两无限长平行直导线间电容的精确解 张清

文章编号：!"#!$#%#&’&(()*(!$((%+$()两无限长平行直导线间电容的精确解张清（安徽工业大学数理系,安徽马鞍山&+)((&）摘要：对于无限长两平行直导线间的电容，通常是假定两导线的半径!相等，间距"$!，得到近似解。本文用电像法给出间距为"，半径任意的两平行直导线间电容的精确解。关键词：像电荷；等势面；电容中图分类号：-++!.!文献标识码：/012345678496:;6<4=>32?2394@6;4=>4A69:;9:94>76:B36:C8349:BA9<>5!"#$%&’()’D3=6676;E24=>F24935GH=@5935,/:=89I:9J><594@6;K>3=:676B@,E2L2:5=2:&+)((&,M=9:2*#*+,-./,0K=>2??<619F24>5678496:;6<4=>32?2394@6;4A69:;9:94>76:B36:C8349:BA9<>5A94=4=>52F><2C985,242C9542:3>6;"（"$!），A256N429:>C.K=>>12345678496:;6<4=>32?2394@6;4A69:;9:94>76:B36:C8349:BA9<>5A94=2<N94<2<@<2C985956N429:>CA94=4=>F>4=6C6;9F2B>.12345-6+09F2B>3=2<B>5O?72:>56;4=>>P89?64>:4927O32?2394@电容是电学中一个重要的物理量，它反映了导体的容电本领，常用的电容器有平行板电容器、球形电容器、圆柱形电容器。在圆柱形电容器中，一种是同轴圆形电容器，另一种是相距为"的两根圆形平行直导线。对后一种情况，通常都是作如下假设：两圆形直导线半径相等，即：!!Q!&#!,且"$!，给出下列近似解：$#!!(7:"%!R!S)T。本文用电像法给出其精确解。!无限长圆柱导线的像电荷!.!一根无限长圆柱导线的像电荷真空中，一根半径为!、带电线密度为"的无限长圆柱导线，其周围的电场具有圆柱对称性，可用高斯定律求出电场强度：&’’*Q"&!!(’’’(!*（!）将上式积分，选择’#’(处电势为零，可得电势：#’’*Q"&!!(7:’(’’’(!*（&）因为在’(!处，电势#’’*与!无关，即使这根导线收缩成一条带电线密度为"的直线，电势仍不受影响，这条假想的线电荷为这根导线的像电荷。!.&两根无限长带等量异号电荷的圆柱形直导线的像电荷两无限长圆柱形直导线平行放置，带电线密度为U"，由于静电感应，电荷在导线表面的分布是内侧密度大，外侧密度小，导线是等势体。可以设想用一对无限长带电线密度为U"的平行直线取代这两个圆柱形V67.&(W6.!安徽工业大学学报第&(卷第!期X2:82<@&(()X.6;/:=89I:9J><594@6;K>3=:676B@&(()年!月收稿日期：&((&$!($!%作者简介：张清（!Y""$），女，安徽芜湖人，安徽工业大学数理系副教授。!"第#期张清$两无限长平行直导线间电容的精确解带电导线，通过适当的选择这对带电直线的位置，使它们产生的两个等势面恰好与原来的圆柱形导线表面重合。这对平行直导线便是原来圆柱形导线的像电荷，如图#。%两圆柱形平行直导线电容的精确解真空中，两条无限长圆柱形直导线&’&&平行放置，相距为!，半径分别为"#，"%，带电线密度为(!，以像电荷所在平面为#$%平面，像电荷到&$#平面的距离都是’，如图%。选择#轴上的电势为零。由于对称性，平行于#轴的任何一条直线都是像电荷的等势线，所以只需考虑%)&平面内任一点(的电势’如图%（*）。利用（%）式得："()"**"+,!%!#-./’+#+!%!#-./’+%,!0!#-./+%,+%#+%%,1’#2’3%2+%2%+1’#2’3456$,%1’#2’31’#2+456$32+%2’%+’%#+%#,1’#+’3%2+%2%+1’#+’3456$,%1’#+’31’#2+456$32+%2’%+’%#所以"()!0!#-./%（’#*’）（’#*+456$）2+%*’%-’%#%（’#-’）（’#*+456$）2+%*’%-’%#在+)"#处，如果像电荷的位置满足$"%#2’%+’%#,-173则："()!0!#-./（’#*’）（’#-’）103与$无关，即圆柱形导线&的表面是像电荷的一个等势面。同理，考虑%$&平面内任一点.的电势’如图%（8）。".)"*2"-,!0!#-./+%,+%#+%%,1’%+’3%2+%2%+1’%+’3456$,%1’%+’31’%2+456$32+%2’%+’%%+%#,1’%2’3%2+%2%+1’%2’3456$,%1’%2’31’%2+456$32+%2’%+’%%".)!0!#-./%（’%-’）（’%*+456$）2+%*’%-’%%%（’%*’）（’%*+456$）2+%*’%-’%%在+,"%处，如果像电荷的位置满足$"%%*’%-’%%,-1"3则：".)!0!#-./（’%-’）（’%*’）193与$无关，即圆柱形导线&&的表面是像电荷的一个等势面。由（0）’（9）式得两导线的电势差：/)"(-".)!0!#-./（’#*’）（’%*’）（’#-’）（’%-’）,!0!#-./（’#*’）%（’%*’）"%#"%,1:3再利用（7）、（"）式及’#*’%,!可得：1’#2’31’%2’3,#%1!%+"%#+"%%32#0（!%-"%#-"%%）%-"%#"%%%两导线的电势差：/)!%!#-./!%-"%#-"%%%"#"%2!%-"%#-"%%%"#"()%%-%#两圆柱形平行直导线单位长度的电容：0)1/,%!#-./!%-"%#-"%%%"#"%*!%-"%#-"%%%"#"()%-%[]#!"安徽工业大学学报#$$%年（上接!%页）&’’(9!))$*+,*设有!)"使#（!*!(-!由于!)$"+（%:），由引理+，当$.&!+时，’&()*)!&()*(()$"+&&%:(。再由文献)%,第三章定理"，!)$#/"+&&%:(。当&++时，!)$"+（%:），从而!)$#/"+（%:）。总之!)$#/"$&%:(。当$.&!+时，"$,"+&0当&1+时，"$,"+。再由引理#，=!="!2345-./#*$+6。&’’’(9!))$*+,*9!+*!#)")=!+="!0)=!#="!0)记#（!+*!(-!+*#（!#*!(-!#*1&!+7!#(/!)’&()*)!+&()*((7’&()*)!#&()*((,-$&()*()%!+7!#-$&()*()"#%由于2!)’&()*)!+&()*((7’&()*)!#((,8!102!+7!#2&)由文献)#,第三章定理+$9+*当2!+7!#2+$时，=!+7!#=%:#++$)#关于!连续。再9!)")9!+)!#))$*+,*记#（!，!+）,!+，#&!*!#()!#3&!+7!#(/&!+4!#(’&()*)!&()*((-&!+4!#(5&()*()%!+7!#-&!+4!#($&()*()"#%#关于!一致连续。从而#是紧的。由:;<3=7>?@3AB;<不动点定理，存在!)$"+&%:(使#（!)+(,!)且显然!)$#/"$（%:），当$.&!+时，"$,"+&0当&1+时，"$,"+。再设!+，!#)$#/"$&%:(都是式（#），（C）的解，则1&!+7!#(/’&()*)!+(7’&()*)!#(-$&()*()%&!(!+7!#-$&()*()"#%&D(由式&!(，&D(，利用最大模原理，易得=!+7!#=%:$,$。参考文献E)+,姚正安，周铁强9一类拟线性抛物方程解的性质)F,9数学杂志，+DD!*+!（%）：%GC7%G!9)#,H<’;B23IJ9K3<L’3MN’OO;<;IL’3MPQA3L’RISROK3<3TRM’?U=V;)W,9X;YZR<[EK<;IL’?;7\3MM*+D"G9)%,];^_RB3‘LLR9K3<L’3MB’OO;<;IL’3MPQA3L’RISEU’2;7K;<’RB’?>RMAL’RIS)W,9W3<L’IASX’^@ROOKATM’S@;<S*U@;\3aA;*+D!#9#%讨论&+(当6+-6#,6时，可得半径相等的两圆柱形平行直导线单位长度的电容：$,#$%$MI7#4#6##6#/7#4#6##()6#4%[]+&#(当6+-6#,6，且7$6时，$,$%$MI76，该式即为两无限长平行直导线间的电容的近似解。参考文献：)+,马文蔚9物理学（中册）)W,9第四版9北京：高等教育出版社，+DD!9"!7"D9)#,吴百诗9大学物理（上）)W,9西安：西安交通大学出版社，+DD!9%GC9)%,王少杰9大学物理学（上）)W,9上海：同济大学出版社，+DD"9%#C9