PAGE湖北省长阳县第一高级中学2020学年高一数学4月月考
试题
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考试时间：120分钟试卷总分150分一、选择题（60分）1．在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（ ）A．12B．16C．20D．242.在中，，，，则（）A．QUOTEB．QUOTEC．QUOTED．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若c＝2，sinA＝2sinC，cosB＝，则△ABC的面积S＝（ ）A．1B．2C．D．4在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，则角A的大小为（）A．B．C．D．5.已知sin2α=，则cos2(α+)=（）（A）（B）（C）（D）6.已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于()A．B．C．D．7.已知等比数列公比为q，其前n项和为，若成等差数列，则等于（）A.B.1C.或1D.8.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且满足，则（）A.B.C.D.9．设函数，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．（1，4）D．（3，4）10在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，仍日增十三里，不久，二马相逢．问：几日相逢？（ ）A．9日B．8日C．16日D．12日11.要在如下
表
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所示的5×5正方形的25个空格中填入自然数，使得每一行，每一列的数都成等差数列，则填入标有※的空格的数是（）A．309B．142C．222D．372※742y186y1030x2x12.定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A．B．C．D．二、填空题（20分）13若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.14在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为__________15.等于________16.数列SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT满足SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，且SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT（SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT），则数列SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的前10项和为三、解答题（70分）17（10分）已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最小值．18（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知cos2A﹣3cos（B+C）＝1．（1）求角A的值；（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．19.(12分)已知向量＝（cosx，sinx），＝（cosx，），x∈R，设函数f（x）＝+．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）设a，b，c别为△ABC内角A，B，C的对边，若f（A）＝2，b+c＝2，△ABC的面积为，求a的值．20．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n，n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*.(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.21.（12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？22（12分）在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+2n+1．（1）求证：数列{an﹣2n}为等差数列；（2）若数列{bn}满足bn＝log2（an+1﹣n），求证：．2020学年高一下学期第一次月考试题
答案
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1——12：BBCBACAADABC13：814：151617（1）(2分）（4分）的最小正周期为；（6分）(2)，（8分）当时，取得最小值为：（10分）18解：（1）△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）＝1，（2cos2A﹣1）﹣3•（﹣cosA）＝1，2cos2A+3cosA﹣2＝0，（2分）解得cosA＝或cosA＝﹣2（不合题意，舍去），（3分）∴cosA＝，A＝；（4分）（2）a＝2，A＝，由正弦定理可得＝＝＝＝；∴b＝sinB，c＝sinC，（6分）∴a+b+c＝2+（sinB+sinC）＝2+[sin（﹣C）+sinC]＝2+（cosC+sinC）＝2+4sin（C+），（9分）∵0＜C＜，∴＜C+＜，（10分）∴＜sin（C+）≤1，2＜4sin（C+）≤4，（11分）则4＜2+4sin（C+）≤6，即4＜a+b+c≤6，∴△ABC的周长的取值范围是（4，6]．（12分）19.解：（1）由题意可得函数f（x）＝+＝cos2x+sinxcosx+＝+sin2x+(1分）＝sin（2x+）+1，（2分）令，k∈Z，解得；，k∈Z；所以函数f（x）的单调递増区间为，k∈Z．（4分）（2）△ABC中，∵，f（A）＝2，∴＝1．∵0＜A＜π，∴，∴，即．（7分）由得bc＝2．（8分）又∵，（9分）∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc（1+cosA），解得．（12分）20(1)由Sn=2n2+n,可得当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,（2分）当n=1时，a1=3符合上式，所以an=4n-1(n∈N*).（4分）由an=4log2bn+3，可得4n-1=4log2bn+3,解得bn=2n-1(n∈N*).（6分）(2)anbn=(4n-1)·2n-1,∴Tn=3+7×21+11×22+15×23+…+(4n-1)×2n-1，①2Tn=3×21+7×22+11×23+15×24+…+(4n-1)×2n，②（8分）①-②可得-Tn=3+4[21+22+23+24+…+2n-1]-(4n-1)×2n=3+4×-(4n-1)×2n=-5+(5-4n)×2n,（10分）∴Tn=5+(4n-5)×2n.（12分）21.由题意知海里，（2分）在中，由正弦定理得（3分）=（海里），（6分）又海里，（7分）在中，由余弦定理得=（10分）30（海里），则需要的时间（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。（12分）22证明：（1）∵．∴，（2分）又∵a1＝2，∴a1﹣2＝0，∴数列为首项为0，公差为1的等差数列．（4分）（2）由（1）知：，∴∴（6分）＝＝＝，(10分）∵n∈N*∴，∴，∴．（12分）
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