定积分在生活中的应用

PINGDINGSHANUNIVERSITY院  系:  经济与管理学院 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题   目:  定积分在生活中的应用年级专业  :  11  级市场营销班学生姓名:  孙天鹏定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数f x在区间a,b上有界.①在a,b中任意插入若干个分点 ax0  x1L  xn 1xn  b,把区间 a,b分成n个小区间 0  112Ln 1n且各个小区间的长度依次为110，x,x ,x,x , ,x ,x ,xx xx2  x2x1，， xnxnxn1。②在每个小区间xi1,xi上任取一点 i，作函数f i与小区间长度xi的乘积fixi（i1,2,L,n），nn③作出和 Sfixi 。记Pmax x1,x2,L, xn 作极限limfixii 1P 0i1如果不论对 a,b怎样分法，也不论在小区间 xi 1,xi上点 i怎样取法，只要当P  0时，和S总趋于确定的极限 I，这时我们称这个极限 I为函数fx在区间a,b上的定积分（简称积分），记作bf xdx，即abxdx=I=limnxi,aff iP 0i1其中f x叫做被积函数， fxdx叫做被积 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式， x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，  a,b叫做积分区间。2．定积分的性质设函数fx和g x在a,b上都可积，k是常数，则kfx和f xgx都可积，并且性质1bkfbaxdx=k f xdx;a性质2bbbaf x g x dx= f xdx g xdxaabf xbbag x dx= f xdx-g xdx.aa性质3定积分对于积分区间的可加性设f x在区间上可积，且a，和c都是区间内的点，则不论a，和c的bbcbc相对位置如何，都有f xdx=f xdxf xdx。aab性质 4如果在区间 a,b上fb1dx=ba。x 1，则dx=baa性质 5如果在区间 a,b上f x0bxdx0ab。,则 fa性质 6如果在[a,b]上,,则m(bbmf(x)Ma)f(x)dx M(b a)a性质 7（定积分中值定理）如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少b存一点  使得3．定理f(x)dx  f()(b  a)a定理1微积分基本定理如果函数fx在区间 a,b上连续,则积分上限函数xx=f tdt在a,b上adxf tdta可导,并且它的导数是'x==f x axb.dx定理2原函数存在定理如果函数f x在区间 a,b上连续,则函数xx在x = f tdt就是faa,b上的一个原函数.定理3如果函数F x是连续函数 fx在区间 a,b上的一个原函数,则bf xdx=Fb F aa称上面的公式为牛顿 -莱布尼茨公式.二、定积分的应用1、定积分在几何中的应用（1）设连续函数 f(x)和g(x)满足条件g(x)  f(x)，x  [a,b]．求曲线y  f(x)，y  g(x)及直线x  a,x  b所围成的平面图形的面积  S．（如图1）解法步骤：第一步：在区间[a,b]上任取一小区间  [x,x  dx]，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以  [f(x)  g(x)]为高，以dx为底的矩形面积近似，于是dS  [f(x)  g(x)]dx．b第二步：在区间  [a,b]上将dS无限求和，得到  S  [f(x)  g(x)]dx.a（2）上面所诉方法是以  x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线x  (y)、x  (y)其中  (y)  (y)与直线y  c、y  d所围成的平面图形（图2）的面积为：图2d[ (y)(y)]dySc例1求由曲线ysinx，y cosx及直线x0，所围成图形的面积 A．x解（1）作出图形，如图所示．易知，在[0,]上，曲线y sinx与ycosx的交点为( ,2)；42（2）取x为积分变量，积分区间为 [0, ]．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；（3）区间[0,]上这一部分的面积 A1和区间[, ]上这一部分的面积 A244分别为A14(cosx sinx)dx，A2(sinx cosx)dx，04所以，所求图形的面积为A A1A2=4(cosx sinx)dx (sinx cosx)dx04sinx  cosx40cosx sinx2 2．422例2求椭圆x2y21的面积.ab解椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即S4S14a利用椭圆的参数方程xacostydxybsint0应用定积分的换元法 ,dx  asintdt,且当x0时,t,x a时,t0,于2是S0bsint( acost)dt424ab2sin2tdt04ab21cos2tdt024abt1sin2t2ab2402．求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割  T:a  x0  x1  xn  b划分成许多基本的小块，每一块的厚度为  xi(i  1,2,  ,n)，假设每一个基本的小块横切面积为A(xi)(i1,2,,n)，A(x)为a,b上连续函数，则此小块的体积大约是A(xi)xi，将所有的小块加起来，令T0，我们可以得到其体积：nb。VlimA(xi) xiA(x)dxT 0i 1a例2求由曲线xy4, 直线 x 1,x4,y 0绕x轴旋转一周而形成的立体体积.解  先画图形，因为图形绕  x轴旋转，所以取  x为积分变量，  x的变化区间为[1,4]  ，相应于[1，4]上任取一子区间[x,xdx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为  dx，底面积为πy2的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为ydV=πy2dx=π42dx,x于是，体积xy=4V=π4(4)2dxO1 xxdx4x1x=16π41dx1x216π114 =12π.x3.求曲线的弧长（1）设曲线yf(x)在a,b上有一阶连续导数（如下图） ,利用微元法，取x为积分变量，在 a,b上任取小区间 x,xdx，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧 MN的长度，即lMN  ds.得弧长微元为：ds MT(dx)2(dy)21(y)2dx,再对其积分，则曲线的弧长为： sbbbds1 (y)2dx1 [f(x)]2dxaaa（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线的弧长.这时弧长微元为：x(t)上t, 一段y(t)dsdxdy2dy22 t2 tdt22dtdt则曲线的弧长为sds[ (t)]2[(t)]2dt例3(1)求曲线 y2x233上从0到3一段弧的长度解  由公式  s=  b  1  y2dx  （  a  b）知,弧长为a33s=1 y2dx=001 xdx=2303 =162=14.(1x)23333(2)求摆线  x  a(t  sint),  在0  t  2  上的一段弧的长度（  a  0）．ya(1 cost)解取t为积分变量，积分区间为 [0,2 ]．由摆线的参数方程，得x  a(1  cost)，y  asint，x2  y2  a2(1  cost)2  a2sin2t  a  2(1  cost)  2a|sint|．2于是，由公式（16-13），在0  t  2  上的一段弧的长度为2s02a|sint|dt2202asintdt  4a  cost2  228a02、定积分在经济中的应用（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量 x的变动区间[a,b]上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间  [a,b]上的定积分：R(b)R(a)bR(x)dxaC(b)C(a)bC(x)dx（1）（2）ab（3）L(b) L(a)L(x)dxa例1已知某商品边际收入为0.08x（万元/t），边际成本为5（万元25/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入，总成本C，利润R(x)(x)I(x)的改变量（增量）。解  首先求边际利润L(x)  R(x)  C(x)  0.08x  25  5  0.08x  20所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：R(300)R(250)3003000.08x25)dx=150万元R(x)dx(250250C(300)C(250)300300C(x)dxdx=250万元250250L(300)L(250)3003000.08x20)dx= 100万元L(x)dx(250250（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率t2f(t)dt设某经济函数的变化率为f(t)，则称t1为该经济函数在时间间隔t2  t1[t2,t1]内的平均变化率。例2某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数：r(t) 0.080.015 t求它在开始 2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。解由于220.16 0.01t t020.16 0.02 2r(t)dt(0.08 0.015 t)dt00所以开始2年的平均利息率为2r(t)dtr00.080.0120.09420例3某公司运行t（年）所获利润为 L(t)（元）利润的年变化率为L(t) 3105 t 1（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解由于8835 (t 1)283  38105L(t)dt3 105 t 1dt 2 1033所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为8L(t)dt5（元/年）37.61083即在这5年内公司平均每年平均获利7.6 105元。（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t（年）时的收入为f(t)（万元），年利率为r，即贴现率是f(t)ert ，则应用定积分计算，该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的增量brtndt。为 f(t)ea设某工程总投资在竣工时的贴现值为  A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为  r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到  A，即使关系式Trtdt Aae0成立的时间 T（年）称为该项工程的投资回收期。例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为，求该工程的投资回收期。解这里A1000，a 200，r0.08，则该工程竣工后 T年内收入的总贴现值为T0.08tdt2000.08tT2500(1 e0.08T)200ee000.08令 2500(1 e0.08T)=1000，即得该工程回收期为1ln(110001T)ln0.6=（年）0.0825000.083、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程  s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即bsv(t)dta例1、一辆汽车的速度一时间曲线  如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：3t,0t10,v(t)30,10t401.5t90,40 t 60.因此汽车在这 1min  行驶的路程是：s10[4030dt60( 1.5t90)dt3tdt104003t2|10030t|1040(3t290t)|40601350(m)24答：汽车在这 1min行驶的路程是 1350m.总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃  .