PAGE3.1空间向量及其运算（习题课）学习目标1.熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标
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示；2.熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程一、课前准备：（阅读课本p115）复习：1.具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；具有叫单位向量.2.向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.3.实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A.；当λ＜0时，λa与A.；当λ＝0时，λa＝.4.向量加法和数乘向量运算律：交换律：a＋b＝结合律：(a＋b)＋c＝数乘分配律：λ(a＋b)＝5.①表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.②空间向量共线定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得；③推论：l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是6.空间向量共面：①共面向量：同一平面的向量.②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得.③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有7.向量的数量积：.8.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着.10.设A，B，则＝.11.向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝※动手试试1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0B.1C.2D.32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）A.B.C.D.4．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56.则（）A．－15B．－5C．－3D．－1※典型例题例1如图，空间四边形OABC中，，，点M在OA上，且OM=2MA,点为的中点，则.变式：如图，平行六面体中，，,点分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量：⑴;⑵;⑶;⑷.例2如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,点是的中点，求证：.变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，，则（）A.B.C.D.2.、（）A．B．与不平行也不垂直C.，D．以上情况都可能.3.已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对4.已知且与互相垂直，则的值是（）A..1B.C.D.5.若A(m＋1，n－1,3)，B.(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=课后作业1、已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.2、如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点.⑴求证：；⑵求与所成角的余弦；⑶求的长.
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