北京四中高中数学 任意角的三角函数提高知识讲解 新人教A版必修1

此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。PAGE任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3．会应用三角函数的定义解决相关问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。【要点梳理】知识点一：三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；(2)叫做的余弦,记做,即；(3)叫做的正切,记做,即.要点诠释：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。知识点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，其中，其中，其中要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.知识点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值；（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】（1），，，或，，，（2）或【解析】（1）。若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则，，，。若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则，，，。（2）因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点。则（a≠0）。若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以，，。若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。【总结升华】三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。举一反三：【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.【解析】由题设知，，所以，得，从而，解得或.当时，，；当时，，；当时，，.【高清课堂：任意角的三角函数385947例2】【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。【答案】或【解析】y=|2x|，取点P（1，2），或类型二：三角函数的符号例2．（1）判断的符号；（2）若sin=―2cos，确定tan的符号；（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；（4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？（5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？【答案】（1）＞（2）＜（3）＜（4）四（5）三【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。（2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。（3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。（4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，又cos＞0，所以为第一或第四象限角，所以为第四象限角。（5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），所以（k∈Z）。当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。综上知，角终边在第三象限。【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。举一反三：【变式1】求函数的值域。【答案】{－1，3}【解析】由题意知，角x的终边不在坐标轴上。当x是第一象限角时，；当x是第二象限角时，；当x是第三象限角时，；当x是第四象限角时，，故函数的值域为{－1，3}。【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。类型三：诱导公式一的应用例3．（1）；（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）+sin750°+tan405°。【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。【答案】（1）（2）2【解析】（1）原式。（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=.【总结升华】在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。举一反三：【变式1】设，其中a，b，，都是非零实数，若f（2020）=1，求f（2020）的值。【答案】1【解析】由，即，得。故。类型四：三角函数线的应用例4．若，求证：.【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 。【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：在Rt△POM中，sin=MP；在Rt△AOT中，tan=AT。又根据弧度制的定义，有。易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，即，即sin＜＜tan。【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：（1）；（2）。【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。【答案】（1）（2）【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。故满足条件的角的集合为。（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。故满足条件的角的集合为。【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。举一反三：【变式1】求满足的的取值范围。【答案】【解析】作直线与单位圆交于A、B两点，连接OA、OB，阴影部分便是角的终边范围，如图所示。终边在OA上的最小正角为，终边在OB上的最小正角为。∴角的集合为。类型五：三角函数定义域的求法例6．求函数的定义域【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。【答案】【解析】∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），∴（k∈Z）。①又9－x2≥0，∴－3≤x≤3。②求①与②的交集如图所示，得或。故函数的定义域为。【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意tan本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求解。举一反三：【变式1】求函数的定义域。【答案】【解析】由题意得。由图可知：sinx≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；tanx≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。∴该函数的定义域为：。【高清课堂：任意角的三角函数385947例6】【变式2】求下列函数的定义域（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1），（2），