2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.5数学归纳法课后作业理

2019-2020年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 11.5数学归纳法课后作业理一、选择题1．(xx·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n>n2(n≥5，n∈N*)，第一步应验证(　　)A．n＝4B．n＝5C．n＝6D．n＝7 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　B解析　根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立，又n≥5，故第一步验证n＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)A．(k＋1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]答案　B解析　由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.故选B.3．(xx·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开(　　)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案　A解析　假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故选A.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)A．30B．26C．36D．6答案　C解析　∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明如下：当n＝1,2时，由以上得证．假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.5．(xx·泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　)A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k答案　C解析　因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.6．(xx·太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1答案　C解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．故选C.7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n；正方形数N(n,4)＝n2；五边形数N(n,5)＝n2－n；六边形数N(n,6)＝2n2－n.可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝(　　)A．500B．1000C．1500D．xx答案　B解析　由已知得，N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n，N(n,4)＝n2＝n2＋n，N(n,5)＝n2－n＝n2＋n，N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n，根据归纳推理可得，N(n，k)＝n2＋n.所以N(10,24)＝×102＋×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{an}满足an＋5an＋1＝36n＋18，n∈N*，且a1＝4，猜想其通项公式为(　　)A．3n＋1B．4nC．5n－1D．6n－2答案　D解析　由a1＝4求得a2＝10，a3＝16，经检验an＝6n－2.故选D.二、填空题9．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝______.答案　＋＋＋…＋解析　Sn＋1＝1＋＋＋＋…＋Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.答案　3n2－3n＋1解析　由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋[f(n－2)－f(n－3)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f(n)＝3n2－3n＋1.11．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝______.答案　解析　由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想Sn＝.12．(xx·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________．答案　13＋23＋33＋…＋n3＝2解析　由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2.三、解答题13．(xx·河南期末)设等差数列{an}的公差d>0，且a1>0，记Tn＝＋＋…＋.(1)用a1，d分别表示T1，T2，T3，并猜想Tn；(2)用数学归纳法证明你的猜想．解　(1)T1＝＝；T2＝＋＝＋＝＝＝；T3＝＋＋＝＋＋＝＝＝；由此可猜想Tn＝.(2)证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立，②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立，即Tk＝，则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋＝＋＝＝＝.即n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．14．(xx·扬州模拟)在数列{an}中，an＝cos(n∈N*)．(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．解　(1)an＝cos＝cos＝22－1，∴an＝2a－1，∴an＋1＝±，又n∈N*，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝.(2)当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1，当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2，当n＝3时，a3＝，b3＝1－＝，∴a30，即证明＋2>0，显然成立．∴n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n≥3时，anb1；当n＝2时，a2＝b2；当n≥3，n∈N*时，anS5，猜想：n≥4时，>Sn＋1.下面用数学归纳法证明：①当n＝4时，已证．②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，>Sk＋1，即>(k＋1)2，那么，n＝k＋1时，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1.综合①②，当n≥4时，>Sn＋1.16．(xx·合肥模拟)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn0，即xk＋1