几种数学证明方法的逻辑原理

安康师专学报 飞 年 第 期 几种数学证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的逻辑原理 刘少军 内容提要 本文以逻辑代数中分离法则为依据 , 推导出了第一 、 二 数学归 纳法 , 分析法和综合法的逻辑原理 。 指 出了其逻辑意义 , 给出了其数学解释 , 叙述 了其方法步骤 本文还就上述四种证 明方法在逻辑意义上 的相互关系进行 了一 定的论述 。 关 祖 词 方法 逻辑原理 统一 等价 解释 为了更好地掌握和运用数学证明方法 , 提高证题逻辑水平 , 本文以逻辑代数理论为基 础从一个永真组含式出发给出了第一 、二数学归纳法 , 分析法和综合法的逻辑原理 。 并将 其加以数学解释得到相应证明方法 。 本文还从逻辑代数角度对这些证法在逻辑意义上的 统一性和相互关系进行了初步探讨 一 、基本逻辑原理 定理 分离法则 设 , 为命题 , 若 和 一 为真 , 则 为真 。 即 一 证明 一 一 , 基本逻辑原理 若 , ⋯⋯ 。 , , ,为命题 , 则 , 一 ⋯⋯ 。 , 、 。 , , 。 基本逻辑原理是分离法则的直接推论 。 二 、 第一 、二数学归纳法的逻辑原理 数学归纳法是由某些特殊命题推出一般命题的方法 。 、 第一数学归纳法的逻辑原理 〔逻辑原理 」 即基本逻辑原理 〔逻辑意义 〕 若命题 , 和 ,一 、十 , , ⋯⋯ , 收稿 口期 一 一 一 一 同时为真 , 则 。十 , 为真 。 〔数学解释 〕 设 是与自然数 有关的命题 , 若 ①当 二 时 , 成立 ②假定 对于任一 自然数 成立 , 可证 亦成立 。 则 对全体自然数成 立 例 证明 证明 十 ⋯⋯ “ 一 ‘二 , 一 设 表示 十 十 , ⋯⋯ “ 一 ’ “ 一 , 那么 , 当 二 时 , 显然成 立 。 设 为任一 自然数 成立 。 即 舍 ⋯⋯ “一 ‘ 一 成立 。 由于 , ⋯⋯ 卜 ’ ‘ ” 一 ’ ‘一 阮一 未 ‘ 又 一一 ’一 , 所以 十 成立 。 从而证得对任惫自然数 有 , ⋯⋯ 一 ‘ “ 一 成立 。 、第二数学归纳法的逻辑原理 〔逻辑原理 〕 若 , ⋯⋯ 。 , , 为命题 , 则 , ” , ⋯ ‘ 二 八 , ⋯ ⋯ 一 十 叶 本原理可由基本逻辑原理等价变形得到 。 即 , , 一 ⋯⋯ 。 一 叶 , , · · 一 。 一 , 一 ⋯⋯ 。 叶 ,一 , , ⋯ ⋯ ⋯⋯ 。 。 , ‘ 二 , ⋯ ⋯ ⋯⋯ , 〔逻辑意义 〕 若命题 与 ⋯⋯ ‘ 、 二 , , ⋯ ⋯ , 同时为真 , 则 一 , 为真 。 〔数学解释 〕 设 是与自然数 有关的命题 , 若 ①当 时 , 成立 ②假定 对于一切小于 的自然数成立 , 可证 亦成立 。 则 对全体 自然数成立 例 证明 级行列式 十 十 本 , 一 , 一 十·一 乙 一 证明 设 表示 十 一 一 一 , 那么 当 二 时 , 显然 , , 即 戊立 当 时 是任一 自然数 , 假设 , , , ⋯ ⋯ 都成立 , 则需证 十 成立 。 因为 压 , , 一 卜 , 卜 ’一 一 一 一 , 一 卜 ” , ’一 “ ‘’ ‘ 一 一 所以 成立 。 从而证得对任意自然数 有 成立 。 三 、 分析法与综合法的逻辑原理 分析法与综合法都是直接证法 。分析法是由未知追溯到 已知的证明方法 , 而综合法则 是由已知引导向未知的证明方法 。 、分析法的逻辑原理 〔逻辑原理 」 即基本逻辑原理 。 〔逻辑意义 」 同第一数学归纳法的逻辑意义 。 〔数学解释 〕 欲证命题 、成立 , 先找出命题 。 , 推出命题 , , 再找出命题 。 一 , , 推出命题 。 , ⋯⋯ , 最后找到命题 , 推出命题 如果命题 成立 , 则命题 叶 也成立 例 证明 当 , 护 时 , 有 , 、 一 厂丫 令 了 。、 一 ’ 一 ’ 一 · 一 证明 由 一 , 二 、 厂 , , , 。 、 。 、 斌 咐 淮 导 井 火 十 少户 丫 气 护夕 , 夕八 ,一 夕。‘ 由 , 可推得 、环 由 , , 可推得 ’ , 由 一 可推得 、 由 一 可推得 一 , 一 因为 尹 时 , 一 成立 成立 从而有喜 。 丫泣石 。 。 , 。, 。并 成立 护 、 ’ ’ 、 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ‘ 一 · 、综合法的逻辑原理 【逻辑原理 〕设 , , , ⋯ ⋯ 。 , 十‘为命题 , 则 ⋯ ⋯ 。一 。 , ” 。 , 。 此原理可由基本逻辑原理等价变形得到 , 即 八 ⋯ ⋯ 一 , 。一 , 币 二丙环印 二协, 八 ⋯⋯ 。一 一 · , , 。 ⋯⋯ 。 。一 〔逻辑意义 〕 若命题 一 。、 , 一 , , ⋯ ⋯ 同时为真 , 则 。一 , 为真 。 〔数学解释 〕 欲证 一 一 , 成立 , 则可找出一系列中间命题 , ⋯ ⋯ , 。 , 只要证明 , 一 。 , ⋯ ⋯ 一 。 , ,均成立 , 则 ,一 。 , ,成立 、 例 用综合法证明例 结论 证明 ‘ ‘ 一 , ‘ ‘ 并 , 。 一 ⋯ ⋯ 一 石石 ‘ , , , 、 、 厂二 一 下 气 十 少洲户 丫 火 , 夕‘ 因而若 一 , , 、 、 尹 , , 言 了 上述推理形式为 , , 并 , 则有 , 。 里一 一 ‘ 与这个推理形式相当的永真蕴含式为 一 一 , 八 ‘ 。 ” 。 , 。 四 、 几点结论 、从逻辑代数角度看四种证法的统一 由数学证明方法的划分可知 , 第一 、二数学归纳法属于间接证法 分析法与综合法属 于直接证法 。 因此 , 想从数学角度将这两类证法统一起来并非易事 但由本文讨论可知 , 第一 、二数学归纳法 , 分析法和综合法的逻辑原理可从基本逻辑原理出发得到 其相应的 永真蕴含式要 么是基本逻辑原理本身 如分析法和第一数学归纳法 要么是其等价形式 了如综合法和第二数学归纳法 。 因此 , 基本逻辑原理在逻辑代数的意义上使得这四种证明 方法达到了统一 。 、从逻辑代数角度看二类证法的区别与联系 一 一 第一 、二数学归纳法可由其相应逻辑原理在谓词逻辑系统中进行数学解释而得到 原 理中 ‘ 二 , , 十 被看作论域为自然数集的命题函数 因此 , 凡与自然数有关的 命题一般均可用上述方法进行论证 分析法与综合法所涉及的命题对象不限于某类命题函数 , 它可更具一般性 。 因此 , 大 多数数学命题 包括第一 、二数学归纳法的第二步 的证明都要直接或间接地用到该方法 。 、从逻辑代数角度看第一 、二数学归纳法的关系 。 由于第一 、二数学归纳法逻辑原理等价 , 且其命题对象的论域相同 。 因此 , 尽管两种归 纳法证明格式不同 , 但本质无异 。故能用第一数学归纳法证明的命题同样可用第二数学归 纳法证明 。 反之亦然 。 、从逻辑代数角度看分析法与综合法的关系 由于分析法和综合法逻辑原理等价 , 所涉及命题对象的范圈相同 。 因此 , 这两种证法 并无本质区别 。 另外 , 由其相应逻辑原理的数学解释可知 , 分析法和综合法过程叙述相反 。 综合法的难点在于必须首先寻找到正确的出发点 。 因此 , 该方法可主要用来叙述证明 而 分析法的过程书写一般将比较冗长 。 所以 , 该方法可主要用来寻找证明路径 实际证明中 常把分析法和综合法联合运用就是基于这个道理 最后值得一提的是本文不仅给出了四种证法的逻辑原理及其逻辑关系 , 而且同时也 给我们以启示 能否按照逻辑原理的等价性对数学证明方法作一种新的意义上的划分呢 让我们共同来寻找答案吧 。 参 考 文 献 〔〕廖祖纬等 , 逻辑代数 , 科学出版社 , , 【幻寿望斗 , 逻辑与数学教学 , 科学出版社 , 【 〕胡耀鼎等 , 数理逻辑 , 中国标准出版社 , 〔」邵存蓓等 , 逻辑代数与电子计算机简介 , 高等教育出版社 , 一 一