《应用微积分》4.2洛必达法则主讲教师：第4章中值定理与导数应用中值定理洛必达法则函数单调性和凹凸性函数的极值与最值函数图形描绘12洛必达法则I洛必达法则II3其他未定式在自变量的某个变化过程中（例如对于一个函数的极限式，其结果不外乎是四种情非零常数A或不存在”之一，但是对于两个函数和有时不确定，例如假设A,B为常数，有等），形“组成的极限式，其结果有时确定，（1）若，，则（2）若，，则；；（3）若，，则；（4）若，，则（5）若，，则；；上述情形(1)~(3)因为结果确定,所以我们称情形(4)和(5)的结果不确定,我们称不定式共有7种，它们是：...
主讲教师：第4章中值定理与导数应用中值定理洛必达法则函数单调性和凹凸性函数的极值与最值函数图形描绘12洛必达法则I洛必达法则II3其他未定式在自变量的某个变化过程中（例如对于一个函数的极限式，其结果不外乎是四种情非零常数A或不存在”之一，但是对于两个函数和有时不确定，例如假设A,B为常数，有等），形“组成的极限式，其结果有时确定，（1）若，，则（2）若，，则；；（3）若，，则；（4）若，，则（5）若，，则；；上述情形(1)~(3)因为结果确定,所以我们称情形(4)和(5)的结果不确定,我们称不定式共有7种，它们是：型，型，型，型，型，型，本节我们介绍的罗必达法则及其应用就是这些不定式的定值法。为定式。为不定式。型，定理4.3设函数与满足下列条件：（1）（2）在点的某个去心邻域中，和并且（或）；（或）都存在，则有求下列极限（1）（2）（3）(4)这四个极限都是型不定式（1）（2）两次使用罗必达法则。例4.6解（3）,该式属于型不定式,且符合洛必达法则1条件,但是若直接用罗必达法则,分母的导数较繁.作一个等价无穷小代换,那么运算就方便得多.由此例不难看出，当时，【注】求极限(4)定理4.4设函数与满足下列条件：（1）（2）在的某个空心邻域中，和都存在，（3）则有（或）1）改为自变量的任意一个变化过程，例如，，，2）使用罗必达法则时是分子分母分别求导，不要与商的导数混淆。时，罗必达法则Ⅱ仍成立。求下列极限（1）（2）（3）（，>0）【注】例4.7以上三个极限在相应的极限过程中都是“”型不定式（1）（2），得（3）相继应用罗必达法则次，…解提醒读者注意：当时，对数函数、幂函数、指数函数增大的“速度”是很不一样的，幂函数增大的“速度”比对数函数快得多，而指数函数增大的“速度”又比幂函数快得多，即均为无穷大，但这三个函数利用这个结论我们可以立得下列极限洛必达法则为求不定式的极限提供了一个非常有效的方法，但使用罗必达法则求极限时务必注意：型和（2）求极限，若不是不定式，则不能使用罗必达法则。至于其他类型的不定式必须通过等价变换化成型或型不定式，才能使用洛必达法则，具体转化思路如下（1）只有为型不定式时，转化思路是情形4.1（型）求极限（1）（2）这两例均为型不定式，通过通分把它转化成为“”型不定式如下：（1）（2）例4.8解为型不定式时，转化思路是或求极限这是型不定式，把它转化成为型如下：请记住这个极限,它将经常被引用.对任意的自然数,都有情形4.2例4.9解【注】推广为，，先把极限式指数化再求极限，转化思路是其中为型，归结为情形4.2。型不定式时，求极限这是型幂指函数的极限,把极限式指数化再求极限类似地有：求下列极限①②情形4.3例4.10解求极限这是型不定式，先把极限式指数化再求极限例4.11解求极限是型未定式，先把极限式指数化再求极限（1）（2）类似的结论，当时，例4.12解【注】(3)存在（或是）是存在（或是不存在，这个极限是否存在。）的充分条件而不是必要条件，如果不能立即断定不存在，还需用其他方法来判断例如不存在，但是洛必达法则令取对数1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限原式～3.原式～～
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