板壳理论 15

第十五章薄板的振动问题薄板的自由振动基本理论矩形薄板的自由振动圆形薄板的自由振动能量法求自然频率薄板的受迫振动§15－1薄板的自由振动横向振动：薄板在垂直于中面方向的振动。一、基本概念在此讨论在一定荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而发生垂直于中面的挠度和速度，去掉干扰力后，在该平衡位置附近作微幅振动。横向振动是工程中的重要问题，而纵向振动在工程中无关重要，且数学上难以处理，故本章只讨论横向振动纵向振动：薄板在平行于中面方向的振动。薄板的振动分为横向振动和纵向振动薄板的自由振动：（1）薄板的振动频率，特别是最低频率（2）已知初始条件，薄板在任一瞬时的挠度，进而求得瞬时内力弹性曲面微分方程二、薄板自由振动的微分方程则设薄板在平衡位置的挠度为——称为静挠度此时所受的横向荷载为——称为横向静荷载设振动过程中某瞬时t，薄板的挠度为弹性曲面微分方程薄板振动的加速度则注意到若将坐标选在平衡位置，则任一瞬时的挠度可写为设微分方程具有如下解（挠度）的形式则有薄板自由振动的微分方程三、振动的挠度与频率（一般解法）（1）薄板上在给定任意点的挠度可以表示成无数多个简谐振动下挠度的叠加，各个简谐振动的频率是（2）在每一瞬时t，薄板的挠度被表示成无数多种振形下的挠度叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数表示。振动频率振形函数考虑其中任一个消去因子振形微分方程如果求得W的满足边界条件的非零解，则有相应的频率为自由振动的频率称为自然频率或固有频率，描述薄板的固有特性，与外界因素无关考虑均质薄板令常系数微分方程利用上式有可能求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，再求得相应的频率。上式须将初始条件将求得振形函数及相应的频率由初始条件确定系数展成Wm的级数，在数学上很困难求任意瞬时的挠度也就很困难，而在工程中也没有必要。在大多数情况下，只能求得各振形函数及相应的频率——这就足以解决工程上的主要问题了。§15－2四边简支矩形薄板的自由振动当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简单地得出自由振动的完整解答取振形函数则固有频率对于不同的m,n值，可以得到不同振形的自然频率。其中m及n为整数，可以满足边界条件。上式对于任意的x,y都满足，则有对应振形函数薄板的挠度为讨论：（1）当m=n=1时，为薄板的最低频率，称为基频振形函数薄板在x,y方向都只有一个正弦半波，最大挠度发生在薄板中央。（2）当m=2,n=1时，自然频率为振形函数薄板在x有两个正弦半波，y方向有一个正弦半波。——称为节线，在薄板振动时保持静止。（3）当m=1,n=2时，得到（4）当m=2,n=2时，有同理可以求得其他振形函数的频率及振形函数总挠度表达式（5）总挠度展成振形函数的级数利用初始条件确定为求系数其中则有上式即为四边简支矩形薄板自由振动的完整解答。得挠度为如果矩形薄板边界不全为简支边，则不能得到自由振动的完整解答。虽然不能得到自由振动的完整解答，但可以得到振形函数微分方程的非零解，从而求得自然频率。例如：设初速度初挠度当矩形薄板有两对边为简支边时(其余两边可以是任意边)，虽然不可能求得自由振动的完整解答，但是可以求得振形微分方程的函数形式的非零解，从而求得薄板自然频率的精确值。设简支边为§15－3两对边简支矩形薄板的自由振动取振形函数振形函数满足两个简支边界的边界条件。得常微分方程特征方程可得四个特征根考虑y=0,y=b两个边为自由边的情况：设振形函数可以看成简支梁，由结构力学中简支梁的振动方程取平衡位置为坐标原点则有当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有现讨论特征根则微分方程的解可以写成其中振形函数若（在少数情况下）则四个特征根都是实根取振形函数不论在哪一种情况下，都可由y=0及y=b处的四个边界条件得出C1至C4的一组四个齐次线性方程。对于薄板的任何振动，振形函数W必须具有某一个非零解，因而系数C1至C4不能都等于零。则上述齐次线性方程组的系数行列式等于零，从而得到一个计算自然频率的方程。令系数行列式等于零算例1：有一矩形薄板边界条件得齐次方程组展开整理，则有其中k为量纲一的系数，依赖于边长比值a/b。对于一定的a和b，可取用试算法求得的实根，即可求得自然频率。最低频率16.2517.3318.9020.5323.6530.6751.67k3.02.01.51.251.00.750.5a/b计算较繁琐，工程中一般采用近似解法（差分法、能量法）。算例2：两对边固定，两对边简支边矩形薄板，边长分别为a,b，求固有频率方程，当a=b时，求最低固有频率。取振形函数特征方程可得四个特征根当两边不全是自由边，故取正实数、，四个根为±、±i振形函数考虑对称性，振形函数（包括挠度）应是y的偶函数考虑另外两个边的边界条件固有频率方程取a=b，m=1§15－4圆形薄板的自由振动同样，取其解答为无数多个简谐振动的叠加得振形微分方程采用极坐标形式在极坐标中，薄板的自由振动微分方程与直角坐标系相同其中m—各简谐振动的频率Wm—相应的振形函数考虑其中任一个改写为即微分方程的解取振形函数其中这一微分方程的解（1）如果薄板具有圆孔，则在外边界及孔边各有两个边界条件，可得出C1、C2、C3、C4的一组齐次线性方程。命这一方程组的系数行列式等于零，可以得出计算频率的方程，从而求得各阶的自然频率。利用板边的两个边界条件，即可得到C1及C3的一组两个齐次线性方程，令方程组的系数行列式等于零，则可得出计算自然频率的方程。振形函数为（2）若薄板中心无孔，利用中心条件§15－6用能量法求自然频率速度能量法——瑞利法。瑞利提出的一种计算薄板最低自然频率的近似方法，采用的是能量法。取平衡位置为零势能位置，当薄板距平衡位置最远时，即W为最大或最小时，有设薄板以某一频率及振形函数W(x,y)进行自由振动，则瞬时挠度可以表示为设薄板以经过平衡位置为初瞬时（t=0），且取平衡位置为坐标原点，则其中将B并入W(x,y)。此时薄板的动能为零，而形变势能达到最大值。最大形变势能为一、基本原理由能量守恒在没有自由边界时当经过平衡位置时速度达到最大值形变势能为零，动能达到最大值因此，若设定薄板的振形函数W(x,y)使其满足边界条件，并尽可能地符合频率的最低振形，根据这个振形函数计算最大势能和最大动能，令上式成立，即可求得最低频率。但通常确定的振形函数不一定是相应于最低频率的振形，求得的最低频率不够精确，为此，里茨提出一种求得较精确最低频率的方法。取振形函数这是Cm的一组m个齐次线性方程。为了W具有非零解，必须Cm具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就得出求解自然频率ω的方程。在理论上，设定的振形函数只须满足位移边界条件，而不一定要满足内力边界条件，因为内力边界条件是平衡条件，而在能量法中，已经用能量关系代替了平衡条件。但是，如果能够同时满足一部分或全部内力边界条件，则求得的最低频率可以具有较好的精度。选择系数Cm，使得为最小，即里茨的改进方法：二、圆形薄板采用极坐标 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 。取振形函数最大形变势能夹支边时最大动能对于轴对称的自由振动全部都是夹支边时最大动能讨论：（2）对于用肋条加强了的薄板，即所谓加肋板，仍然可以用能量法求得最低自然频率。计算的步骤同上，但须按照肋条的弯曲刚度和设定的振形函数W，求出各个肋条的最大形变势能，计入Vmax，还须按照肋条的质量分布和设定的W，求出各个肋条的最大动能，计入Emax，然后进行计算。（1）当薄板上尚有集中质量随同薄板振动时，还须按照设定的振形函数W，求出集中质量的最大动能，计入Emax，然后进行计算。§15－7能量法求自然频率举例例一：夹支边矩形薄板，用瑞利法求最低频率。取振形函数边界条件由考虑正方形薄板精确解为例二：两对边简支，两对边夹支边矩形薄板，用能量法求最低固有频率。取振形函数边界条件由例三：三边简支，一边自由矩形薄板，用能量法求最低频率。取振形函数最大势能最大动能满足位移边界条件由例四：上例中，若在自由边的中点还有一个集中质量M随着的薄板振动，用能量法求最低频率。取振形函数最大势能薄板最大动能由集中质量动能例五：四边简支矩形薄板，用里茨法求最低频率。取振形函数边界条件满足最大势能最大动能令方程的系数行列式等于零与精确解一致例六：半径为a的夹支边圆板，用瑞利法求最低自然频率。边界条件取振形函数满足边界条件最大动能与精确解例七：上例中，若在圆板中心还有一个集中质量M随板振动，求最低频率。与上例相同，取振形函数圆板的最大动能最大应变能集中质量最大动能薄板的瞬时挠度设平衡位置为初瞬时（t=0）将B并入W薄板的瞬时速度薄板的最大速度集中质量的最大动能系统的最大动能由能量守恒定律薄板的最大速度增加集中质量薄板的固有频率的数值降低。能量法求固有频率的基本步骤：设置振形函数W运用能量守恒定律（瑞利法）或里茨法求得固有频率计算最大应变能计算最大动能瑞利法里茨法§15－8薄板的受迫振动本节讨论薄板在动力荷载作用下的振动——受迫振动。一、受迫振动的微分方程设薄板只受横向静载而处于平衡时静荷载静挠度设薄板在动力荷载作用下进行振动动荷载瞬时挠度惯性力荷载弹性曲面微分方程式(2)-(1)注意到we与时间无关薄板的受迫振动微分方程二、一般解法设微分方程的解具有如下形式将动力荷载展为振形函数的级数比较两边Wm的系数解的形式特解板在任意瞬时的挠度为例：四边简支矩形薄板，受有动力荷载取振形函数将动力荷载展为振形函数的级数即其中挠度的表达式速度表达式挠度解答为设初始条件开始作用时，薄板是静止地处于平衡位置讨论考虑（1）它具有因子t，因而随着时间的经过而无限增大，表示共振现象将发生。当然，由于阻尼力的存在，此项振动不会无限增大，但可能增大到一定的数值而使薄板破坏。（2）当 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 薄板构件时，和设计其他种构件时一样，必须使薄板的各阶自然频率不会接近动力荷载的频率，通常是使薄板构件的最低自然频率远大于该构件所可能受到的动力荷载的频率。当