湖南省长沙市长郡中学2020届高三数学理科第六次月考试卷时量120分钟总分150分选择题（每小题的
答案
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是唯一的。每题5分，共50分）：若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则的值等于（）A．B．C．D．，则、的值分别为（）A.和6B.7或－6C.6和－7D.－6和7直线的倾斜角为（）A．B．C．D．在中，设条件p：，条件q：是等边三角形，则条件p是条件q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为（）A．30°B．60°C．D．“一个几何体在三个两两垂直的平面上的射影是三个全等的圆”是“这个几何体是球”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件设
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示复数z=x+yi(x、y∈R)的点Z（x，y）位于不等式组确定的平面区域，对于任意实数a，则表示复数的点W一定位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限在（x－）2020的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（）F.ABA.23008B.23009C.-23008D.-23009我国发射的神舟5号飞船开始运行的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，测得近地点距地面200公里，远地点距地面350公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大视角为（）A．B．C．D.．定义域和值域均为［-4，4］的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，下列命题正确的是A.方程f［g(x)］=0有且仅有三个根B.方程g［f(x)］=0有且仅有三个根C.方程f［f(x)］=0有且仅有两个根D.方程g［g(x)］=0有且仅有两个根二、填空（每题4分，共20分）：若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是。已知p>0,q>0，p,q的等差中项为,且x＝p＋,y＝q＋，则x＋y的最小值为___．已知是定义在实数集上的函数，且=.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望Eξ为____________设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数均成立，则称f(x)为“F型函数”，给出下列函数：①f(x)=0；②f(x)=x3；③f(x)=(sinx+cosx)；④；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2，均有≤，其中是“F型函数”的序号为___________xyoπ1三、解答：（本小题满分12分）已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数，其图象如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程的解.（本小题满分12分）交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望。（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，点M、N分别在棱PD、PC上，且（1）求证：PC⊥AM：（2）求证：PC⊥平面AMN；（3）求二面角B－AN－M的大小．（本小题满分14分）数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足2kSn－（2k＋1）Sn－1＝2k（常数k>0，n＝2,3,4，…）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设数列{an}的公比为f（k），作数列{bn},使b1＝3,bn＝f（）（n＝2,3,4，…）求数列{bn}的通项
公式
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；（3）设cn＝bn－2，若存在m∈N*,使（cmcm＋1＋cm＋1cm＋2＋…＋cncn＋1）<,试求m的最小值．（本小题满分14分）如图，圆O：x2+y2=16与x轴交于A、B两点l1、l2是分别过A、B点的圆O的切线，过此圆上的另一个点P（P点是圆上任一不与A、B重合的点）作此圆的切线，分别交l1、l2于C、D点，且AD、BC两直线的交点为M.（Ⅰ）当P点运动时，求动点M的轨迹方程；（Ⅱ）判断是否存在点Q（a，0）（a>0），使得Q点到（I）中轨迹上的点的最近距离为？若存在，求出所有这样的点Q；若不存在，请说明理由.82615980.(14分).已知函数f（ｘ）＝ (1)求函数的定义域;(2)确定函数f（ｘ）在定义域上的单调性,并证明你的结论；(3)若当ｘ>０时，f（ｘ）＞恒成立,求正整数k的最大值[参考答案]一、AADCDBBCBA二、且、5、、、①④⑤三、16、解：（1）当时，函数，观察图象易得：，即时，函数，由函数的图象关于直线对称得，时，函数.∴.（2）当时，由得，；当时，由得，.∴方程的解集为17、解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和，则ξ可能取的值为2，6，10.（2分）且P(ξ=2)=P(ξ=6)=P(ξ=10)=（8分）∴Eξ=2×+6×+10×==，（9分）又设η为抽奖者获利的可能值，则η=ξ-5，（10分）所以抽奖者获利的数学期望为Eη=E(ξ-5)=Eξ-5=-5=-（12分）答：抽奖人获利的期望为-.18、解：（1）因为四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，故建立如图所示的空间直角坐标A－xyz，又PA＝AD＝2，则有P（0,2，2），D（0,2，0）．∴M（0,1，1），C（2,2，0）．∴＝（2,2，－2），＝（0,1,1）．∵·＝0＋2－2＝0，∴PC⊥AM．………3分（2）设N（x，y，z），∵＝，则有x－0＝，∴同理可得由·＝∴PC⊥AN．又∵PC⊥AM,AM∴PC⊥平面AMN．……8分（3）设平BAN的法向量为n（x，y，z）．由，取n（0，2,1）．而＝（2,2，－2）为平面AMN的法向量，∴cos
＝＝－结合图形可知，所求二面角B－AN－M的大小为π－arccos……14分19、（1）证明：当n≥2时，2kSn－（2k＋1）Sn－1＝2k∴2k（Sn－Sn－1）－Sn－1＝2k，即2kan－Sn－1＝2k①∴2kan+1－Sn＝2k②②－①得2kan＋1－2kan－an＝0，即2kan＋1＝（2k＋1）an由①a2＝1＋∴又符合上式．∴|an|是以1为首项，1＋（2）解：由（1）及f（k）＝1＋，∴bn＝f（）＝1＋×bn-1∴bn－2＝又b1＝3,即b2－2＝1∴{bn－2}是以1为首项，为公比的等比数列∴bn－2＝（－）n－1，∴bn＝2＋（）n－1（3）由（2）知Cn＝bn－2＝（）n－1,则Cn·Cn＋1＝（）2n－1∴…＋CnCn＋1）…＋（＝∴（∵512<669<1024，∴2m－3>9，即m>6又m∈N*，∴m的最小值为720、解：（I）设P（x 0，y0），M（x，y），则，所以切线CD的方程为x0x+y0y=16，注意到A（－4，0）、B（4，0），得C（－4，）和D（4，，则直线AD的方程是y=(x+4)，直线BC的方程是y=－(x－4)，由此解得交点M的坐标为，代入由于点P与A、B都不重合，所以y≠0即所求的轨迹方程是x2+4y2=16（y≠0）.又解：连结并延长PM交AB于Q，设|AC|=|CP|=a，|BD|=|DP|=b,则，因为CA//DB，所以三角形CAM与三角形BDM是相似三角形，所以故知PQ//DB，而DB⊥AB，所以PQ⊥AB，因此，P、M、Q三点的横坐标相等，因为，，所以|PM|=|MQ|，即M点为PQ的中点，设M（x，y），则P（x，2y），则点P在圆x2+y2=16上，且P点与A、B都不重合所求轨迹方程式是x2+4y2=16（y≠0）；（II）若存在，则距离即这样的点存在，且为21、解：(1)函数的定义域为…………2分(2) ＝＝－ ∵ｘ＞０，∴ｘ２＞０，＞０．lｎ（ｘ＋１）＞０。∴＜０。因此函数f（ｘ）在区间（０，＋∞）上是减函数．当-1g(0)=1>0,故此时＝－<0,因此,函数f(x)在区间(-1,0)上也是减函数.综上可知函数f(x)在(-1,0)和上都是减函数………………….8分 （3）当ｘ>０时，f（ｘ）＞恒成立, 令ｘ＝１有ｋ＜２又k为正整数．∴k的最大值不大于３． ……..10分 下面证明当ｋ＝３时，f（ｘ）＞（ｘ＞０）恒成立．即证当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立． 令ｇ（ｘ）＝＋１－２ｘ，则＝－１，当ｘ>ｅ－１时，＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，＜０．∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．∴当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立．因此正整数k的最大值为３． …………14分
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