2011届一轮复习教案第1章直线运动

必修1 第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究 　　 第1课时　描述运动的物理量 基础知识归纳 1.机械运动 物体的　空间位置　随时间的变化. 2.参考系 为了研究物体的运动而假定为不动，用来做　参考　的物体，对同一个物体的运动，所选择的参考系不同，对它运动的描述可能就会　不同　，通常取　地面　为参考系来描述物体的运动. 3.质点 (1)定义：用来代替物体的有　质量　的点. (2)物体可看做质点的条件：研究物体的运动时，物体的　大小　和　形状　可以忽略. 4.时刻和时间间隔 时刻 时间间隔 区别 (1)在时间轴上用　点　表示 (2)时刻与物体的　位置相对应　，表示某一　瞬时　 (1)在时间轴上用　线段　表示 (2)时间间隔与物体的　位移　相对应，表示某一　过程　 联系 两个时刻的　间隔　即为时间间隔 5.位移和路程 定义 区别 联系 位移 位移表示质点的 位置 变化，它是质点由 初位置 指向 末位置 的有向线段 位移是矢量，方向由 初 位置指向 末 位置 (1)在单向直线运动中，位移的大小 等于 路程 (2)一般情况下，位移的大小 小于 路程 路程 路程是质 运动轨迹 长度 路程是标量，没有方向 6.速度和速率 (1)平均速度：运动物体的　位移　与所用　时间　的比值. (2)瞬时速度：运动物体在某一　位置　或　时刻　的速度. (3)速率：瞬时速度的　大小　叫速率，是标量. 7.加速度 (1)定义：a＝ ，Δv是速度变化量，Δt是时间间隔. (2)物理意义：描述　速度　变化的快慢. (3)方向：与Δv的方向相同，单位是　m/s2　. 8.匀速直线运动 (1)定义：轨迹为直线，且在任意相等的时间内　位移　相等的运动. (2)规律的描述 ① 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：v＝　x/t　. ② 图象：如图所示. 重点难点突破 一、对质点概念的理解 1.质点是一种科学抽象，是在研究物体运动时，抓住主要因素、忽略次要因素，对实际物体的近似，是一种理想化模型. 2.一个物体是否可以视为质点，要具体情况具体分析. (1)平动的物体可以视为质点.所谓平动，就是物体运动时，其上任一点的运动与整体的运动有完全相同的特点，如水平传送带上的物体随传送带的运动. (2)有转动，但相对平动而言可以忽略时，也可以把物体视为质点.如汽车在运动时，虽然车轮有转动，但我们关心的是车辆整体运动的快慢，故汽车可以看成质点. (3)物体的大小、形状对所研究问题影响可以忽略不计时，可视物体为质点.如地球是足够大的物体，但地球绕太阳公转时，地球的大小就变成次要因素，我们完全可以把地球当做质点看待.当然，在研究地球自转时，就不能把地球看成质点了.又如测量一个同学的跑步速度时，可以将他看成质点，但观察他做广播操时，就不能将他看成质点了. 3.质点的物理意义 当物体的形状、大小不起主要作用时，可把物体抽象为一个质点，以便简化问题；即使在物体形状、大小起主要作用时，也可根据质点的定义，把物体看成由无数多个质点组成的系统.所以，研究质点的运动，是研究实际物体运动的近似和基础. 二、位移和路程的区别 位移是描述物体位置变化大小和方向的物理量，它是从运动物体的初位置指向末位置的有向线段.位移既有大小又有方向，是矢量，大小只跟运动起点、终点位置有关，跟物体运动所经历的实际路径无关. 路程是物体运动所经历的路径长度，是标量，大小跟物体运动经过的路径有关. 位移和路程都属于过程量，物体运动的位移和路程都需要经历一段时间. 三、对平均速度和瞬时速度的理解 在匀速直线运动中，由于速度不变，即x跟t的比值x/t不变，平均速度与瞬时速度相同，v＝x/t既是平均速度，也是物体各个时刻的瞬时速度.在变速运动中，eq \o(v,\s\up6(－))＝x/t随x或t的选取不同而不同，而且是反映这段位移上的平均速度，它只能粗略地描述这段位移上运动的快慢程度.对做变速运动的物体，在它经过的某个位置附近选很小一段位移Δx，Δx小到在这段位移上察觉不到速度有变化，即在Δx上物体是匀速，那么这段位移上的平均速度与这段位移上各个时刻的瞬时速度相等，即定义为：物体在这一位置的速度等于在这一位置附近取一小段位移Δx与经过这段Δ x所用时间Δ t的比值，即Δ t趋于0时， ＝v. 四、速度、速度变化量和加速度的关系 物理量 意义 公式 关系 速度v 表示运动的快慢和方向 v= 三者无必然联系，v很大，Δv可以很小，甚至为0，a也可大可小 速度的变化量Δv 表示速度变化的大小和方向 Δv＝(v－v0) 加速度a 表示速度变化的快慢和方向，即速度的变化率 a= 五、参考系的理解和应用 1.运动是绝对的，静止是相对的.一个物体是运动的还是静止的，都是相对于参考系而言的. 2.参考系的选取可以是任意的. 3.确定一个物体的运动性质时，必须首先选取参考系，选择不同的物体做参考系，可能得出不同的结论. 4.参考系本身既可以是运动的物体也可以是静止的物体，在讨论问题时，被选为参考系的物体，我们假定它是静止的. 5.当比较两个物体的运动情况时，必须选择同一个参考系. 6.参考系的选取原则. 选取参考系时，应以观测方便和使运动的描述尽可能简单为原则，一般应根据研究对象和研究对象所在的系统来决定，如研究地面上物体的运动时，通常选地面或相对地面静止的物体为参考系. 典例精析 1.位移和路程的比较及计算 【例1】在一条直线跑道上，每隔5 m远放置一个空瓶子，运动员进行折返跑训练，从中间某一瓶子处出发，跑向最近的空瓶子将其扳倒后返回再扳倒出发点处的第一个瓶子，之后再折返扳倒前面的最近的瓶子，依次下去，当他扳倒第6个空瓶子时，他跑过的路程多大？位移是多大？ 【解析】设从O处出发，其运动情景如图所示，由路程是轨迹的长度得L＝(5＋5＋10＋15＋20＋25) m＝80 m 由位移概念得x＝10 m 【思维提升】本题主要考查对位移和路程的理解，作出运动员运动的示意图，使运动过程直观形象，易于求解. 【拓展1】某同学从学校的门口A处开始散步，先向南走了50 m到达B处，再向东走了100 m到达C处，最后又向北走了150 m到达D处，则： (1)此人散步的总路程和位移各是多少？ (2)要确切地表示这人散步过程中的各个位置，应采用什么数学手段较妥，分别应如何表示？ (3)要比较确切地表示此人散步的位置变化，应用位移还是路程？ 【解析】(1)这人散步的总路程为 s＝(50＋100＋150) m＝300 m 画图，如图所示，位移大小为 x＝ m＝100 m 且tan α＝1，α＝45°，即位移方向为东偏北45°. (2)应用直角坐标系中的坐标表示，以A为坐标原点，向东为x轴正向，向北为y轴正向，则A点为(0,0)，B(0，－50)，C(100，－50)，D(100,100). (3)应用位移可准确表示人散步的位置变化. 2.平均速度的求法 【例2】汽车从甲地由静止出发，沿直线运动到丙地，乙在甲、丙两地的中点.汽车从甲地匀加速运动到乙地，经过乙地时速度为60 km/h；接着又从乙地匀加速运动到丙地，到丙地时速度为120 km/h.求汽车从甲地到达丙地的平均速度. 【解析】设甲、丙两地距离为2l，汽车通过甲、乙两地的时间为t1，通过乙、丙两地的时间为t2. 甲到乙是匀加速运动，由l＝ •t1得 t1＝ h＝ h 从乙到丙也是匀加速运动，由l＝ •t2得 t2＝ h= h 所以 km/h＝45 km/h 【思维提升】平均速度的常用计算方法有： (1)利用定义式 =x/t，这种方法适合于任何运动形式； (2)利用 = (v0＋v)，这种方法只适用于匀变速直线运动.求平均速度的关键是明确所求的是哪一段时间内的平均速度或哪一段位移的平均速度. 【拓展2】某人爬山，从山脚爬上山顶，然后又从原路返回到山脚，上山的平均速率为v1，下山的平均速率为v2，则往返的平均速度大小和平均速率是 ( D )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. , B. , C.0, D.0, 【解析】平均速度 ＝0，平均速率v＝ 3.位移、速度、速度变化率和加速度的关系 【例3】一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度方向相同，但加速度大小逐渐减小直至为零，则在此过程中 (　　) A.速度逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值 B.速度逐渐增大，当加速度减小到零时，速度达到最大值 C.位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大 D.位移逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值 【解析】 选项 内容指向、联系分析 结论 A 加速度与速度同向，速度应变大 错误 B 物体做加速度减小的加速运动，最后达到匀速 正确 C 因物体最终匀速运动，所以位移仍增大 错误 D 位移一直增大，没有最小值 错误 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】B 【思维提升】不能认为加速度变小，速度一定变小，也不能认为加速度变大，速度一定变大.当加速度与速度方向相同时，速度变大；当加速度与速度方向相反时，速度变小. 【拓展3】一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4 m/s，1 s后速度的大小变为10 m/s.在这1 s内物体的 ( AD ) A.位移的大小可能小于4 m B.位移的大小可能大于10 m C.加速度的大小可能小于4 m/s2 D.加速度的大小可能大于10 m/s2 【解析】因物体做匀变速直线运动，有两种可能：①若是匀加速直线运动，则vt＝10 m/s，位移x＝ •t= ×1 m＝7 m，加速度a＝ m/s2＝6 m/s2 ②若是匀减速直线运动，则vt＝－10 m/s，位移x＝ •t＝ ×1 m＝－3 m，加速度a＝ m/s2＝－14 m/s2，故选A、D. 易错门诊 4.参考系及其应用 【例4】航空母舰是一种可以供军用飞机起飞和降落的军舰.蒸汽弹射起飞，就是使用一个长平的甲板作为飞机跑道，起飞时一个蒸汽驱动的弹射装置带动飞机在两秒钟内达到起飞速度，目前只有美国掌握生产蒸汽弹射器的成熟技术.某航空母舰上的战斗机，起飞过程中最大加速度是a＝4.5 m/s2，飞机要达到速度v0＝60 m/s才能起飞，航空母舰甲板长为L＝289 m.为使飞机安全起飞，航空母舰应以一定速度航行才能保证飞机起飞安全，求航空母舰的最小航行速度v是多少？(设飞机起飞对航空母舰的状态没有影响，飞机的运动可以看做匀加速直线运动) 【错解】由运动学知识有 ＝2aL，解得v＝ ，代入数据得v＝ m/s＝ m/s≈31.6 m/s 【错因】本题在解题的过程中如果以地面为参考系，飞机起飞的距离并不是航空母舰甲板长度L，甲板的长度应该是飞机与航空母舰的相对位移.错解中的速度是以地面为参考系，位移以航空母舰为参考系，同一个过程中物理量采用不同的参考系显然是不正确的. 【正解】若航空母舰匀速运动，以地面为参考系，设在时间t内航空母舰和飞机的位移分别为x1和x2，航空母舰的最小速度为v，由运动学知识得 x1＝vt，x2＝vt＋ at2，x2－x1＝L，v0＝v＋at 联立以上几式解得v＝9 m/s 【思维提升】若在分析问题的同一公式中，必须选用统一的参考系. 第 2 课时　匀变速直线运动规律及应用 基础知识归纳 1.匀变速直线运动的基本规律 (1)概念：物体做　直线　运动，且加速度大小、方向都　不变　，这种运动叫做匀变速直线运动.可分为　匀加速　直线运动和　匀减速　直线运动两类. (2)特点：　加速度的大小和方向都不随时间变化　. (3)匀变速直线运动的规律 2.匀变速直线运动的重要推论 (1)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差是一个恒量，即x2－x1＝x3－x2＝…＝Δx＝　aT 2　或xn＋k－xn＝　kaT 2　. (2)在一段时间t内，中间时刻的瞬时速度v等于这段时间的平均速度，即 ＝ = . (3)中间位移处的速度： ＝ . (4)初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律 ①t末、2t末、3t末、…、nt末瞬时速度之比为 v1∶v2∶v3∶…∶vn＝　1∶2∶3∶…∶n　. ②t内、2t内、3t内、…、nt内位移之比为 x1∶x2∶x3∶…∶xn＝　12∶22∶33∶…∶n2　. ③在连续相等的时间间隔内的位移之比为 xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝　1∶3∶5∶…∶(2n－1)　. ④经过连续相等位移所用时间之比为 tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝ . 重点难点突破 一、匀变速直线运动问题的求解方法 在众多的匀变速直线运动的公式和推论中，共涉及五个物理量v0、vt、a、x、t，合理地运用和选择方法是求解运动学问题的关键. 1.基本公式法：是指速度公式和位移公式，它们均是矢量式，使用时应注意方向性.一般以v0的方向为正方向，其余与正方向相同者取正，反之取负. 2.平均速度法：定义式 ＝x/t，对任何性质的运动都适用，而 只适用于匀变速直线运动. 3.中间时刻速度法 利用“任一时间t内中间时刻的瞬时速度等于这段时间t内的平均速度”，即 ，适用于任何一个匀变速直线运动，有些题目应用它可以避免常规解法中用位移公式列出的含有t2的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速度. 4.比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的五大重要特征的比例关系，用比例法求解. 5.逆向思维法 把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法.一般用于末态已知的情况. 6.图象法 应用v-t图象，可把复杂的问题转变为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出答案. 7.巧用推论Δx＝xn＋1－xn＝aT 2解题 匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即xn＋1－xn＝aT 2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔，应优先考虑用Δx＝aT 2求解. 二、匀变速直线运动重要推论的理解及灵活运用 对于匀变速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动的七个推论，要学会从匀变速直线运动的基本公式推导出来并熟练掌握，这样有助于我们进一步加深对匀变速直线运动规律的理解；同时，巧妙地运用上述推论，可使求解过程简便快捷. 三、求解匀变速直线运动的一般思路 1.弄清题意，建立一幅物体运动的图景.为了直观形象，应尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量. 2.弄清研究对象，明确哪些量已知，哪些量未知，根据公式特点恰当地选用公式. 3.利用匀速变直线运动的两个推论和初速度为零的匀加速直线运动的特点，往往能够使解题过程简化. 4.如果题目涉及不同的运动过程，则应重点寻找各段运动的速度、位移、时间等方面的关系. 四、应用运动学公式解决行车问题应注意 1.正确分析车辆行驶的过程、运动状态，确定各相关量的符号，灵活运用公式列方程. 2.注意找出题目中的隐含条件.如汽车的启动过程，隐含初速度为零；汽车刹车直到停止过程，隐含物体做匀减速运动且末速度为零的条件. 3.在计算飞机着陆、汽车刹车等这类速度减为零后不能反向运动的减速运动的位移时，注意判断所给时间t内物体是否已经停止运动.如果已停止运动，则不能用时间t代入公式求位移，而应求出它停止所需的时间t′，将t′代入公式求位移.因为在以后的t′～t时间内物体已停止运动，位移公式对它已不适用.此种情况称为“时间过量问题”. 4.公式应用过程中，如需解二次方程，则必须对求解的结果进行讨论. 5.末速度为零的匀减速运动，是加速度大小相同、初速度为零的匀加速运动的逆过程，因此可将其转化为初速度为零的匀加速运动进行计算，使运算简便. 典例精析 1.匀变速直线运动问题的求解 【例1】物体以一定的初速度从A点冲上固定的光滑的斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示.已知物体运动到斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B运动到C所用的时间. 【解析】解法一：逆向思维法 物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面.故xBC＝ ，xAC＝a(t＋tBC)2/2，又xBC＝xAC/4 解得tBC＝t 解法二：比例法 对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为 x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1) 现在xBC∶xAB＝1∶3 通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC＝t 解法三：利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出v-t图象，如图所示. S△AOC/S△BDC＝CO2/CD2 且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC 所以4/1＝(t＋tBC)2/ ，解得tBC＝t 【思维提升】本题解法很多，通过对该题解法的挖掘，可以提高灵活应用匀变速直线运动规律和推论的能力、逆向思维的能力及灵活运用数学知识处理物理问题的能力. 【拓展1】一个做匀加速直线运动的物体，在头4 s内经过的位移为24 m，在第二个4 s内经过的位移是60 m.求这个物体的加速度和初速度各是多少？ 【解析】解法一：基本公式法 头4 s内的位移：x1＝v0t＋ at2 第2个4 s内的位移：x2＝v0(2t)＋ a(2t)2－(v0t＋ at2) 将x1＝24 m、x2＝60 m、t＝4 s代入上式， 解得a＝2.25 m/s2，v0＝1.5 m/s 解法二：物体在8 s内的平均速度等于中间时刻(即第4 s 末)的瞬时速度，则v1＝ m/s＝v0＋4a，物体在前4 s内的平均速度等于第2 s末的瞬时速度v2＝ m/s＝v0＋2a 两式联立解得a＝2.25 m/s2，v0＝1.5 m/s 解法三：由公式Δx＝aT2，得a＝ m/s2＝2.25 m/s2 根据v1＝ m/s＝v0＋4a，所以v0＝1.5 m/s 2.匀变速直线运动的推论及其应用 【例2】物体沿一直线运动，在t时间内通过的位移为x，它在中间位置 x处的速度为v1，在中间时刻 t时的速度为v2，则v1和v2的关系为 (　　) A.当物体做匀加速直线运动时，v1>v2 B.当物体做匀减速直线运动时，v1>v2 C.当物体做匀速直线运动时，v1＝v2 D.当物体做匀减速直线运动时，v1v2；当v0＝vt，做匀速直线运动，必有v1＝v2.所以，正确选项应为A、B、C. 【答案】ABC 【思维提升】解题时要注意：当推出v1>v2时假设物体做匀加速运动，不能主观地认为若物体做匀减速运动结果就是v1aAD>aBC)，根据机械能守恒定律，两球达到底端的速度大小相等，因此画出其vt图象如图所示，其中折线为沿ABC斜面下滑的a球的速度图象，直线为沿AD斜面下滑的b球的速度图象. 要满足a、b两图线下方的面积相等，必须使图中画有斜线部分的两块面积相等，那就一定有tasC>sB，故平均速率 ，所以选B.又从起点O到终点的有向线段长相等，故位移相同，则平均速度相同，A也正确. 【错因】上述错误的原因是没有明确x-t图象表示位移随时间的变化关系，并非物体的运动的轨迹. 【正解】从x-t图象知，在t0时刻A、B、C离起点O的位移相同，故A正确.由A在时刻t0已经返回到终点，故路程关系是sA>sC＝sB，故平均速率vA>vC＝vB，B不正确. 【答案】A 【思维提升】对于图象问题，首先要弄清坐标轴表示的意义，然后再弄清图线所描述的规律.本题的图线描述的是位移随时间变化的规律，而不是物体的运动轨迹. 第 4 课时　自由落体运动及抛体运动 基础知识归纳 1.自由落体运动 (1)自由落体运动的特点 自由落体运动是初速度为　零　，加速度为　重力加速度g　的匀加速度直线运动. (2)自由落体运动的运动规律 ①速度公式：vt＝　gt　. ②位移公式：h＝ . ③速度位移关系式： ＝　2gh　. ④从运动开始连续相等的时间内位移之比为　1∶3∶5∶7∶…　. ⑤连续相等的时间t内位移的增加量相等，即Δx＝　gt2　. ⑥一段时间内的平均速度 . 2.竖直上抛运动 (1)竖直上抛运动的特点 ①上升阶段：速度越来　越小　，加速度与速度方向　相反　，是　匀减速直线　运动. ②下降阶段：速度越来　越大　，加速度与速度方向　相同　，是　匀加速直线　运动. ③在最高点：速度为　零　，但加速度仍为　重力速度g　，所以物体此时并不处于平衡状态. (2)竖直上抛运动的规律 ①速度公式：vt＝　v0－gt　. ②位移公式：h＝ . ③速度－位移关系式： ＝　－2gh　. (3)几个特征量 ①上升的最大高度：H＝ . ②上升到最大高度处所需时间t上和最高点处落回原抛出点所需时间t下相等，即t上＝t下＝ . 重点难点突破 一、自由落体运动的规律及其应用 自由落体运动是初速度v0＝0、加速度为重力加速度g的匀加速直线运动的特例，故匀变速直线运动的基本公式和相关推论式对自由落体运动都适用. 二、竖直上抛运动上升阶段和下降阶段的对称性 1.时间的对称性 (1)物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等：t上＝t下＝v0/g. (2)物体在上升过程中从某点到达最高点所用的时间和从最高点落回该点所用的时间相等. 2.速度的对称性 (1)物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反. (2)在竖直上抛运动中，同一个位置对应两个等大反向的速度. 三、竖直上抛运动的两种处理方法 1.分段法 (1)上升过程：vt＝0，a＝－g的匀减速直线运动. (2)下降过程：自由落体运动. 2.整体法 (1)将上升和下降过程统一看成是初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，vt＝v0－gt，h＝v0t－ gt2. (2)若vt>0，则物体在上升；vt<0，则物体在下落.h>0，物体在抛出点上方；h<0，物体在抛出点下方. 典例精析 1.自由落体运动的规律及其应用 【例1】一个物体从H高处自由落下，经过最后196 m所用的时间是4 s，求物体下落H高所用的总时间T和高度H是多少？(取g＝9.8 m/s2，空气阻力不计) 【解析】根据题意画出小球的运动示意图(如图所示)其中t＝4 s，h＝196 m 解法一：根据自由落体公式 由H＝ gT 2 H－h＝ g(T－t)2解得 T＝ s＝7 s H＝ gT 2＝ ×9.8×72 m＝240.1 m 解法二：利用匀变速直线运动的平均速度的性质解题. 由题意得最后4 s内的平均速度为 m/s＝49 m/s 因为在匀变速直线运动中，某段时间的平均速度等于中间时刻的速度，所以下落至最后2 s时的瞬时速度为 vt′＝ ＝49 m/s 由速度公式得从开始下落至最后2 s的时间 t′＝ s＝5 s 所以T＝t′＋ ＝5 s＋ s＝7 s H＝ gT 2＝ ×9.8×72 m＝240.1 m 【思维提升】解决自由落体运动问题要弄清运动过程，作好示意图，然后利用自由落体运动规律分析求解；同时要注意自由落体运动是初速度v0＝0的匀加速直线运动，可灵活运用相关推论求解. 【拓展1】屋檐定时滴出水滴，当第5滴正欲滴下时，第1滴已刚好达到地面，而第3滴与第2滴正分别位于高1 m的窗户上、下沿，如图所示，取g＝10 m/s2，问： (1)此屋檐离地面多少米？ (2)滴水的时间间隔是多少？ 【解析】(1)初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，连续相等时间内位移比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，令相邻两水滴间的距离从上到下的比依次为x∶3x∶5x∶7x. 由题意知，窗高为5x，则 5x＝1 m，x＝0.2 m 屋檐高h＝x＋3x＋5x＋7x＝3.2 m (2)由公式h＝ gt2得一滴水落地的时间为t＝ ＝0.8 s，T＝ ＝0.2 s 2.竖直上抛运动的对称性 【例2】以v0＝20 m/s速度竖直上抛一个小球，2 s后以相同的初速度在同一位置上抛另一小球，g＝10 m/s2，则两球相碰处离出发点的高度是多少？ 【解析】解法一：由速度对称性，上升阶段与下降阶段经过相同的位置时速度等大、反向，即 －[v0－g(t＋2)]＝v0－gt 解得t＝1 s，代入位移公式h＝v0t－ gt2，知h＝15 m 解法二：根据时间对称，上升和下降经过同一段位移时所用时间相同，即 v0(t＋2)－ g(t＋2)2＝v0t－ gt2 解得t＝1 s，代入位移公式h＝v0t－ gt2，知h＝15 m 【思维提升】运用竖直上抛运动的对称性分析解决物理问题，不仅可以加深对竖直上抛运动的理解和认识，还可以活跃思维，提升能力. 【拓展2】一个从地面竖直上抛的物体，两次经过一个较低点a的时间间隔是Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔是Tb，则a、b之间的距离为 ( A ) A. g( ) B. g( ) C. g( ) D. g(Ta－Tb) 【解析】根据时间的对称性，物体从a点到最高点的时间为 ，从b点到最高点的时间为 .所以a点到最高点的距离ha＝ b点到最高点的距离hb＝ 故a、b之间的距离为ha－hb＝ ，即选A. 易错门诊 3.竖直上抛运动的处理方法 【例3】气球以10 m/s的速度匀速上升，当它上升到 175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10 m/s2) 【错解】因为物体离开气球做自由落体运动，由x＝ gt2得t＝ s≈ 5.91 s 由v2＝2gx得v＝ m/s≈59.1 m/s 即重物从气球上脱落，经5.91 s能落到地面，到达地面时的速度约为59.1 m/s. 【错因】由于对惯性理解不深刻，导致对题中的隐含条件即重物离开气球时具有向上的初速度视而不见，误认为v0＝0.实际上，重物随气球匀速上升时，具有向上10 m/s的速度，当重物离开气球时，由于惯性重物将继续向上运动一段距离，在重力作用下做匀变速直线运动. 【正解】取全过程作一整体进行研究，如图所示，则物体在掉落后的时间 t内的位移 h＝－175 m 由位移公式h＝v0t－ gt2得 －175＝10t－ ×10t2 解得t＝7 s和t＝－5 s(舍去) 所以重物落地速度为 vt＝v0－gt＝－60 m/s 其中负号表示方向向下，与初速度方向相反. 【思维提升】(1)研究竖直上抛运动时，要灵活选用分段法和整体法，同时要注意各物理量的取值正负. (2)画好过程示意图是解决运动学问题的关键.同时正确判断物体的运动情况. 第 5 课时　追及与相遇问题 基础知识归纳 1.追及和相遇问题 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题. 2.追及问题的两类情况 (1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)： ①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有　最小　距离. ②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时　避免碰撞　的临界条件. ③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有　一个极大　值. (2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)： ①当两者速度相等时有　最大距离　. ②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上. 3.相遇问题的常见情况 (1)同向运动的两物体追及即相遇. (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇. 重点难点突破 一、追及和相遇问题的常见情形 1.速度小者追速度大者常见的几种情况： 类型 图象 说明 匀加速追匀速 ①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大 ②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx ③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小 ④能追及且只能相遇一次 注：x0为开始时两物体间的距离 匀速追匀减速 匀加速追匀减速　 2.速度大者追速度小者常见的情形： 类型 图象 说明 匀减速追匀速 开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇 注：x0是开始时两物体间的距离 匀速追匀加速 匀减速追匀加速　 二、追及、相遇问题的求解方法 分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为： 方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离. 方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇. 方法3：利用图象求解.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积. 方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝ v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定. 三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题 1.解“追及”、“相遇”问题的思路 (1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图. (2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中. (3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程. (4)联立方程求解. 2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点 (1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”： “一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等. “两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益. (2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动. (3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件. 典例精析 1.运动中的追及和相遇问题 【例1】在一条平直的公路上，乙车以10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动). 【解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有 v甲t－ ＝v乙t＋L 其中t＝ ，解得L＝25 m 若L>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇. 若L＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大. 若L<25 m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次. 【思维提升】对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解. 【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆 ( AC ) 【解析】由v-t图象的特点可知，图线与t轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A、C选项中，a、b所围面积的大小有相等的时刻，故A、C正确. 2.追及、相遇问题的求解 【例2】在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？ 【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解. 对A车有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t 对B车有sB＝ at2，vB＝at 两车有s＝sA－sB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at 对B车有vB＝v＝at 以上两式联立解得t＝ 经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知 s＝ v0•t＝ v0• 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 【思维提升】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答. 【拓展2】从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B.要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？ 【解析】A、B两物体都做竖直上抛运动，由s＝v0t－ gt2作出它们的s-t图象，如图所示.显然，两图线的交点表