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数学解题学引论
解题思维过程的三层次说
心理学的研究
表
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明，人们在创造性地解决问题的过程中，思维是按层次展开的.先粗后细，先宽后窄，先对问题作一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节.K·邓克尔提出的范围淅趋缩小的汇综模式，把思维过程分为3个层次：一般性解决，功能性解决，特殊性解决.对于提到的笛卡尔模式体现了处理一大类问题的层次解决思想.而对于具体的一道数学题而 言，三层次解决的含义为：
1.一般性解决 即在策略水平上的解决,以明确解题的大致范围或总体方向.这是对思考作定向调控.
2.功能性解决 即在数学方法水平上的解决,以确定肯有解决功能的解题手段.这是对解决作方法选择.
3.特殊性解决 即在数学技能水平上的解决,以进一步缩小功能解决的途径,明确运算程序或推理步骤,这是对细节作实际完成.
在例1—8，例1—11中，我们见过这种思维方式.
例3—4 已知椭圆
,A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于一点P(
,证明
[1992年高考理科(28)题]
讲解 这是1992年高考理科压轴题,得分率为0.27.当许多考生感到时间紧迫而又题型陌生的时候,高手迅速将其纳入业已掌握的理论体系.有的考生用函数的观点来看这道题,立即产生如鱼得水的感觉(图3-3).
1.一般性解决 x0是与A,B坐标有关的变量,结论是确定变量x0的取值范围,相当于确定函数的值域,这就明确了解题的方向,从哲学的意义上说,题目已经解决了.
2.功能性解决 为了确定函数的值域,需完成3件事.
(1)求出变量x0的表达式; 图3-3
(2)确定表达式中自变量的取值范围;
(3)由以上两项具体推出求证式.
从方法的角度看,这个问题也解决了.
3.特殊性解决 就是运用数学知识和数学技巧去完成上述3件事,而在具体完成每一件事时,可能还要重复展开三层次解决.
(1)求出变量x0的表达式
我们首先要去找出关于x0与A,B坐标间的等量关系(一般性解决);为了找等量关系,需要检索建立等量关系的记忆储存并与题意沟通(参见§2—1—3中列出方程解应用题的解题表,P.62),挑选出适用的方法(功能性解决);具体应用方法得出x0的表达式(特殊性解决).
我们采用垂直平分线所提供的等量关系.设A(
,B(
因为|PA|=|PB|(这是一个等量关系)有
即
但由PQ与x轴相交于一点知,
,得
①
这就是变量x0的表达式.
(2)确定(
)的取值范围
这时,又视t=
为变量(也是函数观点),如上所述
,所以
②
这相当于确定了①中自变量的取值范围.
(3)推出求证式
由上述①,②式有,
据正比例函数的单调性(还是函数观点),得
以上,用函数观点层层分析和解决问题,处处逢凶化吉.若记Q(x,y)是椭圆
上任一点,则
得二次函数
且由|PA|=|PB|知,
,即f(x)在区间[-a,a]上不单调,则二次函数最小值的唯一性知
,变形即得所求,这种处理也是函数观点,并且非常直观.
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