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高考数学(理)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第1章 第3讲简单的逻辑联结词

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高考数学(理)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第1章 第3讲简单的逻辑联结词第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 全称量词和存在量词1.全称量词有:所有的,任意一个,任给一个,用符号“∀”表示;存在量词有:存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示.2.含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:∀x∈M,p(x).3.含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:∃x0∈M,p(x0).考点2 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)...

高考数学(理)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第1章 第3讲简单的逻辑联结词
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 全称量词和存在量词1.全称量词有:所有的,任意一个,任给一个,用符号“∀” 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示;存在量词有:存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示.2.含有全称量词的命 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:∀x∈M,p(x).3.含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:∃x0∈M,p(x0).考点2 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x0∈M,綈p(x0)∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,綈p(x)[必会结论]1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判定pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”;“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.3.“且”“或”“非”三个逻辑联结词,对应着集合中的“交”“并”“补”,所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题p和綈p不可能都是真命题.()(3)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.()(4)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.()答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.已知命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则綈p为()A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1B.∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1答案 B解析 全称命题的否定是特称命题,选B项.3.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数答案 B解析 特称命题的否定规律是“改变量词,否定结论”,特称命题的否定是全称命题,选B项.4.[2018·重庆模拟]已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)答案 D解析 依题意,命题p是真命题.由x>2⇒x>1,x>1x>2,知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故命题q是假命题,则綈q是真命题,p∧(綈q)是真命题.故选D.5.[课本改编]命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5答案 C解析 命题“任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为C.板块二 典例探究·考向突破考向 含有逻辑联结词的命题的真假例 1 [2017·山东高考]已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a20恒成立,∴p为真命题,綈p为假命题.∵当a=-1,b=-2时,(-1)2<(-2)2,但-1>-2,∴q为假命题,綈q为真命题.根据真值表可知p∧(綈q)为真命题,p∧q,(綈p)∧q,(綈p)∧(綈q)为假命题.故选B.触类旁通“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式;(2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.【变式训练1】 在一次驾照考试中,甲、乙两位学员各试驾一次.设命题p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为()A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q答案 A解析 命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况:“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功,乙没有试驾成功”“乙试驾成功,甲没有试驾成功”.故选A.考向 全称命题、特称命题命题角度1 全称命题、特称命题的否定例 2 [2016·浙江高考]命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n0 B.∀x∈N,x2>0C.∃x0∈R,lnx0<1 D.∃x0∈N*,sin=1答案 B解析 ex>0对∀x∈R恒成立,A为真;当x=0时,x2>0不成立,B为假;存在01(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.解 由关于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知00的解集为R,则解得a>.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,故或解得a≥1或04.核心规律1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解.2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与綈p→真假相反.3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.满分策略1.判断命题的真假要注意:全称命题为真需证明,为假举反例即可;特称命题为真需举一个例子,为假则要证明全称命题为真.2.命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解题视点 解决此题的关键是弄清实际问题的含义,结合数学的逻辑分析去判断真假.解析 由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.答案 D答题启示 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.跟踪训练a,b,c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c不是年龄最小,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄由小到大依次是________.答案 c,a,b解析 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它们的逆否命题来看.由命题A可知,当b不是最大时,则a是最小,所以c最大,即c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“若a的年龄不是最小,则b的年龄是最大”为真,即b>a>c.同理,由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c,所以a,b,c三人的年龄大小顺序是:b最大,a次之,c最小.板块四 模拟演练·提能增分[A级 基础达标]1.[2018·沈阳模拟]命题“∃x0∈∁RQ,x∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁RQ,x∈QB.∃x0∈∁RQ,x∈QC.∀x∉∁RQ,x3∈QD.∀x∈∁RQ,x3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ,x3∉Q”.2.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是()A.所有奇数的立方都不是奇数B.不存在一个奇数,它的立方是偶数C.存在一个奇数,它的立方不是奇数D.不存在一个奇数,它的立方是奇数答案 C解析 全称命题的否定是特称命题,即“存在一个奇数,它的立方不是奇数”.3.[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则()A.∀x∈Q,有x∈PB.∀x∉Q,有x∉PC.∃x0∉Q,使得x0∈PD.∃x0∈P,使得x0∉Q答案 B解析 因为P∩Q=P,所以P⊆Q,所以∀x∉Q,有x∉P.故选B.4.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,>2答案 B解析 当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题.5.[2018·湖南模拟]已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④答案 C解析 当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.由真值表知,①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C.6.[2018·浙江模拟]命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题.选D项.7.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.若a,b∈R,则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C.命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1>0”D.若“p且q”为假命题,则p,q全是假命题答案 B解析 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,所以A错误;ab≠0等价于a≠0且b≠0,所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件,B正确;命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定为“∀x∈R,x2+x+1≥0”,C错误;若“p且q”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,D错误.综上所述,故选B.8.已知p:>0,则綈p对应的x的集合为________.答案 {x|-1≤x≤2}解析 ∵p:>0⇔x>2或x<-1,∴綈p:-1≤x≤2.9.[2018·河南模拟]若命题“∃x0∈R,使得x+ax0+a+3<0”为假命题,则实数a的取值范围是________.答案 -2≤a≤6解析 由命题“∃x0∈R,使得x+ax0+a+3<0”为假命题,得命题“∀x∈R,都有x2+ax+a+3≥0”为真命题,则Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6.10.对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:甲:中国非第一名,也非第二名;乙:中国非第一名,而是第三名;丙:中国非第三名,而是第一名.竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.答案 一解析 由题可知:甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.[B级 知能提升]1.[2018·青岛模拟]下列命题中,是真命题的是()A.∃x0∈R,ex≤0B.∀x∈R,2x>x2C.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是=-1D.已知a,b为实数,则a>1,b>1是ab>1的充分条件答案 D解析 对于A,对任意x∈R,ex>0,所以A为假命题;对于B,当x=2时,有2x=x2,所以B为假命题;对于C,=-1的充要条件为a+b=0且b≠0,所以C为假命题;对于D,当a>1,b>1时,显然有ab>1,充分性成立,当a=4,b=时,满足ab>1,但此时a>1,b<1,必要性不成立,所以“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件,所以D为真命题.故选D.2.已知命题p:∀x>0,x+≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),2x0=,则下列判断正确的是()A.p是假命题B.q是真命题C.p∧(綈q)是真命题D.(綈p)∧q是真命题答案 C解析 p:∵x>0,∴x+≥2=4,∴p为真命题.q:当x>0时,2x>1,∴q为假命题.∴p∧(綈q)是真命题.故选C.3.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)真、綈p真,则实数m的取值范围是________.答案 (1,2)解析 由于綈p真,所以p假,则p∧q假,又q∨(p∧q)真,故q真,即命题p假、q真.当命题p假时,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解得-21.所以所求的m的取值范围是10恒成立,q:函数y=3x-a在x∈[0,2]上有零点,如果(綈p)∧q为假命题,綈q为假命题,求a的取值范围.解 若p为真命题,则有或a=0,即0≤a<4,故当p为真命题时,0≤a<4.若q为真命题时,方程3x-a=0在x∈[0,2]上有根.∵当x∈[0,2]时,有1≤3x≤9,∴1≤a≤9,即当q为真命题时,1≤a≤9.∵(綈p)∧q为假命题,∴綈p,q中至少有一个为假命题.又∵綈q为假命题,∴q为真命题.∴綈p为假命题,p为真命题.∴当p,q都为真时,即1≤a<4.故所求a的取值范围是[1,4).5.已知m∈R,命题p:对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立;命题q:存在x∈[-1,1],使得m≤ax成立.(1)若p为真命题,求m的取值范围;(2)当a=1,若p且q为假,p或q为真,求m的取值范围.解 (1)∵对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,∴(2x-2)min≥m2-3m.即m2-3m≤-2.解得1≤m≤2.因此,若p为真命题时,m的取值范围是[1,2].(2)∵a=1,且存在x∈[-1,1],使得m≤ax成立,∴m≤x,命题q为真时,m≤1.∵p且q为假,p或q为真,∴p,q中一个是真命题,一个是假命题.当p真q假时,则解得1
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