函数的奇偶性、对称性、周期试题

试卷第=page88页，总=sectionpages1515页试卷第=page99页，总=sectionpages1515页2．定义在上的函数满足．当时，,当时，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：根据可知：是周期为的周期函数，且，，所以答案为A．考点：1．函数的周期性；2．利用函数的周期性求函数值．3．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设，则下列结论中正确的是A．关于对称B．关于对称C．关于对称D．关于对称【答案】C【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以是偶函数，即与均为偶函数，其图象均关于对称，所以与的图象都关于直线对称，即的图象关于直线对称，故选C．考点：1．函数的奇偶性；2．图象平移．4．定义为R上的函数满足，，=2，则=（）A．3B．C．D．2【答案】D【解析】试题解析：∵；∴∴考点：本题考查函数的性质点评：解决本题的关键是求出函数的周期5．已知函数满足．当时，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由，从而，故的周期为6，考点：函数的性质6．设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，，则是（）.A.偶函数，但不是周期函数B.偶函数，又是周期函数C.奇函数，但不是周期函数D.奇函数，又是周期函数【答案】D【解析】试题分析：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．∴f（20+x）=-f（40+x），结合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．∴f（x）是奇函数．故选：D考点：本题考查函数的奇偶性，周期性点评：解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形，即满足f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数，函数的奇偶性，则考虑f(x)与f(-x)的关系7．设f（x）定义R上奇函数，且y＝f（x）图象关于直线x＝对称，则f（－）＝（）A．－1B．1C．0D．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得，，所以，选C.考点：函数的奇偶性及对称性.8．已知在上是奇函数,且满足,当时,,则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：，根据周期函数定义可知是周期为4的周期函数，，又根据函数是奇函数，可得=，因为，所以.故正确答案为选项A.考点：周期函数的定义和性质;奇函数定义和性质.9．已知定义在上的函数，对任意，都有成立，若函数的图象关于直线对称，则A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：由题意得，又有函数的图象关于直线对称，则函数图像关于轴对称，即，还有，得，则，故选A．考点：函数的性质．10．设偶函数对任意都有,且当时，,则（）A．10B．C．-10D．【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，所以函数是周期为6的周期函数，又，而，故，故选B．考点：函数的性质．11．函数的定义域为,若函数的周期6．当时,，当时，．则（）A．337B．338C．1678D．2012【答案】A【解析】试题分析：由已知得，，，，，，故，335+=．考点：函数周期性．考点：函数的图象、周期性、对称性．13．已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数f(x+1)的图象关于(1,0)对称，函数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：∵函数的图象关于对称，∴函数的图象关于对称，令，∴，即，∴…⑴令，∵其图象关于直线对称，∴，即，∴…⑵由⑴⑵得，，∴…⑶∴，由⑵得∴；∴A对；由⑶，得，即，∴B对；由⑴得，，又，∴，∴C对；若，则，∴，由⑶得，又，∴，即，与题意矛盾，∴D错.考点：函数的图象与图象变化.15．设是定义在上且以5为周期的奇函数，若则的取值范围是().A、B、C、（0，3）D、【答案】B【解析】试题分析：由题意，得:,所以，即，，，.考点：函数的奇偶性、周期性.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）16．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x＋8）＝f（x）＋f（4），且x∈[0,4]时，f（x）＝4－x，则f（2015）的值为________．【答案】3【解析】试题分析：因为定义在上的偶函数满足对任意，都有，令，则，故所以满足对任意，都有，故函数的周期所以故答案为3．考点：函数的周期性和奇偶性．18．定义在实数集R上的函数满足，且，现有以下三种叙述：①8是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数。其中正确的序号是.【答案】①②③【解析】试题分析：由，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由，得的图像关于直线对称；由与，得，即，即函数为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.20．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为.【答案】4【解析】试题分析：SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0是R上的奇函数，SKIPIF1<0，∴，故的周期为4，∴SKIPIF1<0，∴，∴.考点：函数的对称性、奇偶性、周期性.21．定义在上的偶函数，且对任意实数都有，当时，，若在区间内，函数有6个零点，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】由得函数的周期为2．由，得，分别作出函数，的图象，设,，要使函数有6个零点，则直线的斜率，因为，所以，即实数的取值范围是．【命题意图】本题考查函数的性质、函数的零点等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归能力、运算求解能力．22．已知偶函数的图象关于直线对称，且时，，则=．【答案】【解析】试题分析：由偶函数的图象关于直线对称知：f(1-x)=f(1+x),所以，故答案为：。考点：函数的奇偶性。23．定义在上的奇函数满足，且，则_________．【答案】【解析】试题分析：由f（x+3）=-f（x），得f（x+6）=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），即函数f（x）的周期是6．所以f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=-f(0)，f（2015）=f（336×6-1）=f（-1）=-f(1)=-2．因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以根据奇函数的性质可知f（0）=0，所以0+(-2)=-2．考点：函数奇偶性的性质．24．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程，在区间[－8,8]上有四个不同的根，则______.【答案】-8【解析】试题解析：，即是一个周期为8的周期函数，又函数是奇函数，所以关于原点对称．由在上是增函数，可做函数图象示意图如图：设，因为函数图像关于轴对称，所以函数图像关于对称，所以考点：函数的性质.25．给出下列命题：①已知集合M满足，且M中至多有一个偶数，这样的集合M有6个；②函数，在区间上为减函数，则的取值范围为；③已知函数，则；④如果函数的图象关于y轴对称，且，则当时，；其中正确的命题的序号是。【答案】②③【解析】试题分析：①中满足条件的M有11个；②中，在区间上为减函数，则的取值范围为；③中，可得故；④中为偶函数，当时，，当时，，故正确的命题的序号是②③.考点：集合的概念及函数的应用【解析】试题分析：，所f（x）是周期为2的函数，故①正确；又因为当x∈[-1，1]时，，可知f（x）的图象由图像可知②正确；由图象可知f（x）=t∈[1，2]，函数在[1，2]上单调递减，所以最大值为5，最小值为4，故③错误；因为x的方程有实根，所以，因为f（x）∈[1，2]，所以∈[0，2]，故m的范围是[0，2]；⑤有图像可知当时，，故⑤错误.考点：函数的性质.27．定义在R上的函数为奇函数，对于下列命题：①函数满足；②函数图象关于点（1，0）对称；③函数的图象关于直线对称；④函数的最大值为；⑤．其中正确的序号为________．【答案】LISTNUMOutlineDefault\l3\*MERGEFORMAT①②③⑤【解析】试题分析：由得，则，所以的周期为4，则①对，由为奇函数得的图像关于点对称，则②对，由为奇函数得，令得，又，，则③对，由得，故。考点：（1）周期函数的定义，（2）奇函数的定义，（3）赋值法的应用。28．已知函数的图象的对称中心是（3,-1）,则实数．【答案】．【解析】试题分析：函数的,函数图像的对称中心是（3,-1），将函数的表达式化为，所以，所以．考点：函数的对称中心．29．已知函数与的定义域为，有下列5个命题：①若，则的图象自身关于直线轴对称；②与的图象关于直线对称；③函数与的图象关于轴对称；④为奇函数，且图象关于直线对称，则周期为2；⑤为偶函数，为奇函数，且，则周期为2。其中正确命题的序号是。【答案】①②③④【解析】试题分析:①函数关于直线对称,正确②函数图像关于直线对称的函数解析式,正确③把函数中代换得，关于轴对称.④函数关于原点对称，关于直线对称，周期正确.⑤关于原点对称，关于直线对称，周期错误考点：函数的对称性和周期性.30．若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）；（4）的图像关于直线对称；其中所有正确结论的序号是.【答案】①②③【解析】试题分析：①因为是定义在R上的奇函数，所以，则；②，，即周期为4；③因为是定义在R上的奇函数，所以，又，；④因为是定义在R上的奇函数，所以的图像关于直线对称；故选①②③.考点：函数的奇偶性、周期性.评卷人得分三、解答题（题型注释）31．（本小题满分12分）已知函数的图像过点，且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称．（1）求与的解析式；（2）若—在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）首先把代入函数中得，对任意实数都成立，则有，即，从而得函数的解析式；（2）函数在区间上是增函数，则函数的导数在此区间上为非负，分三种情况讨论即可.试题解析：（1）因，得，又有对任意实数都成立，则，即，所以,又因函数与的图像关于原点对称，则.（2）因—在[-1，1]上是增函数，所以在[-1，1]上非负，所以，解得.考点：1、函数的性质；2、导数判断函数的单调性.32．已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.（1）求证：f(x)是周期函数.（2）已知f(-4)=2，求f(2012).【答案】（1）详见解析（2）2【解析】试题分析：（1），依次推导下去，问题即可得证.（2）根据（1）推导的的周期,根据周期性求的值.试题解析：（1）证明∴,则.∴．5分∴是周期函数且6是它的一个周期．7分(2).12分考点：函数的周期性.33．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．【答案】（1）π－4.（2）4【解析】解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4.35．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)．(1)求f(2012)的值；(2)求证：函数f(x)的图像关于直线x＝2对称；(3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数，试比较f(－25)，f(11)，f(80)的大小．【答案】(1)0(2)见解析(3)f(－25)