难点9 指数函数、对数函数问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)=log2
,F(x)=
+f(x).
(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n)>
;
(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解.
●案例探究
［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的
分析
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能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.
错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以
,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=
=
3log8x2,所以OC的斜率：k1=
,
OD的斜率：k2=
，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=
log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=
,则点A的坐标为(
，log8
).
［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(
)x(0
表
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达式；
(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.
命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级
题目.
知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.
错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.
技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.
解：(1)由题意知：an=n+
,∴bn=2000(
)
.
(2)∵函数y=2000(
)x(0bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即(
)2+(
)－1>0,解得a<－5(1+
)或a>5(
－1).∴5(
－1)1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )
二、填空题
3.(★★★★★)已知函数f(x)=
.则f-－1(x－1)=_________.
4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=
ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有
.
三、解答题
5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式；
(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.
6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断
［f(x1)+f(x2)］与f(
)的大小，并加以证明.
7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.
8.(★★★★)设不等式2(log
x)2+9(log
x)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2
)(log2
)的最大、最小值.
参考答案
难点磁场
解：(1)由
>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则
F(x2)－F(x1)=(
)+(
)
,
∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.
因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.
(2)证明：由y=f(x)=
得：2y=
,
∴f－1(x)=
,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R.
当n≥3时，f-1(n)>
.
用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明：∵F(0)=
,∴F－1(
)=0,∴x=
是F－1(x)=0的一个根.假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠
),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠
).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.
歼灭难点训练
一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)
①
又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1)
②
由①②得：g(x)=
,h(x)=lg(10x+1)－
.
答案：C
2.解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数.
答案：B
二、3.解析：容易求得f- －1(x)=
,从而：
f－1(x－1)=
答案：
4.解析：由题意，5分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=
ln2.设再过t分钟桶1中的水只有
,则y1=ae－n(5+t)=
,解得t=10.
答案：10
三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.
∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga
,∴g(x)=loga
.
(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;
=
>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga
|=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组
的解.
由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤
,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤
,
∴所求a的取值范围是0＜a≤
.
6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(
)2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，
当a>1时，有logax1x2≤loga(
)2,
∴
logax1x2≤loga(
)，
(logax1+logax2)≤loga
,
即
EMBED Equation.3 f(x1)+f(x2)］≤f(
)(当且仅当x1=x2时取“=”号)
当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga(
)2,
∴
(logax1+logax2)≥loga
,即
［f(x1)+f(x2)］≥f(
)(当且仅当x1=x2时取“=”号）.
7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.
(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+
≤k≤2(1+
);
(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－
)≤k≤1－
.x综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2
，最小值为1+
；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－
，最小值为2－2
.
8.解：∵2(
x)2+9(
x)+9≤0
∴(2
x+3)(
x+3)≤0.
∴－3≤
x≤－
.
即
(
)－3≤
x≤
(
)
∴(
)
≤x≤(
)－3,∴2
≤x≤8
即M={x|x∈［2
,8］}
又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.
∵2
≤x≤8,∴
≤log2x≤3
∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
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