高中数学论文圆不离_三_ 方程寻根新人教B版

PAGE数学题根(13)圆不离“三”方程寻根一、三点定圆的条件“两点线，三点圆”，讲的是确定一条直线只须两点，那么确定一个圆“只须三点”吗?【例1】平面上有A，B，C三点，求作一个圆⊙O，使⊙O同时经过A，B，C三点.【分析】按圆的定义：到定点O的距离等于定长的点的集合.于是产生了“中垂线法”找圆心.【作法】(1)依次连接AB，BC.(2)分别作AB,BC的中垂线m和n.(3)设m和n相交于O,则以O为圆心,以OA为半径的⊙O为所求.【讨论】当m∩n=O时,易知OA=OB=OC.⊙O同时过A,B,C三点.因为中垂线m和n分别唯一,且m,n的交点也唯一,故符合条件的⊙O有且只有一个.当m∩n=φ，即m∥n时，A，B，C三点在同一条直线上.此时m和n的交点O不存在，则圆心O不存在，从而符合条件的圆不存在.【结论】平面上三点确定一个圆的充要条件是：这三点不在同一直线上.易知，三角形有唯一的外接圆.二、圆方程的几何式与代数式按圆的定义和距离公式，容易推得圆方程的几何形式为(x－a)2+(y－b)2=r2其中的三个参数a,b,r对应着“确定圆的三个条件”.圆心O(a，b)含两个条件，半径r只相当1个条件.将圆方程的几何式展开，得圆方程的代数式.x2+y2+Dx+Ey+F=0代数式中也含三个参数D，E，F，也对应着“确定圆的3个条件”：x的一次项的系数，y的一次项系数和常数项.所谓求圆的方程，就是确定参数组a,b,r的值或参数组D，E，F的值.【例2】已知⊙G经过原点，且在x轴正向上的截得的弦长为OA=8，在y轴负向上截得的弦长为OB=6,求圆的方程.【分析】三个条件确定一个圆，本题的三个条件到齐，故圆的方程可以确定.【解1】OA的中垂线x=4与OB的中垂线y=－3相交于G（4，-3）即得圆心G.且（半径）故所求的圆方程的几何式为（x－4）2+(y+3)2=25【解2】设圆方程的代数式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0代入已知三点的坐标O(0,0),A(8,0),B(0,－6)得方程组故所求方程的代数式为：x2+y2－8x+6y=0【点评】本题的已知条件中，所求圆的几何特征明显，故设圆方程的几何式比代数式优越.三、大千变换唯“三”不变求圆的方程，条件给定的方式千变万化，但条件的个数恒定为3.如果说，确定一个圆的基本条件是3个已知点，那么编题人的花招只不过是：把3个“点”中的某1个点，某2个点，甚至全部3个点进行条件的“等价替换”.【例3】已知圆上两点P（－2，4）和Q（3，－1），且圆在x轴上截得的弦长为6.求圆的方程.【分析】“在x轴上截得的弦长为6”这是把“第3点”进行条件等价替换的结果.因为已知点有两个，故考虑圆方程的代数形式.【解答】设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0(※)代入P，Q两点的坐标得在式（※）中，令y=0得：x2+Dx+F=0设其2个根分别为x1和x2,依题意有：于是得D2－4F=36（3）联立（1），（2），（3）.解得或故所求的方程由x2+y2－2x－4y－8=0或x2y2－6x－8y=0【点评】由式（3）的得出过程可知，演变后的第3个条件.最终相当于1个已知点的作用.四、圆的轨迹也需三点把圆视作轨迹图形，不管通过怎样的过程或方法而得到，其“控制条件”也是三个，其中，两个条件给圆（心）定位，一个条件确定圆（半径）的大小.【例4】设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0，且a≠1），求P点的轨迹.【分析】轨迹的控制条件有3个：点A，点B和比值a.如果其轨迹是圆，则条件A，B则（主要）给圆（心）定位，而条件“比值a”（主要）用来确定圆的（半径）大小.【解答】设动点P的坐标为P（x，y）由=a（a>0），得=a，化简得：（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0.整理，得：（x－c）2+y2=（）2所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，以||为半径的圆.【点评】到两定点A和B距离之比为常数a(a>0且a≠1)的点的轨迹是一个圆.圆的直径的两个端点分别是AB线段的内、外两个（比例为a）的分点.五、缺少1点便成圆系3个条件“确定”一个圆，如果缺少1个条件，则这个圆就变得“不确定”.虽是“不确定”，但还有“能确定”的部分.因为它还要经过已知的两个点.从而变成“圆系”问题.特别地，经过两已知圆交点的圆系：λ1(x2+y2+D1x+Ey+F1)+λ2(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0其中，λ1，λ2不同时为0，当λ1+λ2=0时，圆系方程确定了圆系的“根轴”——圆系公共弦所在的直线.【例5】求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x－4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程（1）过原点；（2）半径最小.【分析】所求的圆，已“满足两点”，故可先设圆系，再求出第3个参数.【解答】设所求的圆在“公共弦”的圆系中（x2+y2+2x－4y+1）+λ(2x+y+4)=0x2+y2+2(1+λ)x+(λ－4)y+(1+4λ)=0(1)此圆过原点时，则有1+4λ=0,即，所求方程为(2)将圆系方程化为几何式：，当时，圆的半径最小，此时圆方程为【点评】“不足3个条件”的圆，可先按已知条件设立圆系，然后再找具体条件来确定具体的圆.这实际上提供了一个“逐步满足条件”的求圆步骤.六、高考出题“三点变戏”关于圆的高考题，按“三点替换法”设计，可得到不同层次的考题难度，其操作办法也很有“程序”.(1)直接给出3个基本条件，就是容易题；(2)替换其中一，二个基本条件，得中档题；(3)三个基本条件全部替换，或有的条件替换较“远”，则得到高难题.当年那道求圆方程的高考压轴题，就是把三个基本条件全部替换了，而且有一条件“替换较远”.【例6】设圆⊙P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.【分析】确定圆的条件给得非常明白，并开出了①，②，③的 清单 安全隐患排查清单下载最新工程量清单计量规则下载程序清单下载家私清单下载送货清单下载 .解题的功夫在于如何将这3个条件分别转化为圆方程的3个参数：在圆的几何式中是参数a,b,r；在圆的代数式中是参数D，E，F.由于题设中的几何特征明显，故优先考虑圆方程的几何形式(x－a)2+(y－b)2=r2【解析】设圆的圆心为P(a，b)，半径为r.易知点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故得等式r2=2b2.①又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1②又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1，其等号成立的条件是a=b③【插话】至此，关于a、b、r的三个方程全部到齐，联立①、②、③即可解出a、b、r的值，其具体过程如下.当且仅当a=b时，关于d的不等式中的等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或.又由r2=2b2知r=.于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.【点评】高考命题人把三个参数a、b、r当作“谜底”深藏到三个“替换条件”中去，而解题人却把三个“替换条件”转变成关于a、b、r“三元三列方程组”，从而把三个参数a、b、r找了回来.这就是高考命题的“技术”，这就是考场解题的“能力”.