三角高考数学题的常规解题途径
由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多,学生在做这类题时,往往盲目探索,超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练,又会陷入题海。如何解决这一矛盾?笔者认为:三角高考题都有比较明确的解题方向,只要在复习中让学生从整体上加以把握,掌握其常规的解题途径,就能获得事半功倍的效果。
途径1:化成“三个一”
“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是:运用三角公式,把所求函数变换成“三个一”的形式,即
等形式,再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题,如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。
例1. (2004年全国)求
的最小正周期、最大值和最小值。
分析:本题属于求三角函数性质问题,故使用途径1。
简解:
所以
评注:由于解题思路方向明确,避免了盲目探索,使解题过程简明流畅。
途径2:化成“两个一”
若某些问题化不成“三个一”,也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式,或一个角的两种三角函数一次方的形式,即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。
例2. (2004年广东)当
时,函数
的最值为( )
A.
B.
C. 2
D. 4
分析1:本题为求最值问题,则考虑用途径1,根据函数的齐次特征,化成
,却无法变成一次方形式,则走途径2。
,选(D)。
分析2:本题若用降幂公式变形为
,也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为
,利用辅助角,得函数
,变成了“三个一”的形式。再利用其有界性,求得
。
途径3:边角转换
若已知三角形的某些边或角的关系,而求另一些边或角或判断三角形形状时,可运用正(余)弦定理或面积公式,把边都化为角,或把角都化为边,然后通过解方程求之。
例3. 在
中,
分别为角A、B、C的对边,且
,(1)求角B;(2)若
,求a的值。
简解1(边化角):
简解2(角化边):
(2)因为
,
所以
,
得
或3
评注:有些学生把条件变形为
后,便思路受阻,显示他们对三角题的常规解法不熟。
途径4:三角变换
三角变换就是运用各种三角公式(倍、半、和差、诱、万能等),通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧,将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。
例4. (2002年全国)已知
,求
的值。
分析:本题是由角
的余弦求角
的余弦,故用角变换。因为
,而
的正、余弦值可用二倍角公式求出,则本题获解。
简解:
因为
,
所以
故
评注:本题解法很多,每种方法都要经历复杂的三角变换,以及讨论角的范围。
途径5:等价转化
有些问题无法直接选用前4种途径,而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式,然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上,易发挥考查数学能力的功效,故必是高考常见的命题形式,需重点留意。
例5. (2004年广东)已知
成公比为2的等比数列(
),且
也成等比数列,求
的值。
分析:本题处于三角与数列的交汇点上,数列起过渡作用,重心在三角上。用途径5,先把角成等比转化为
,代入
后,再选用途径4求解。
简解:
因为
所以
所以
即
所以
。以下从略。
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