PAGE1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数eq\a\vs4\al\co1(双基达标 限时20分钟)1．在下列结论中，正确的有( )．(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A．0个B．2个C．3个D．4个解析 分别举反例：(1)y＝lnx． (2)y＝eq\f(1,x)(x>0)．(3)y＝2x. (4)y＝x2，故选A.答案 A2．函数y＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调减区间是( )．A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)解析 ∵y＝eq\f(1,2)x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－eq\f(1,x)，令y′<0，即x－eq\f(1,x)<0，解得：00，∴00.答案 (0，＋∞)6．已知x>1，证明：x>ln(1＋x)．证明 设f(x)＝x－ln(1＋x)(x>1)，f′(x)＝1－eq\f(1,1＋x)＝eq\f(x,1＋x)，由x>1，知f′(x)>0.∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝1－ln2>0，即f(1)>0.∵x>1，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)．eq\a\vs4\al\co1(综合提高 限时25分钟)7．当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(2,x)的单调递减区间是( )．A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(eq\r(2)，＋∞)D．(0，eq\r(2))解析 f′(x)＝1－eq\f(2,x2)＝eq\f(x2－2,x2)＝eq\f(x－\r(2)x＋\r(2),x2).由f′(x)<0且x>0得00时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．答案 D9．使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围是________．解析 ∵y′＝cosx＋a>0，∴a>－cosx，对x∈R恒成立．∴a>1.答案 (1，＋∞)10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析 ∵f(x)＝x2＋2xf′(x)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2×1＋2f(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝2×(－2)＝－4.答案 －411．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．解 f′(x)＝3x2＋a.∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，令f′(x)>0，则3x2－75>0，解得x>5或x<－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．12．(创新拓展)求下列函数的单调区间，并画出大致图象：(1)y＝x＋eq\f(9,x)； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2.解 (1)函数y＝x＋eq\f(9,x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．∵y＝x＋eq\f(9,x)，∴y′＝1－eq\f(9,x2).当y′＞0，即x＞3或x＜－3时，函数y＝x＋eq\f(9,x)单调递增；当y′＜0，即－3＜x＜0或0＜x＜3时，函数y＝x＋eq\f(9,x)单调递减．故函数y＝x＋eq\f(9,x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．函数y＝x＋eq\f(9,x)的大致图象如图(1)所示．(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞)).∵y＝ln(2x＋3)＋x2，∴y′＝eq\f(2,2x＋3)＋2x＝eq\f(4x2＋6x＋2,2x＋3)＝eq\f(22x＋1x＋1,2x＋3).当y′＞0，即－eq\f(3,2)＜x＜－1或x＞－eq\f(1,2)时，函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；当y′＜0，即－1＜x＜－eq\f(1,2)时，函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).函数y＝ln(2x＋3)＋x2的大致图象如图(2)所示.
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