线性代数16方阵的行列式

第一章矩阵§1.6方阵的行列式回忆:①§1.5一开始提出的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .③习题1(B)第17题:a11a12a21a22A=可逆②一阶方阵a可逆a0.a11a22a12a210a11a12a21a22D=0.第一章矩阵§1.6方阵的行列式§1.6方阵的行列式历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明G.W.Leibniz[德](1646.7.1~1716.11.14)S.Takakazu[日](1642?~1708.10.24)第一章矩阵§1.6方阵的行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21当a11a22a12a210时,a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.消元法由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 定义即一.行列式(determinant)的定义主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11a12a21a22记D=,b1a12b2a22D1=,a11b1a21b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21例1解二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．第一章矩阵§1.6方阵的行列式例2.124221342=14.第一章矩阵§1.6方阵的行列式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式(minor),记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式(cofactor).例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a11a13a14a21a23a24a41a43a44M32=,代数余子式A32=(1)3+2M32=M32.a11a12a13a21a22a23a31a32a33第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11的余子式:a22a23a32a33M11=代数余子式:A11=(1)1+1M11a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13a21a22a31a32a11a12a13a21a22a23a31a32a33第一章矩阵§1.6方阵的行列式3阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12a13a21a22a23a31a32a33|A|=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11A11+a12A12+a13A13=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31.第一章矩阵§1.6方阵的行列式补充. 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法(Principleofmathematicalinduction)1.第一数学归纳法原理:则P对于任意的自然数nn0成立.设P是一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立.②当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,第一章矩阵§1.6方阵的行列式2.第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立,②由“n0nk时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=a11A11+a12A12+…+a1nA1n假设n1阶行列式已经定义,=a11(1)1+1M11+a12(1)1+2M12+…+a1n(1)1+nM1nn1阶行列式(LaplaceExpansionofDeterminants)P.-S.Laplace[法](1749.3.23~1827.3.5)则定义n阶行列式说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为第一章矩阵§1.6方阵的行列式例2.124221342=14.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例3.下三角形(lowertriangular)行列式a110…0a21a22…0…………an1an2…ann=a11a22…ann.例4.上三角形(uppertriangular)行列式a11a12…a1n0a22…a2n…………00…ann=a11a22…ann.第一章(determinant)教学目的和要求：1、理解行列式的性质。2、掌握行列式的计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。3、理解伴随矩阵的定义及性质。4、了解行列式的应用。本节重难点：重点是掌握行列式的计算方法；伴随矩阵的定义及性质；难点是伴随矩阵的性质；第六节行列式（2）第一章矩阵§1.6方阵的行列式二.行列式的性质性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则D=0.a11a12a21a22例如=a11a22a12a21,a12a11a22a21=a12a21a11a22.1122D==1122=DD=0.第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).现学现用(1)设A为n阶方阵,则det(A)=____det(A).(1)n(2)a+bc+du+vx+y=[].①acux+bdvy,②acux+aduy+bcvx+bdvy.第一章矩阵§1.6方阵的行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则D=0.a11…a1i…ka1i…a1na21…a2i…ka2i…a2n…………………an1…ani…kani…ann=k0=0.=ka11…a1i…a1i…a1na21…a2i…a2i…a2n…………………an1…ani…ani…ann例第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1na21…(a2i+ka2j)…a2j…a2n…………………an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1na21…a2i…a2j…a2n…………………an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1na21…ka2j…a2j…a2n…………………an1…kanj…anj…ann第一章矩阵§1.6方阵的行列式例1.124221342(2)104=-2613102100=-2(7)231352100=14201312100=-14210321=14.4100=-26731014(3)注:本题也可以用定义或对角线法则计算.2142-214-32=-第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.|AT|=|A|.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.A.L.Cauchy[法](1789.8.21~1857.5.23)第一章矩阵§1.6方阵的行列式定理1.7.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n=…=an1An1+an2An2+…+annAnn=a11A11+a21A21+…+an1An1=a12A12+a22A22+…+an2An2=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理1.8.设D=|[aij]|,则aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克罗内克记号ij=1,i=j,0,ij.L.Kronecker[德](1823.12.7~1891.12.29)第一章矩阵§1.6方阵的行列式三.行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.例2解按对角线法则，有第一章矩阵§1.6方阵的行列式2.按某一行(列)展开—降阶.例2例3　计算解　　评注　本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．练习　计算（见P5225（3））第一章矩阵§1.6方阵的行列式(其中n2,xa).Dn=xa…aax…a………aa…x例4.计算n阶行列式3.利用初等变换化为三角形.第一章矩阵§1.6方阵的行列式Dn=xa…aax…a………aa…xx+(n1)aa…ax+(n1)ax…a………x+(n1)aa…x=解:…×(1)…x+(n1)aaa…aa0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa==[x+(n1)a](xa)n1.练习计算解法一解法二第一章矩阵§1.6方阵的行列式4.递推/归纳.(未写出的元素都是0).例5.计算2n阶行列式D2n=ababcdcd…………第一章矩阵§1.6方阵的行列式解:D2n==a............aabb0cc0dd00d...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d...…0bb00cc0….........……第一章矩阵§1.6方阵的行列式=a............aabb0cc0dd00d...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1D2=(adbc)n.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例6.证明n阶级(n2)范德蒙行列式Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Alexandre-ThéophileVandermondeBorn:28Feb1735inParis,FranceDied:1Jan1796inParis,France第一章矩阵§1.6方阵的行列式四.行列式的应用设A=[aij]nn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵A*=A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann为方阵A的伴随矩阵(adjoint).1.伴随矩阵与逆矩阵第一章矩阵§1.6方阵的行列式例7.求A=abcd的伴随矩阵.解:A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.A*=A11A21A12A22=dbca.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例8.设A为方阵,A*为其伴随矩阵.证明:AA*=A*A=|A|E.证明:AA*=a11…a1nan1…ann……A11…An1A1n…Ann……=nna1kA1k…a1kAnkk=1k=1nna1kA1k…a1kAnkk=1k=1……=|A||A|….第一章矩阵§1.6方阵的行列式定理1.9.方阵A可逆的充分必要条件是|A|0.当|A|0时,有A1=|A|1A*.推论.设A,B为方阵,若AB=E(或BA=E),则B=A1.事实上,AB=E|A|0A可逆B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1.A非奇异(nonsingular)第一章矩阵§1.6方阵的行列式例9.求下列方阵的逆矩阵.(1)A=1234,123221343(2)B=.解:(1)A1=|A|1A*=214231.(2)|B|=20,B1=|B|1B*B11=(1)1+12143=2,B21=6,B31=4,B12=3,B22=6,B32=5,B13=2,B23=2,B33=2.=21264365222.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例10.设方阵A满足A2+3AE=0.证明:A及A2E可逆,并求它们的逆矩阵.定理1.10.分块对角矩阵A=diag(A1,A2,…,As)可逆的充分必要条件是:A1,A2,…,As都可逆.当A1,A2,…,As都可逆时,A1=diag(A11,A21,…,As1).类似题P5434例10（P474）已知，求A-12.克拉默法则(Cramer’sRule)第一章矩阵§1.6方阵的行列式G.Cramer[瑞士](1704.7.31~1752.1.4)C.Maclaurin[英](1698.2~1746.6.14)第一章矩阵§1.6方阵的行列式可以表示为Ax=b.则线性方程组x1x2…xn记x=,b1b2…bmb=,A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn,下面讨论A为n阶方阵的情形.第一章矩阵§1.6方阵的行列式对于n元线性方程组记D=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann,D1=b1a12…a1nb2a22…a2n…………bnan2…ann,D2=a11b1…a1na21b2…a2n…………an1bn…ann,…,Dn=.a11a12…b1a21a22…b2…………an1an2…bn第一章矩阵§1.6方阵的行列式定理1.11.设A为n阶方阵,|A|0,则方程组有唯一解:Ax=b,x1=D1Dx2=D2D,…,xn=DnD.证明:|A|01DA*bx=A1b==1DA11…An1A1n…Ann……b1bn…x1xn…总结(1)行列式的6个性质(2)计算行列式常用方法：利用定义;利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．作业Ｐ５３　33，３４　　第一章矩阵§1.6方阵的行列式例6.证明n阶级(n2)范德蒙行列式Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Alexandre-ThéophileVandermondeBorn:28Feb1735inParis,FranceDied:1Jan1796inParis,France第一章矩阵§1.6方阵的行列式=111…10a2a1a3a1…ana10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则证明:当n=2时,D2=(a2a1).Dn=11…1a1a2…ana12a22…an2…………a1n-1a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第一章矩阵§1.6方阵的行列式=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2a3…an…………a2n-2a3n-2…ann-2=111…10a2a1a3a1…ana10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1