个球面上的预测值的方差相等。如果预测值的方差在半径小于1(0<<1)的球内也相等，则称设计具有通用性。如果适当选取m0，可得二次通用旋转组合设计。1.41448161.68289232.0001612362.3783217592.00016103623455(1/2实施)mcm0np二次通用旋转组合设计参数表1.41445131.68286202.000167312.000166322345(1/2实施)mcm0np二次旋转设计的统计分析与二次正交设计同。(略)§8.2二次旋转设计的统计分析例8.1原麻高产栽培试验，选择5个因子:播期z1(3月20日~4月11日)，播量z2(4~12斤/亩)，施纯氮量z3(0~16斤/亩)，施纯磷量z4(0~6斤/亩)，施纯钾量z5(0~16斤/亩)，采用二次正交旋转组合设计进行1/2实施试验。（泰安农科所）略§8.3应用实例第九章回归的D—最优设计正交设计减少了试验次数，使分析简化。旋转设计使同一球面上预测值的方差相等，排除了部分误差干扰。如何比较试验计划的好坏？能否建立一定意义下的最优试验计划？从五十年代起人们先后提出了很多比较试验设计好坏的标准，如G—优良性，E—优良性和D—优良性等，仅介绍D—最优设计。§9.1D—最优设计的基本概念Ｄ—最优设计是从对模型参数的估计好坏评价的。对给定模型，可寻找一张试验计划，X()表示这个计划的设计矩阵，A()=X()X()表示这个计划的信息矩阵。通过试验数据，获得参数的LS估计b。不同的试验计划，可得到不同的估计。为评价这些估计的好坏，需要对估计值综合考察，常用b的广义方差其中:(x)是 函数，m是的元素个数，|A()|是A()的行列式。在同一模型下,对两张试验计划1和2,若V(1)|A(2)|，或|C(1)|<|C(2)|，则在D—优良性意义下，计划1比计划2好。这里C()=A-1()。其中:(x)是函数，m是的元素个数，|A()|是A()的行列式。定义在因子空间中，若试验计划*，使|A()|达到最大，或使|C()|达到最小，即则称*为一个D—最优计划（设计）。定义在因子空间中，若试验计划*，使|A()|达到最大，或使|C()|达到最小，即则称*为一个D—最优计划（设计）。D—最优设计的直观意义，不难由的LS估计b的协方差COV(b)=2(XX)-1看出。D—最优设计是使b的广义方差达到最小的估计。因此，y的预测值具有较高的估计精度。这里仅讨论饱和D—最优设计。试验点最少的试验计划，即试验点的个数等于回归系数的个数，这样的计划称为饱和计划。§9.2饱和D—最优设计一、一次饱和Ｄ—最优设计对p维立方体-1xj1，j=1,2,…,p上的一次回归模型存在这样一个定理：定理8.1在p维立方体上选取p+1个点以组成一次饱和D—最优计划时，只要考虑选取各个坐标都为-1或1的那些点。在这个定理的基础上，用计算机找到了在p维立方体上的一次饱和D—最优设计如下：定理8.1在p维立方体上选取p+1个点以组成一次饱和D—最优计划时，只要考虑选取各个坐标都为-1或1的那些点。当p=2时，正方形区域的任何三个顶点都可组成D—最优计划。当p=3时，立方体区域上有23-1个部分顶点所构成的计验计划是D—最优计划。当p=4时，D—最优计划是：x1x2x3x41-11-111-11-1-111-1-1-1-1111-1当p=4时，D—最优计划是：一般地，当p+1是2的整数次幂时，p个因子的一次饱和D—最优计划可用2p型的全因子试验的部分实施法给出。二、二次饱和Ｄ—最优设计对二次回归模型是否存在试验点个数为m=(p+1)(p+2)/2的饱和D—最优计划？已证明，对p7不存在饱和Ｄ—最优计划。当p=2,3时，饱和D—最优计划列于下表，同时还列出了p=2时的7点和8点非饱和D—最优计划。当p=2时的饱和D—最优计划。-1-11-1-1111100.08210.082-1-0.2150-1-11-1-1111-0.0920.0921-0.0670.067-1-1-11-1-11-0.1315-0.131510.39450.3945112345678x1x2x1x2x1x28点设计7点设计6点设计试验号p=2时的饱和6点设计称为26设计。当p=3时的饱和D—最优计划。-1-1-11-1-1-11-1-1-11-10.19250.19250.1925-10.19250.19250.1925-1-0.2912111-0.2912111-0.291212345678910x1x2x3试验号p=3时的饱和设计称为310设计。关于p4的饱和D—最优计划问题，至今尚未解决。对于p=4，有人找到了一个较好的15点设计。见188页表9-3。根据p=2,3的二次饱和D—最优计划的谱点结构，得到一般的二次饱和设计的方案表9-4(188页)。本节讨论在因子空间-1≤xj≤1,j=1,2,…,p上的二次饱和Ｄ—最优设计(如p=2,3)及较优设计(如p=4,5等)的统计分析。因此，试验设计的方法与编码同一次回归正交设计。当然，试验后的设计（结构）矩阵不同。另外，由于最优设计一般不具有正交性，所以，回归系数的计算应采用一般多元线性回归（第二章）的方法。应注意的是，这里回归系数的个数是k=C2p+2，而不是p+1。下面通过具体实例，说明设计与分析方法。§9.3最优设计的统计分析例9.2小麦施用氮(N)z1和磷(P)z2肥盆栽试验。采用D—饱和最优设计，无重复。z1和z2最高用量分别为32和16；最低用量均为0。采用(7-1)，(7-2)，(7-3)式进行编码，可得z01=(32+0)/2=16;z02=(16+0)/2=81=(32-0)/2=16;2=(16-0)/2=8z1=z01+1x1=16+16x1;z2=z02+2x2=8+8x2因子及编码321622.3211.1313.96.930010.3945-0.1315-1z1(N)z2(P)xj试验计划及试验结果-1(0)-1(0)1(32)-1(0)-1(0)1(16)-0.1315(13.9)-0.1315(6.93)1(32)0.3945(11.13)0.3945(22.32)1(16)x1(N)x2(P)15.5017.5417.1818.3017.6818.70123456试验结果y试验号因子及编码321622.3211.1313.96.930010.3945-0.1315-1z1(N)z2(P)xj1-1-111111-1-1111-11-1111-0.1315-0.13150.01730.01730.0173110.39450.394510.155610.394510.39450.1556115.5017.5417.1818.3017.6818.70Y=X=模型回归系数b=(XX)-1XY=(18.473,0.624,0.444,-0.396,-1.423,-0.086注意:饱和设计无重复，回归方程无法检验。例9.3玉米施用氮肥、磷肥试验,采用D—饱和最优设计,三次重复,因素编码,试验设计及试验结果列于下表：试验计划及试验结果-1(0)-1(0)1(10.2)-1(0)-1(0)1(6)-0.1315(4.4)-0.1315(2.6)1(10.2)0.3945(4.2)0.3945(7.1)1(6)x1(N)x2(P)17.115.015.620.219.919.027.926.326.829.128.727.830.028.832.130.031.531.5123456试验结果y试验号SAS程序如下：z01=5.1;z02=3；1=5.1;2=3；z1=z01+1x1=5.1+5.1x1;z2=z02+2x2=3+3x2dataex9_3;inputx1-x2;doi=1to3;inputy@@;output;end;cards;-1-117.115.015.61-120.219.919.9-1127.926.326.8-0.1315-0.131529.128.727.810.394530.028.832.10.3945130.031.531.5;procrsreg;modely=x1-x2;ridgemaxradius=0to1by0.1;run;-1-11-1-11-0.1315-0.131510.39450.39451x1(N)x2(P)17.115.015.620.219.919.927.926.326.829.128.727.830.028.832.130.031.531.5123456试验结果yNo输出的部分结果:在x1=0.33,x2=0.64处有极大值y=31.55。在x1=0.33,x2=0.64处有极大值y=31.55。即：z1=5.1+5.1x1=5.1+5.10.33=6.63;z2=3+3x2=3+30.64=4.92故N肥、P肥用量分别为6.63和4.92，最大产量31.55。datab;dox1=-1to1by0.05;dox2=-1to1by0.05;y1=29.57+1.68*x1+5.33*x2;y2=-0.22*x1*x2-2.33*x1*x1-4.11*x2*x2;y=y1+y2;output;end;end;run;procg3ddata=b;plotx1*x2=y;run;quit;

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