管理数量方法与分析习
题
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管理数量方法与分析习题
第1章 数据分析的基础
思考与练习
1．什么是数据分组？它有哪些种类，各在什么情况下应用？
所谓数据分组，就是对某一变量的不同取值，按照其自身变动特点和研究需要划分成不同的组别，以便更好地研究该变量的分布特征及变动规律。根据变量的类型可分为： ⑴单项分组，若变量是离散型变量，且取值不多时采用；
⑵组距分组，若变量是连续型变量、或者是取值较多的离散型变量时采用。
2．什么是变量数列？如何编制变量数列？
在对变量取值进行分组的基础上，将各组不同的变量值与其变量值出现的次数排列成的数列，称为变量数列。
组距数列的编制过程：
⑴确定组数。
若变量的取值变动不均匀，如急剧增大、变小，变动幅度很大时，应采用异距分组；若变量的取值变动均匀，应采用等距分组。等距分组便于比较和分析处理，实践中应尽量采用等距分组。究竟分为多少组比较合适，可采用斯特吉斯公式计算：
M = 1 + 3.322 * LgN，N为变量值的个数，m为组数。
⑵确定组距。
确定了分组的组数之后，接下来就需要确定出分组的组距。等距分组的组距可根据变量值的取值范围和已确定的组数确定，下式可计算组距的最小值：
d = (max(Xi) – min(Xi)) / m，d为组距，Xi为观测变量中的第i个变量值，m为组数。
⑶确定组限。
在确定了分组的组数和组距之后，就需要确定各组的组限。各组的组限应尽量用整数，特别是5和10的倍数来表示。用小于或等于变量最小值的整数作为最低一组的下限，然后依次每增加一个组距就是一个组限，直到组限值增加到比变量的最大值还大时即为最高组上限。
组限的表示方法随着变量的不同也有所不同。若变量是离散变量，则相邻两组中数值较小一组的上限和数值较大一组的下限可分别用相邻的两个整数值表示；若变量是连续变量或
是即可取整数又可取非整数的离散变量，则相邻两组中较小一组的上限和数值较大一组的下限只能用同一数值表示。为了不违反分组的互斥性原则，在后一种情况下，一般规定上限不包含在本组之内，称为上限不在内原则。
⑷计算各组的次数（频数）。
在确定了各组的组限以后，接着就需要计算出所有变量值中落入各组之内的变量值的个数，每组所分配的变量值的个数也就是该组的次数，又称频数。
⑸编制变量数列。
当各组变量值的变动范围和各组的次数确定之后，接下来就可以将各组变量值按照从小到大的顺序排列，并列出相对应的次数，就形成变量数列。
3．测度变量分布中心有何意义？测度指标有哪些，各有什么特点？均值、中位数和众数之间有什么关系？
揭示变量的分布中心有着十分重要的意义：
⑴变量的分布中心是变量取值的一个代表，可以用来反映其取值的一般水平。一个变量往往有许多个不同的取值，假若要用一个数值作为它们的代表，反映其一般水平，分布中心值无疑是一个最合适的数值。
⑵变量的分布中心可以揭示其取值的次数分布在直角坐标系上的集中位置，可以用来反映变量分布密度曲线的中心位置，即对称中心或尖峰位置。
测度指标有：
⑴算术平均数，又称均值，它是一组变量值的总和与其变量值的个数的比值，是测度变量分布中心最常用的指标。算术平均数的计算方法有：简单算术平均数、加权算术平均数。算术平均数容易受到极端变量值的影响。
⑵中位数，是指将某一变量的变量值按照从小到大的顺序排成一列，位于这列数中心位置上的那个变量值。中位数表明在顺序排列的变量值中，小于中位数的变量值的个数与大于中位数的变量值的个数是相等的。因此，用中位数来代表所排列变量值的一般水平能够避免受到这些变量值中出现的极端变量值的影响，在某些特定条件下它更具有代表性。
⑶众数，是指某一变量的全部取值中出现次数最多的那个变量值。在特殊的应用条件下，使用众数作为变量的一般代表值既简便又具有代表性。在许多场合只有众数才适合作为某一变量取值的代表值。
三者之间的关系：
算术平均数、中位数和众数三者之间在数量上的关系取决于变量值在数列中的分布状
⑴在正态分布的情况下，变量值的分布是以算术平均数为中心，两边呈对称型，这时算术平均数、中位数和众数在数量上完全相等。
在偏态分布的情况下，由于变量值中出现特别大或特别小的极端数值使其分布曲线在图形上呈现出不对称的情形。
⑵当有极大变量值出现时，是正偏分布（又称右偏分布），此时众数 < 中位数 < 算术平均数；
⑶当有极小变量值出现时，是负偏分布（又称左偏分布），众数 > 中位数 > 算术平均数。
4．测度变量取值的离散程度有何意义？测度指标有哪些，各有什么特点？有了极差、平均差和
标准
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差，为什么还要计算离散系数？
⑴通过对变量取值之间离散程度的测定，可以反映出各个变量值之间的差异大小，从而也就可以反映分布中心指标对各个变量值代表性的高低。
⑵通过对变量取值之间离散程度的测定，可以大致反映变量次数分布密度曲线的形状。 测度指标：
⑴极差，又称全距，是指一组变量值中最大值与最小值之差，用来表示变量的变动范围。它计算简单，意义明了。由于极差的确定只根据两个极端变量值计算，不受中间变量值的影响，所以不能全面反映变量值的差异情况。
⑵四分位全距，是指将一组由小到大排列的变量数列分成四等分，可得到三个分割点Q1、Q2、Q3，分别称为第一个、第二个、第三个四分位数；然后用第一个四分位数Q1减去第三个四分位数Q3所得差的绝对值|Q1-Q3|，即为四分位全距。它其实是指一组由小到大排列数据的中间50%数据的全距，所以它不像极差那么容易受极端变量值的影响，但仍然存在没有充分利用所有数据信息的缺点。
⑶平均差，是变量各个取值偏差绝对值的算术平均数。它反映了变量的各个取值离其算术平均数的平均距离。其意义明确，计算简单，但在运算上不方便。平均差的计算分为简单平均法和加权平均法两种。
⑷标准差，又称根方差，是变量的各个取值偏差平方的平均数的平方根。通过离差平方和的运算不但可以消除离差正负项的差别，而且强化了离差的信息，使其在数学性质上也有许多明显的优越性。标准差的计算方法分为简单平均法和加权平均法两种，即简单标准差和
加权标准差。
⑸方差，标准差的平方称为方差。
计算离散系统是因为：
极差、平均差和标准差都是衡量变量各个取值之间绝对差异程度的指标，都具有一定的量纲。这些指标的数值大小不仅取决于变量各取值之间的差异程度，而且取决于变量取值水平即数量级的高低。显然，对于不同的变量，其变量值的绝对差异程度指标并不便于直接比较，这就需要在这些绝对差异指标的基础上构造出反映变量各取值之间的相对差异程度的无量纲指标。
变异系数主要用于不同变量的各自取值之间差异程度的比较。例如，对于两个给定的变量，若要比较二者算术平均数对各自变量值一般水平代表性的高低，或比较二者各自内部变量值之间差异程度的大小，由于二变量的极差、平均差和标准差各自有不同的数量级和不同的量纲，难以直接对比，所以就需要计算各自的变异系数，用变异系数进行比较。
5．测度偏度和峰度有什么意义？测度指标各有哪些？
⑴可以加深人们对变量取值的分布状况的认识，如可以使人们清楚了解变量的取值是否对称，或非对称程度有多大，以及变量的取值是否有特别的集聚，集聚程度有多高，等等。
⑵人们还可以将所关心的变量的偏度指标值和峰度指标值与某种理论分布的偏度指标值和峰度指标值进行比较，以判断所关心的变量与某种理论分布的近似程度，为进一步的推断分析奠定基础。
偏度的测度指标：
⑴直观偏度系数，它是利用描述变量分布中心的不同指标之间的直观关系而确定的测度变量分布偏斜程度的指标。主要有：
①皮尔逊偏度系数，是算术平均数与众数之间的离差对标准差的比率，其数值在[-3,+3]的范围之内。
②鲍莱偏度系数，它是上四分位数与中位数的距离对中位数与下四分位数的距离的差值与上四分位数与下四分位数的差值的比率。
⑵矩偏度系数，就是利用变量的矩来确定的变量分布偏斜程度的指标。
峰度的测度指标：
峰度系数，是变量的四阶中心矩与其标准差的四次方的比率。
6．抽样调查某地区50户居民的月消费品支出额数据资料如下（单位：元）
⑶绘直方图和拆线图。
7．为了了解农民工每月工资收入的情况，某市在全市农民工中随机抽取了300名进行调查，调查得样本资料如下表所示：
根据表中的样本数据计算下列各种分布特征测度指标： ⑴农民工月工资收入的算术平均数、中位数和众数；
算术平均数-x = ∑(x * f) / ∑f = 179750 / 300 = 599.17(元)
根据300 / 2 = 150和累计人数确定中位数的位置应在组距数列第三组。按下限公式计算中位数：
中位数m = L + (∑f / 2 – Sm-1) / fm * d
= 550 + (300 / 2 – 40) / 120 * (600 – 550) = 595.83(元)
由表可以很明显地看出，农民工每月工资收入出现次数最多的是第三组，所对应的变量值在550－600元之间。按下限公式计算：
众数m = 550 + (120 – 30) / ((120 – 30) + (120 – 100)) * (600 – 550) = 590.91（元）
⑵农民工工资收入的标准差和标准差系数；
标准差σ = (∑(xi – -x)^2 * fi/ ∑f)^0.5 = (837291.67 / 300)^0.5 = 52.83(元) 标准差系数 = σ / x = 52.83 / 599.17 * 100% = 8.82% ⑶农民工月工资收入的矩偏度系数和矩峰度系数。
矩偏度系数sk = S3 /σ^3 = ∑((xi – -x)^3 * fi) / ∑fi /σ^3 = (9428779.86 / 300) / 52.83^3 = 0.21
矩峰度系数ku = S4 / σ^4 = (7957530043.09 / 300) / 52.83^4 = 3.41 8．300户农户的年纯收入分组资料如表所示：
试计算：⑴农户年纯收入的算术平均数、中位数和众数； 算术平均数-x = 8280000 / 300 = 27600(元)
根据300 / 2 = 150和累计人数确定中位数的位置应在组距数列第三组，按上限公式计算中位数：
中位数m = 29000 – (300 / 2 – 70) / 90 * (29000 – 27000) = 27222.22(元) 由表可以明显地看出，农民年纯收入出现次数最多的是第二组，所对应的值在25000-27000元。按上限公式计算：
众数 = 27000 – (110 – 90) / ((110 – 30) + (110 – 90)) * (27000 – 25000) = 26600(元)
⑵根据算术平均数、中位数和众数之间的关系，判断农民工年纯收入的分布类型。
由上述计算结果可以看出：众数(26600) < 中位数(27222.22) < 算术平均数(27600)，属于正偏分布（即右偏分布），即农民的年纯收入有极大值出现。 9．表为130名同学统计学成绩分组资料：
要求计算：⑴学生成绩的全矩、平均差、标准差和方差；
全距（极差）= 100 – 50 = 50(分)
算术平均数-x = 10010 / 130 = 77(分)
平均差A.D = / n = 125 / 10 = 12.5(分)
标准差σ = (∑(xi – -x)^2 * fi/ ∑f)^0.5 = (11992.50 / 130)^0.5 = 9.6(分) 方差σ^2 = 11992.50 / 130 = 92.3 ⑵学生成绩的矩偏度系数和矩峰度系数。
矩偏度系数sk = S3 / σ^3 = (-28620 / 130) / 9.6^3 = -0.25 矩峰度系数ku = S4 / σ^4 = (3015388 / 130) / 9.6^4 = 2.73 10．某运输公司对中兴汽车的驾驶速度和行驶英里数的观测数据如表所示：
要求计算：⑴驾驶速度与行驶英里数之间的协方差；
由表中资料分别计算得：
驾驶速度的算术平均数-x = ∑x / n = 420 / 10 = 42 行驶里程的算术平均数-y = ∑y / n = 270 / 10 = 27
则驾驶速度x与行驶里程y之间的协方差Sxy = 1/n * ∑((xi – -x) * (yi – -y)) = -475 / 10 = -47.5
⑵驾驶速度和行驶英里数之间的相关系数，并对计算结果进行简要说明。
因为行驶速度的标准差σx = (1660 / 10)^0.5 = 12.88 行驶里程的标准差σy = (164 / 10)^2 = 4.05
相关系数ρxy = Sxy / (σx * σy) = -47.5 / (12.88 * 4.05) = -0.91
计算结果表明，驾驶速度和行驶英里数的协方差和相关系统均为负值，说明二者是负相关的，同时相关系数-0.91比较接近-1，说明二者之间存在着高度的负相关关系。 11．表给出了上证指数和深证成指收盘价：
计算结果表明，上证指数和深证成指的相关系数和协方差都是正值，说明二者是正相关的；同时相关系数0.97接近1，说明二者之间存在着高度的正相关关系。
第2章 概率与概率分布
思考与练习
1．什么是频率？什么是概率？二者之间的关系如何？
频率是在随机试验中试验结果出现的次数；
随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为事件A发生的概率。
频率的稳定值与事件发生的可能性大小存在内在的必然联系。一方面频率的稳定性说明事件发生的可能性大小确实是一种客观存在，另一方面，频率的稳定值对事件发生的可能性大小提供了一种直观的解释。
一个事件A发生的可能性的大小—概率，在直观上表现为大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值，但频率的稳定值本身并不是概率的本质，不能作为概率的定义，一个事件的概率是由事件本身特征所决定的客观存在，就好比一根木棒有它的长度一样，频率的稳定值是概率的外在的必然表现，当进行大量重复试验时，频率会接近稳定值，因而，频率可用来作为概率的估计，就好比是测量概率的“尺子”，随着试验次数的增加，测量的精度会越来越高。
2．互斥事件和对立事件的区别是什么？
互斥事件又称互不相容事件，即事件A与B不可能同时发生；
对立事件是指事件A与B互为反面，它们不可能同时发生，但它们中必然会有一个发生，即A事件不发生时B必然发生。
3．什么是概率分布？概率分布如何表示？
所谓随机变量的概率分布，就是随机变量的取值规律，通常用分布律（或分布密度）、分布函数来描述随机变量的分布。对于离散型随机变量的概率分布可以用表格的形式来表示，对于连续型随机变量的概率分布可以用概率分布密度曲线图形来表示。
4．指出μ与σ^2对正态分布的密度的影响。
⑴f(x)关于直接x = μ对称；在x = μ ± σ处有拐点。
⑵ f(x)在x = μ处有最大值1/[(2π)^0.5σ]，该位置处也是分布的中位数和众数。
⑶当x→∞时，f(x) →0，即曲线y = f(x)以x轴为渐近线。
⑷当σ越大时，曲线越平缓；当σ越小时，曲线越陡峭。
服从正态分布的随机变量的概率规律：为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
5．简述随机变量数学期望和方差的性质。
数学期望的性质：
⑴设a为常数，则E(a)=a。
⑵设X为随机变量，a为常数，则E(a * X)=a * E(X)。
⑶设X、Y是两个随机变量，则E(X ± Y)=E(X) ± E(Y)。
⑷设X、Y是相互独立的随机变量，则E(X * Y)=E(X) * E(Y)。
方差的性质：
⑴设c为常数，则D(c)=0。
⑵设X为随机变量，c为常数，则有D(c * X) = c^2 * D(X)。
⑶设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X + Y) = D(X) + D(Y)。
6．指出下列各试验的样本空间：
⑴掷两个骰子，分别观察其出现的点数；
Ω={1,2,3,4,5,6}
⑵观察一只股票某日的价格（收盘价）；
Ω={ [(1 - 0.1)P, (1 + 0.1)P]}，P为前一交易日收盘价。
⑶甲、乙两人下一局棋，观察棋赛的结果；
Ω={甲胜，已胜，和棋}
⑷记录一个班级一次数学考试的平均成绩（以百分制记分）；
Ω={[0,100]}
⑸一袋中装有10个同型号的零件，其中3个合格，7个不合格，每次从中随意取出一个，不合格便放回去，直到取到合格的零件为止，观察所抽取的次数。
Ω={1,2,3,??}
7．某工厂从6000件产品中，任取两件抽样检查，如果所取的两件都合格，则记为这6000件产品可以出厂。试问：如果这6000件中不合格品多达1000件，用这种方法检查，能出
厂的概率是多少？
能出厂的概率 = C(5000,2)/C(6000,2)=0.69
8．某城市有40%的住户订日报，有50%的住户订晚报，至少有70%的住户订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
设A={订日报的用户}，B=｛订晚报的用户｝，则有：
P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A∪B) ≥0.7
订日报与订晚报可看作是任意两事件，因此，
P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(A∩B) ≥0.7
P(A∩B) ≤0.4 + 0.5 - 0.7 = 0.2
9．某城市发行A、B两种债券，市民拥有率为40%、26%，同时拥有A及B占30%。问至少拥有一种债券的概率是多少？
设A={拥有债券A的市民}，B={拥有债券B的市民}，A∪B={至少拥有1种债券的市民}，A∩B={同时拥有债券A和B的市民}，则
P(A)=0.4,P(B)=0.26,P(A∩B)=0.3
A和B可看作任意两事件，则
P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(AB)=0.4 + 0.26 - 0.3 = 0.36
10．有奖储蓄每1000户设一等奖1个，二等奖10个（每100个连号中1个二等奖），三等奖100个（每10个连号中1个三等奖），鼓励奖500个。求此次有奖储蓄的中奖面（设一张券不同时兼有两种以上的奖）。
中奖概率 = (1 + 10 + 100 + 500)/1000 = 61.1%
11．某企业向甲、乙两银行申请贷款，估计能从甲、乙两银行获得贷款的可能性为0.4与0.6，至少获得其中一家银行贷款的可能性为0.8。该企业能同时获得两家银行贷款的可能性是多少？
设A={向甲银行成功申请贷款}，B={向乙银行成功申请贷款}，则
P(A)=0.4,P(B)=0.6，P(A∪B)=0.8
A和B可看作任意两事件，则
P(A∪B) =P(A) + P(B) - P(AB)
P(AB)=0.4 + 0.6 - 0.8 = 0.2
12．在对200家公司的最新调查中，发现40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司同时从事这两项研究。假设从这200家公司中任选一家，定
义事件A为该公司在研究广告效果，事件B为该公司在进行短期销售预测，试求P(A+B)及P(A|B)。 P(A) = 0.4,P(B)=0.5,P(AB)=0.3 P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.4 + 0.5 - 0.3 = 0.6
P(A|B) = P(BA) / P(B) = 0.3 / 0.5 = 0.6
13．某产品的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为0.05，第二道工序的废品率为0.02。假定两道工序废品是彼此无关的，求产品的合格率。
设A={第一道工序合格}，B={第二道工序合格}，则
P(A) = 1 - 0.05 = 0.95,P(B|A) = 1 - 0.02 = 0.98，则
产品合格率P(AB) = P(A) * P(B|A) = 0.95 * 0.98 = 0.931
14．完成某项任务有两套
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
，第一套方案的成功率为2/3，第二套方案的成功率为1/2，现在同时独立地施行这两套方案，其中有一套方案成功该任务就完成。求该任务完成的概率。
方法一：设A = {第一套方案成功}，B = {第二套方案成功}，则 P(A) = 2/3, P(B) = 1/2
因为AB是相互独立的任务，则 P(AB) = P(A) * P(B) = (2/3) * (1/2) = 1/3
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 2/3 + 1/2 - 1/3 = 5/6
方法二：设任务完成为事件A，其对立事件B是任务没有完成，即两套方案同时都失败， P(B) = (1 - 2/3) * (1 – 1/2) = 1/6，
由于A与B是对立事件，所以P(A) = 1 – P(B) = 1 – 1/6 = 5/6
15．某批发商供应100家商店，其中每一家商店是否订下一天货物是相互独立的，订下一天货物的概率为0.04。求：⑴一天中订下一天货物的商店数的分布律；
⑵一天中恰有4家商店订货的概率。
一天中恰有4家商店订货的概率是P{X=4} = C(100,4) * p^4 * (1 - p)^(100-4) = 3921225 * 0.04^4 * (1 - 0.04)^96 = 19.94%
16．某会计事务所依据以往经验预计某公司的应收账款余额有1%是错误的，今抽取100笔账款进行核查。试问：⑴抽查的账款中，没有错误的概率是多少？
19． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为： f(x) =
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}。
，x>0
这是指数分布（连续型随机变量）题目，由概率密度函数可知，参数λ为1/5,将密度函数求积分，则概率分布函数为∫f(x)dx在（-∞，x）的定积分，F（x）=
x>0,X
取值为10时，F(10)为他等待时间少于10分钟的概率，则1-F（10）即为他离开的概率，Y取值可为0,1,2,3,4,5，Y服从二项分布B（Y；5，1-F（10）），即可得出第一问。 P{Y≥1}.既是Y取1,2,3,4,5的概率之和了。
概率分布函数F(x)= x>0 X取值为10时，F(10) =
，为他等待时间少于10分钟（即不离开）的概率，
则1 - F（10）= ,即为他离开的概率，Y取值可为｛0,1,2,3,4,5｝，Y服从二项分布B（Y；5，1-F（10））
P{Y=k} = C(5,k) * * ( )^(5-k)
P{Y ≥ 1} = 1 - P{Y < 1} = 1 - 48.33% = 51.67%
思路：Y是二项分布，要求其概率，因此要先求出指数函数的分布函数，才能根据条件求出不离开的概率。
20．设某只股票的收益服从正态分布，其平均收益率为10%，标准差也为10%。问投资者投资在此只股票保证不亏的概率有多大？收益在20%以上的可能性有多大？
X服从N(0.1, 0.01)的正态分布
⑴P{X≥0} = 1 - Φ((0-0.1)/0.1) = 1 - Φ(-1) = Φ(1) = 0.8413
⑵P{X≥0.2} = 1 - P{X<0.2} = 1 - Φ((0.2-0.1)/0.1) = 1 - Φ(1) = 0.1587 21．某银行发现存户每天的平均存款余额为10000元，标准差为2000元，且呈正态分布。求：⑴存户平均每天存款余额超过15000元的占多大百分比？ ⑵存户平均每天存款余额低于5000元的占多大百分比？
⑶存户平均每天存款余额介于8000元与12000之间的占多大百分比？
⑷银行考虑给大额存户鼓励政策，但不愿使得到此鼓励政策的比例超过10%，应规定平均每天存款余额在多少元以上可享受此鼓励政策？
X服从N(10000, 4000000)的正态分布
⑴P{X > 15000} = 1 - P{X≤15000} = 1 -Φ((15000 - 10000)/ 2000) = 1 - Φ(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062
⑵ P{X < 5000} = Φ((5000 - 10000)/ 2000) = Φ(-2.5) = 1 - Φ(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062
⑶ P{8000≤X≤12000} = P{X≤12000}- P{X<8000} = Φ((12000 - 10000)/ 2000) - Φ((8000 - 10000)/2000)
= Φ(1) - Φ(-1)= Φ(1) - (1 - Φ(1)) = 2 * 0.8413 – 1 = 0.6826
⑷P{X≥k} = 1 - P{X < k} = 1 - Φ((k - 10000)/2000) ≤10% Φ((k - 10000)/2000) ≥ 1 - 0.1 = 0.9 查表得Φ(1.29) = 0.9015，则 (k - 10000)/2000≥1.29 k≥12580(元)
22．某产品的重量服从于均值为500克，标准差为10克的正态分布。求：⑴重量在490－510克之间的概率； ⑵重量小于490克的概率； ⑶重量大于510克的概率； ⑷重量在498±5克之间的概率。
⑴P{490≤X≤510} = P{X≤510} - P{X≤490} = Φ((510-500)/10) - Φ((490-500)/10) =Φ(1) - Φ(-1) = Φ(1) - (1 - Φ(1)) = 2 * 0.8413 – 1 = 0.6826 ⑵P{X<490} = Φ((490-500)/10) = Φ(-1) = 1 - Φ(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587
⑶ P{X≥510} = 1 - P{X<510} = 1 - Φ((510-500)/10) = 1 - Φ(1) = 0.1587 ⑷P{498-5≤X≤498+5} = P{X≤503} - P{X≤493} = Φ((503-500)/10) - Φ((493-500)/10)
= Φ(0.3) - Φ(-0.7) = Φ(0.3) - (1 - Φ(0.7)) = Φ(0.3) + Φ(0.7) – 1 = 0.6179 + 0.7580 – 1 = 0.3759
23．设某电子产品的电阻R是一个随机变量，均匀分布在1800－2400Ω之间。求R的概率密度函数及R落在2000－2200Ω之间的概率。
⑵P{2000≤R≤2200} = (2200 - 2000)/600 = 1/3
24．设一箱内有12件产品，其中2件次品，10件正品，今分别采取放回与不放回两种方式从箱中随机地抽取两次，每次取1件，定义随机变量X、Y如下： X＝
0，表示第一次取出的是正品 1，表示第一次取出的是次品 0，表示第二次取出的是正品 1，表示第二次取出的是次品
要求：⑴分别上述两种情况，写出X与Y的联合分布律； ⑵随机变量（X，Y）的边缘分布率。
在放回情况下：
⑴联合分布律P{X=0,Y=0}=[C(10,1)/C(12,1)]* [C(10,1)/C(12,1)]=25/36
⑵边缘分布律P{X=0}=[C(10,1)/C(12,1)]=5/6 P{Y=1}=[C(2,1)/C(12,1)]=1/6 在不放回情况下：
设P(X) = {第一次抽到的产品}，P(Y|X) = {第二次抽到的产品} P(XY) = P(X) * P(Y|X)
⑴联合分布律P{X=0,Y=0} = [C(10,1)/C(12,1)] * [C(9,1)/C(11,1)] = 15/22
⑵边缘分布律P{X=0} = [C(10,1)/C(12,1)] = 5/6 P{Y=1} = 5/33 + 1/66 = 1/6
25．已知某投资项目的收益率R是一随机变量，其分布如下表所示。
一位投资者在该项目上投资10万元。求他预期获得多少收入？收入的方差是多大？
R的数学期望E(R)= ∑(R * P)
= 1% * 0.1 + 2% * 0.1 + 3% * 0.2 + 4% * 0.3 + 5% * 0.2 + 6% * 0.1 = 3.7% 则预期收入 = 100000 * 3.7% = 3700(元) E(R^2)= ∑(R^2 * P)
= 1%^2 * 0.1 + 2%^2 * 0.1 + 3%^2 * 0.2 + 4%^2 * 0.3 + 5%^2 * 0.2 + 6%^2 * 0.1 = 0.157%
收入的方差D(R) = E(R^2) - [E(R)]^2 = 0.157 - 3.7%^2 = 0.0201%
26．一张贴现债券（期中不付息，期末还本付息的债券）承诺到期还本付息共偿还1100元。根据分析，市场上同类债券的收益率为一随机变量，记作x%，设x的密度函数为： f(x) =
1/5，0≤x≤5 0, 其它
求这张债券现在平均值多少钱？
⑵P{3000 * 15 – 5000 * X≥20000} = P{X≤5}
= P{(X - 3)/(2.997^0.5) ≤ 2 / (2.997^0.5)} = Φ(1.16) = 0.8770
第3章 时间系列分析
思考与练习
1．简述时间序列的概念和种类。
所谓时间序列，就是按照时间顺序将观察取得的某个统计指标（变量）的一组观察值进行排列而成的序列。
2．简述时间序列的影响因素及其模型。
时间序列的影响因素：
⑴长期趋势(T)，也称趋势变动，是指时间序列在较长时期内所表现出来的总态势或者变动方向；
⑵季节波动(S)，也称季节变动，是指受自然界季节更替影响而发生的年复一年的有规律的变化。在实际分析中，季节波动概念也有了扩展，一年中由于社会、政治、经济、自然因素影响而形成的有规律的周期性的重复变动都称为季节波动。
⑶循环波动(C)，也称循环变动，是指变动周期大于1年的有一定规律性的重复变动。 ⑷不规则变动(I)，也称随机变动，是指现象受很多偶然性的、难以预知和人为无法控制的因素的影响而出现的无规律性的变动。
时间序列的变动模型：
按照上述四种因素的影响方式不同，时间序列可分解为多种模型，其中最常见的有： ⑴乘法模型：Y = T·S·C·I，它假定四个因素对现象发展有相互影响的作用； ⑵加法模型：Y = T + S + C + I，它假定各因素对现象发展的影响是相互独立的。
3．什么是逐期增长量、累计增长量？它们有什么区别与联系？
逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，说明报告期比前一期增长的绝对数量。其计算公式为：y0-y1,y2-y1,y3-y2,?,Yn-Yn-1
累计增长量是报告期水平与某一固定时期的水平（通常为最初水平）之差，说明某一段较长时期内的总增长量。其计算公式为：y1-y0,y2-y0,y3-y0,?,Yn-Y0。
区别：逐期增长量说明研究现象报告期比前一期增长的绝对数量，累计增长量说明研究现象某一段较长时期内的总增长量。
联系：累计增长量等于相对应时期的逐期增长量之和，相邻两个时期的累计增长量之差等于相对应时期的逐期增长量。
4．什么是发展速度、增长速度？它们有什么区别与联系？
发展速度，又称动态相对数，是报告期水平和基期水平之比，它反映报告期较基期发展变动的相对程度。其计算公式为：发展速度 = 报告期水平 / 基期水平 * 100%。因采用的基期不同，发展速度分为：
⑴环比发展速度，是报告期水平与前一期水平之比，反映报告期比前一期发展变动的相对程度；
⑵定基发展速度，又称总速度，是报告期水平与某一固定时期的水平（通常为最初水平）之比，反映报告期比某一固定时期发展变动的相对程度，即某一较长时期内的总的发展速度。
其计算公式分别为：
环比发展速度：y1/y0,y2/y1,y3/y2,?,Yn/Yn-1
定基发展速度：y1/y0,y2/y0,y3/y0,?,Yn/Y0
增长速度，也称增长率，它是增长量除以基期水平或者发展速度减1的结果，说明研究现象逐期增长或在较长时期内总的增长速度。因采用的基期不同，增长速度分为：
⑴环比增长速度 = 逐期增长量 / 基期水平 = 环比发展速度 – 1；
⑵定基增长速度 = 累积增长量 / 基期水平 = 定基发展速度 – 1。
区别：发展速度反映研究现象报告期较基期发展变动的相对程度，增长速度说明研究现象报告期较基期增长的相对程度。
联系：增长速度 = 发展速度 – 1。
5．用几何平均法和方程式法计算平均发展速度有什么不同？哪些指标适合用几何平均法？哪些指标适合用方程式法？
几何平均法，又称水平法，其计算的数学依据是：现象发展的总速度不等于各期发展速度之和，而等于各期发展速度之积。因此，它可以通过各期环比发展速度连乘后开n次方根进行计算，也可通过定基发展速度开n次方根进行计算。
方程式法，又称累计法，它是按照这样的要求来计算的：时间序列中的各年发展水平的总和等于全期的总水平，而各年发展水平是基期水平与该年定基发展速度的乘积结果。根据定基发展速度等于环比发展速度连乘积的关系，各年发展水平也是基期水平和有关各年环比发展速度的乘积。因此，它需要求解高次方程的根，比较复杂。
几何平均法的侧重点是从最末水平出发进行研究，按照几何平均法所确定的平均发展速
度推算的最末一年发展水平，与实际资料最末一年的发展水平相同。方程式法的侧重点是从各年发展水平的累计总和出发进行研究，按照方程式法所确定的平均发展速度推算的全期各年发展水平的总和，与全期各年的实际发展水平的总和相同。
几何平均法既适用于时期序列，以适用于时点序列；方程式法一般只适用于时期序列。
6．简述测定长期趋势的方法主要有哪些？
长期趋势是指时间序列中的指标值在较长时期内所表现出来的变动总态势或者变动总方向。其常用的测定方法主要有：
⑴时距扩大法，它是将原有时间序列中较小时距单位的若干个数据加以合并，得出扩大了时距单位的数据，形成新的时间序列，通过这种方法求得的新的时间序列可以消除较小时距单位所受到的偶然因素的影响，使研究现象发展变化的基本趋势显示得更为明显。
⑵移动平均法，是对时距扩大法的一种改良。它是采用逐期递推移动的方法计算一系列扩大时距的时序平均数，并以这一系列移动平均数作为其对应时期的趋势值。通过移动平均数对原时间序列指标值的修匀，可以更清楚地看出所研究现象变动的基本趋势。
⑶数学模型法，就是在对原有的时间序列进行分析的基础上，根据其发展变动的特点，寻找一个与其相匹配的趋势线数学模型，并以此来测定长期趋势的变动规律。常用的数学模型有：直线、指数曲线、二次曲线、修正指数曲线、逻辑曲线、龚珀茨曲线、双指数曲线。
7．什么是季节变动？为什么要测定季节变动？
季节变动，是指受自然界季节更替影响而发生的年复一年的有规律的变化。在实际分析中，季节波动概念也有了扩展，一年中由于社会、政治、经济、自然因素影响形成的有规律的周期性的重复变动都称为季节波动。
季节变动是客观存在的，研究季节变动的主要目的就在于认识其变动周期和变动规律性，给实际部门的生产经营活动提供决策依据。
8．在测定季节变动时，为什么要剔除长期趋势的影响？
在具有明显的长期趋势变动的时间序列中，如果不剔除其影响，则所求得的季节比率会不准确。
9．指数趋势方程Yt = a * b^t可以通过取对数化为直线形式lgy = lga + t * lgb。现在用最小平方法求参数a、b，写出求参数a、b的标准方程组。 ∑y` = nA + b∑t
∑y`t = A∑t + B∑t^2
Lga = A,lgb = B
如果∑t = 0，则简化为：
∑y` = nA
∑y`t = B∑t^2
10．测定循环变动的方法有哪些？剩余测定法如何测定循环变动？
循环变动往往存在于一个较长的时期中，表现出从低到高，又从高到低的周而复始的近乎规律性的变动，它一般没有固定的周期，成因也比较复杂，往往事先难以预知。因此，其测定不仅要借助统计分析方法、有时还要借助于定性的经济理论分析和历史经验的帮助。
从统计的角度看，循环变动的测定方法有：剩余法、直接法、循环平均法等。
⑴直接测定法，它根据乘法模型计算，适用于长期趋势为等比增长的时间序列。其计算步骤如下：
①计算各期的年距环比发展速度。将各期实际数值与上年同期数值相除，就得到各期的年距环比发展速度。由于各年同期的季节相同，不含有季节变动，且长期趋势成比例，所以如此计算可以剔除长期趋势和季节变动，得到的年距环比发展速度序列仅包含循环变动和随机变动。即：
C·I = Yt / Y(t-α)
式中，α代表一年中的季度数(4)或月数(12)。
②计算各期的循环指数。对年距环比发展速度序列进行移动平均，使随机变动的影响相互抵消，即可得出各期的循环指数。
⑵剩余测定法，也称分解法。这种方法的基本思路是：假定时间序列各影响因素对现象发展影响的模型为乘法模型：Y = T·S·C·I，利用分解分析原理，首先在时间序列中剔除长期趋势和季节变动，然后再消除随机变动因素，从而揭示循环变动的特性。其计算步骤如下：
①计算剔除长期趋势和季节变动后的剩余序列。依据时间序列的变动特点，首先使用长期趋势和季节变动测定方法计算出长期趋势和季节变动，然后用时间序列的各期实际指标值（变量值）除以所计算的长期趋势值和季节变动值，便可得到剩余变动序列，即包含循环变动和随机变动的时间序列。其计算公式为：
C·I = Yt / (T·S)
②计算循环指数。对剩余时间序列进行移动平均，剔除随机变动，便可得出各期的循环指数。
11．简述随机变动的测定方法。
第一季度的平均库存量 = (63/2 + 60 + 88 + 46/2)/(4 - 1) = 67.5 第二季度的平均库存量 = (46/2 + 50 + 55 + 70/2)/(4 - 1) = 54.33
上半年的平均库存量 = (63/2 + 60 + 88 + 46 + 50 + 55 + 70/2)/(7 - 1) = 60.92
或 = (67.5 + 54.33)/2 = 60.92
下半年的平均库存量 = (70/2 + 48 + 49 + 60 + 68 + 54 + 58/2)/(7 - 1) = 57.17 全年的平均库存量 =(63/2+60+88+46+50+55+70+48+49+60+68+54+58/2)/(13-1)=59.04 或=(60.92 + 57.17)/2 = 59.05
15．某企业2009年8月员工数变动登记如表所示：
试计算该企业8月份平均员工数。
该企业8月份平均员工数 = [(1210 + 1240)/2 * 10 + (1240 + 1300)/2 * 5 + (1300 + 1270)/2 * 15]/(10 + 5 + 15) = 1262.5(人) 16．某企业2009年记录的在册人数资料如表所示：
试计算该企业2009年平均人数。
由时点序列计算平均数（间隔时间不相等）：
Y- = [(Y1 + Y2) * T1 / 2 +(Y2+Y3)*T2/2+?+(Yn-1+Yn)*Tn-1/2)]/(T1+T2+?+Tn-1) 该企业2009年平均人数 = [(326 + 408) * 5/2 + (408 + 414) * 3/2 + (414 + 412) * 3/2 + (412 + 402) * 1/2]/(5 + 3 + 3 + 1) = 392.83(人)
17．某企业2004-2009年工人数和管理人员数（单位：人）资料如表所示：
试计算2004－2009年该企业平均管理人员数占工人人数的比重。 由特征系列计算序时平均数：y- = a- / b-
平均管理人员数-a、平均工人人数-b都是时点序列， a- = (a1/2 + a2 + ? + a6/2)/(n – 1)
= (40/2 + 43 + 50 + 52 + 60 + 64/2)/(6 – 1) = 51.4(人)
b- = (b1/2 + b2 + ? + b6/2)/(n – 1)
=(1000/2 + 1202 + 1120 + 1230 + 1285 + 1415/2)/(6 – 1) = 1208.9(人)
2004－2009年该企业平均管理人员数占工人人数的比重 = 51.4/1208.9 * 100% = 4.25% 18．某地区2004-2009年社会消费品零售总额资料（单位：亿元）如表所示：
要求计算：⑴全期平均增长量、平均发展速度和平均增长速度；
平均增长量 = 逐期增长量之和 / 逐期增长量的个数 =累计增长量/(时间序列项目-1) = (19710 - 8255)/(6 - 1) = 2291(亿元)
平均发展速度 = -x = (Yn / Y0)^(1/n) = (19710 / 8255)^(1/5) = 119.01% 平均增长速度 = 平均发展速度 – 1 = 119.01% - 1 = 19.01% ⑵逐期增长量和累计增长量；
逐期增长量：2005年 =9383–8255 =1128(亿元)；2009年 =19710-16059 =3651(亿元) 累计增长量：2005年 =9383-8255 =1128(亿元)；2009年 =19710-8255 =11455(亿元) ⑶定基发展速度和环比发展速度；
定基发展速度：2005年=9383/8255*100%=113.66%；2009年=19710/8255*100%=238.76% 环比发展速度：2005年=9383/8255*100%=113.66%；2009年=19710/16059*100%=122.73% ⑷定基增长速度和环比增长速度。
定基增长速度：2005年=113.66% - 1 = 13.66%,?,2009年 =238.76% - 1 = 138.76% 环比增长速度：2005年 =113.66% - 1 = 13.66%,?,2009年 =122.73% - 1 = 22.73% 19．某地区2001年末人口数为2000万人，假定以后每年以9?的速度增长，又知该地区2001年的GDP为2480亿元。要求到2010年人均GDP达到25000元，试问该地区2010年的GDP应达到多少？2002年到2010年GDP的平均增长速度应达到多少？
平均发展速度 = (Yn/Y0)^(1/n)，平均增长速度 = 平均发展速度 - 1
该地区2010年末的人口数=20,000,000*(1+ 9?)^9 = 21679561(人)≈2167.96(万人)
⑴则该地区2010年的GDP应=21679561 * 25000 = 541989025000(元)≈5419.89(亿元) ⑵2002年到2010年GDP的平均增长速度应 = (5419.89/2480)^(1/9) * 100% - 1 = 109.08% - 1 = 9.08%
20．某企业1995-2009年产品产量资料（单位：件）如下表所示：
要求：⑴进行三项移动平均修匀；
三项移动平均修匀见下表“三项移动平均y”栏
⑵根据修匀后的数据用最小二乘法拟合直线趋势方程，并据以计算各年的趋势值；
设直线趋势方程为：^Yt = a + b * t，利用最小二乘法可得： b = (n * Σ(y * t) - Σy * Σt) / (n * Σt^2 - (Σt)^2) =(13 * 44682 – 6021 * 91)/(13 * 819 – 91^2) ≈ 13.93 a = (Σy – b * Σt)/n
=(6021 – 13.93 * 91)/13 ≈ 365.65
因此其直线趋势方程为：^Yt = 365.65 + 13.93 * t 根据直线趋势方程计算的各年趋势值见上表“^Yt”栏。
⑶预测2010年该企业的产品产量。
2010年该企业的产品产量预测值 = 365.65 + 13.93 * 15 = 574.58(件) 21．某地区2000-2009年人口自然增长数（单位：万人）如表所示：
判断上表时间序列是否属于直线型。若为直线型，则应用最小二乘法拟合直线方程，并根据直线方程求各年人口增长趋势值。
将上表时间序列数据制作成拆线图，从上图可以看出，该时间系列近似于直线型。 设直线趋势方程为：^Yt = a + b * t，根据最小二乘法的时间代码法可得下表：
a = Σy/n = 9290/10 = 929
b = Σ(y * t)/Σt^2 = 2048 / 330 ≈ 6.21 则其直线趋势方程为：^Yt = 929 + 6.21 * t
根据直线趋势方程计算的各年人口增长趋势值见上表“^Yt”栏。
12月份季节比率SI = -Y12/-Y * 100% = 47.25/61.33 * 100% = 77.04%
计算结果表明，该集市的肉制品销售量存在着明显的季节变动，7月份、8月份的季节比率高达134.10%、147.55%，是肉制品销售的旺季；而1月份、4月份、12月份的季节比率分别只有72.55%、79.89%、77.04%，不足80%，属于淡季。
⑵趋势剔除法： ①移动平均趋势剔除法：
移动平均趋势剔除法是首先将移动平均数作为长期趋势加以剔除，再测定季节变动的方法。
i求长期趋势值Ti。即根据各年的实际观测值，采用12项移动平均法求长期趋势值，由于12项移动平均数落在两个月中间，因而还需要进行一次两项移正平均，以确定中间月份的趋势值。如：2006年1月至12月的平均数为49万公斤，代表该年6月至7月的销售量；2006年2月至2007年1月的平均数为49.25万公斤，代表该年7月至8月的销售量。要把两者相加再平均：(49 + 49.25)÷2 = 49.13万公斤，才能代表2006年7月份的趋势值。依此类推，计算结果见上表的“长期趋势值Ti”栏的数据。
ii求修匀比率。即将原时间序列的直接观测值(Yi)除以趋势值(Ti)。如：2006年7月份为68÷49.13 = 138.42%，8月份为73÷49.33 = 147.97%。依此类推，计算结果见上表的“修匀比率(%)Yi/Ti”栏的数据。
iii求各年同月的平均修匀比率。即把修匀比率(Yi/Ti)按月排列，再按简单算术平均法求出各年同月的平均修匀比率（即未调整的季节比率）。如：1月份为(83.29% + 65.17% + 78.29%)÷3 = 75.59%；2月份为(98.81% + 103.30% + 100.88%)÷3 = 100.99%，等等。计算结果见下表“平均修匀比率”栏的数据。
季节比率计算表：
iv加总各月的平均修匀比率，其总和应为1200%。如果不等于1200%，则需要求调整系数(1200%÷总平均修匀比率)，用调整系数乘上各月的平均修匀比率，即为所求的季节比率。由于(75.59% + 100.99% + 87.23% + 81.55% + 95.07% + 115.16% + 135.61% + 147.49% + 108.31% + 99.68% + 81.03% + 72.54%) = 1200.26%≠1200%，求其调整系数：1200%÷1200.26%≈0.9998，用这个系数分别乘以各年同月的平均修匀比率即得调整季节比率。如：1月份为75.59% * 0.9998 = 75.57%；2月份为100.99% * 0.9998 = 100.97%。依此类推，结果见上表“季节比率”栏的数据。
计算结果表明，该集市的肉制品销售量存在着明显的季节变动，7月份、8月份的季节比率高达135.58%、147.45%，是肉制品销售的旺季；而1月份、12月份的季节比率分别只有75.57%、72.53%，属于淡季。
②拟合趋势线趋势剔除法： 这种方法的具体做法是：
i拟合趋势方程。由于在确定趋势方程时应除去季节变动因素，所以最好的办法是将以月（季）为单位的数据合并为以年为单位的数据，然后再以分割平均法或最小二乘法拟合直线或曲线趋势方程。
首先将以月为单位的销售量扩大为以年为单位的销售量，然后用最小二乘法拟合直线趋势方程。计算过程见下表： 将上表数据代入标准方程组得：
a = Σy / n = 2944/4 = 736
b = Σ(y * t) / Σt^2 = 1048/20 = 52.4 故所求的直线趋势方程为：^Yt = 736 + 52.4 * t （原点：2008年1月1日，t单位：年）
ii将以年为单位的趋势方程变换为以月（季）为单位，并将原点移动至第一年第一个月（或第一季度）。
将趋势方程的原点移动到2006年。一般来讲，若向后移动d个时期，则将(t + d)代入趋势方程；反之，若向前移动d个时期，则应将(t - d)代入趋势方程。所以，
^Yt = 736 + 52.4 * (t – 2) = 631.2 + 52.4 * t （原点：2006年1月1日，t单位：年）
再将以年为基本单位的趋势方程变换为以月为基本单位的趋势方程。一般来说，若将年度变为月度，需要将a、b、t都除以12；若将年度变为季度，则需除以4。所以：
^Yt = 631.2/12 + 52.4/12 * (t/12) = 52.6 + 0.36 * t （原点：2006年1月1日，t单位：月）
将以月为单位的趋势方程原点移至2006年1月份（以1月16日为代表），即移回0.5个月：
^Yt = 52.6 + 0.36 * (t + 0.5) = 52.78 + 0.36 * t （原点：2006年1月16日，t单位：月）
iii根据所确立的趋势方程确定每年各月的月趋势值（或各季度的季趋势值）。 利用得到的趋势方程^Yt = 52.78 + 0.36 * t就可以求各个月份相应的趋势值及修匀比率，其计算结果见下表“月趋势值T(^Yt)”栏的数据：
计算结果见上表“修匀比率Y/T(%)”栏的数据。
v求季节比率，即根据每月（季）的修匀比率计算各月（季）的平均比率。如果12个月的平均比率之和等于1200%（或4个季度的平均比率之和等于400%）时，就算完毕。如果不等于1200%（或不等于400%）时，则需要利用调整系数加以调整。
如1月份的平均季节比率 = (75.79% + 75.31% + 65.13% + 83.66%) / 4 = 74.97% ??
计算结果见表“平均修匀比率”栏
显然，利用趋势线求得的趋势值不存在丧失信息的问题，有多少项原始数据就有多少个趋势值，这也正是拟合趋势线趋势剔除法优于移动平均趋势剔除法的地方。先将修匀比率这一新时间序列重新整理为季节比率计算表：
季节比率计算方法与移动平均趋势剔除法相仿。由于同月平均比率之和等于1193.42%，需要用调整系数1200%/1193.42%≈1.0055来加以调整，调整结果见上表“季节比率”栏的数据。
调整系数 = 1200%÷1193.42% = 1.0055
经调整后1月份的季节比率 = 74.97% * 1.0055 = 75.38% ??
23．对某市工业增加值2004－2008年的数据，拟合不同的趋势方程，得趋势值如表所示：
要求：⑴判断两种趋势值序列各自所代表的趋势方程的类型；
分别用｛1,2,3,4,5｝代表上表中的｛2004年,2005年,2006年,2007年,2008年｝得下表：
根据上表作趋势线图如下：
由图可看出“趋势值(1)”序列代表的趋势方程为直线趋势方程，“趋势值(2)”序列代表的趋势方程为二次曲线趋势方程。 ⑵根据趋势值序列，写出原趋势方程。
设趋势线1的直线趋势方程为^Yt = a + b * t，将表中数据代入方程可得： 115 = a + b 119 = a + 2b
可求得：a = 111,b = 4
则趋势线1的直线趋势方程为^Yt = 111 + 4 * t
设趋势线2的二次曲线趋势方程为^Yt = a + b * t + c * t^2，将表中数据代入方程可得：
117 = a + b + c 118 = a + 2 * b + 4 * c 121 = a + 3 * b + 9 * c 可求得：a = 118,b = -2,c = 1
即趋势线2的二次曲线趋势方程为^Yt = 118 – 2 * t + t^2
24．下表是某省1993－2008年闹钟出口量，试用最小平方法拟合该资料的趋势线。
设直线趋势方程为：^Yt = a + b * t，根据最小二乘法的时间代码法可得下表：
将上表数据代入标准方程组得： a =∑y / n = 8005/16 = 500.31
b =∑(y * t) / ∑t^2 = 27703/1360 = 20.37 则所求的直线趋势方程为：^Yt = 500.31 + 20.37 * t 25．某企业历年生产某种产品产量资料如表所示：
要求：⑴判断该资料适合拟合哪种趋势线方程；
使用上表数据绘制曲线图如下：
根据资料数据可以计算其“逐年增长量”，除了2006年比较异常外，其它年份基本上都在5万件，而由产量曲线图也可明显看出它基本上是一条直线，因此该资料适合直线趋势线。
⑵预测该企业2009年的产品产量。
设直线趋势方程为^Yt = a + b * t，利用最小二乘法的时间代码法可计算出下表数据：
将上表数据代入标准方程组可得：
②计算各期的循环指数。对年距环比发展速度序列进行移动平均，使随机变动的影响相互抵消，即可得出各期的循环指数。
对年距环比发展速度序列进行5项移动平均，剔除随机变动的影响，可得循环指数。如：2002年第3季度的循环指数 = (122.81% + 126.81% + 105.46% + 94.02% + 94.29%)/ 5 = 108.68%，2002年第4季度的循环指数 = (126.81% + 105.46% + 94.02% + 94.29% + 89.14%)/ 5 = 101.94%，等等。依此类推，计算结果见上表的“循环指数(C)”栏数据。
⑵剩余测定法：
①计算剔除长期趋势和季节变动后的剩余序列。依据时间序列的变动特点，首先使用长期趋势和季节变动测定方法计算出长期趋势和季节变动，然后用时间序列的各期实际指标值（变量值）除以所计算的长期趋势值和季节变动值，便可得到剩余变动序列，即包含循环变动和随机变动的时间序列。其计算公式为：
C·I = Yt / (T·S)
I观察该时间系列，其中存在逐步增长的长期趋势，且其趋势接近于直线，用最小平方法求长期趋势模型：
i使用时间代码法对时间进行编码。以2004年第4季度与2005年第1季度中间为原点，见下表第“t”栏。
ii求长期趋势值Ti。即根据各年的实际观测值，采用4项移动平均法求长期趋势值，由于4项移动平均数落在两个季度中间，因而还需要进行一次两项移正平均，以确定中间季度的趋势值。如：2001年1至4季度的平均数为123.75，代表该年2至3季度的销售额；2001年2季度至2002年1季度的平均数为127，代表2001年3季度至4季度的销售额。要把两者相加再平均：(123.75 + 127)÷2 = 125.38，才能代表2001年3季度的趋势值。依此类推，计算结果见下表的“4项移动平均数”、“长期趋势值Ti”栏。
iii计算Ti * t、t^2，结果见上表“Ti * t”、“t^2”两栏。
iv求趋势模型。设直线趋势方程为：^Yt = a + b * t，利用最小二乘法，将上表数据代入标准方程组可得：
a = ∑y/n = 4147.5/28 ≈ 148.13
b = ∑(y * t) / ∑t^2 = 3922.25/7308 ≈ 0.54 则长期趋势模型为：T = 148.13 + 0.54 * t II求季节比率：
v求修匀比率。即将原时间序列的直接观测值(Yi)除以趋势值(Ti)。如：2001年3季度为183÷125.38 = 145.96%，4季度为117÷131.63 = 88.89%。依此类推，计算结果见上表的“修匀比率Yi/Ti”栏的数据。
vi求各年同季度的平均修匀比率。即把修匀比率(Yi/Ti)按季排列，再按简单算术平均法求出各年同季度的平均修匀比率（即未调整的季节比率）。如：1季度为(50.91% + 50.48% + 43.13% + 43.88% + 46.89% + 52.61% + 36.67%)÷7 = 46.37%；2季度为(126.93% + 120.81% + 113.82% + 97.99% + 120.54% + 111.89% + 96.44%)÷7 = 112.63%，等等。计算结果见上表“同季平均数”栏的数据。
vii加总各季度的平均修匀比率，其总和应为400%。如果不等于400%，则需要求调整系数(400%÷总平均修匀比率)，用调整系数乘以各季度的平均修匀比率，即为所求的季节比率。由于(46.37% + 112.63% + 141.95% + 94.87%) = 395.82%≠400%，求其调整系数：400%÷395.82%≈1.0106，用这个系数分别乘以各年同季度的平均修匀比率即得调整季节比率。如：1季度为46.37% * 1.0106 = 46.86%；2季度为112.63% * 1.0106 = 113.82%。依此类推，结果见上表“季节比率”栏的数据。
III求剩余变动：
viii根据长期趋势模型求各季度的长期趋势值T。将各时期的t值代入长期趋势模型T = 148.13 + 0.54 * t，可求得各期的趋势值。如：2001年1季度的长期趋势值 = 148.13 + 0.54 * (-31) = 131.39，2001年2季度的长期趋势值 = 148.13 + 0.54 * (-29) = 132.56，等等。计算结果见下表中第(2)栏所示。
ix将前表中计算出的该时间序列的季节比率列于下表中的第(3)栏。
x计算剩余变动序列。用下表第(1)栏的销售额Yt除以第(2)栏的长期趋势T和第(3)栏的季节比率S，可得到剩余变动序列。如2001年1季度的剩余变动 = 57/131.49/46.86% = 92.51%，2001年3季度的剩余变动 = 183/133.63/143.45% = 95.46%，等等。计算结果见下表第(4)栏数据。
②计算循环指数。对剩余时间序列进行移动平均，剔除随机变动，便可得出各期的循环
些单个事物在数量上是不能直接相加的。
2．什么叫综合指数？它有什么特点？
综合指数是由两个总量指标在不同时间或不同空间对比形成的指数，它是总指数的基本形式。凡是一个总量指标可以分解为两个或两个以上因素指标的乘积时，将其中一个或一个以上的因素指标固定下来，仅观察其中一个因素指标的变动程度，这样的总指数就称为综合指数。
综合指数是研究社会经济现象总体总量的变动情况。
3．什么叫同度量因素？它的作用是什么？
同度量因素亦称“同度量系数”或“指数权数”。是指使若干由于度量单位不同不能直接相加的指标，过渡到可以加总和比较而使用的媒介因素。在编制总指数时，把不能直接相加的要素过渡到能够相加的总体的媒介因素。同度量因素在计算总指数的过程中对各指数因素起着权衡轻重的作用，所以也叫权数。
同度量因素具有同度量和权数的作用。在编制综合指数中，指数化因素乘以同度量因素，就使各个不同度量的数量转化为同度量的数量可以加总求和，但又使其随所乘同度量因素数值的大小而具有不同的权数。
4．什么叫指数体系？举例说明指数体系中指数之间的数量对等关系。
若干个有联系的经济指数之间如能构成一定数量对应关系，就可以把这种经济上有联系、数量上保持一定关系的指数之间的客观联系称为指数体系。指数体系一般保持两个对等关系，即若干因素指数的乘积等于总变动指数，若干因素指数的影响差额之和等于实际发生的总差额。
例如：工资总额指数113.4%，总变动额67万元。其中职工人数指数105%，职工人数变动影响工资总额变动25元元；平均工资指数108%，平均工资变动影响工资总额变动42万元。则有：113.4 = 105% * 108%，25万元 + 42万元 = 67万元。
5．综合指数和平均指数有何联系和区别？
编制综合指数需要全面调查的统计资料，因此在实际工作中，直接用综合指数公式计算总指数往往是很困难的，而平均指数则是用非全面资料计算总指数的一种有效方法。
联系：在一定的权数下，平均指数是综合指数的一种变形。区别：作为一种独立的总指数形式，平均指数在实际应用中不仅作为综合指数的变形使用，而且它本身也具有独特的广泛应用价值。
平均指数和综合指数的区别：
⑴在解决复杂总体不能直接同度量问题的思想不同。综合指数通过引进同度量因素，先计算出总体的总量，后进行对比，即先综合，后对比；平均指数是在个体指数基础上计算总指数，即先对比，后综合。
⑵运用资料的条件不同。综合指数需要研究总体的全面资料，平均指数则既适用于全面的资料，也适用于非全面的资料。
⑶ 权数不同。综合指数若为质量指标指数，权数（同度量因素）为数量指标；综合指数若为数量指标指数，权数（同度量因素）为质量指标。平均指数无论是质量指标的加权算术平均指数, 还是数量指标的加权算术平均指数；无论质量指标的加权调和平均指数, 还是数量指标的加权调和平均指数, 其权数都是总值指标或比重（固定权数）。
⑷作为独立运用的平均指数，以比重作为权数（固定权数）时，平均数指数只能反映现象变动的方向和程度，而不能计算现象变动所产生的绝对效果；而综合指数既可以反映现象变动的方向和程度，也可以通过分子与分母的相减反映现象变动产生的绝对效果。
⑸在经济分析中的具体作用亦有区别。综合指数可做因素分析，平均指数不可进行因素分析。
平均指数和综合指数的联系：
在一定的权数条件下，两类指数间有转换关系。由于这种关系存在，当掌握的资料不能直接用综合指数形式计算时，则可用它转换的平均指数形式计算。这种条件下的平均指数和与其对应的综合指数具有完全相同的经济意义和计算结果。
注意：平均指数是以个体指数为基础计算的，如果知道现象的提高或下降程度，应转化为个体指数后，才能按平均指数公式计算总指数。如提高6%或降低4%，个体指数为106%或96%。
6．如何编制综合指数？如何编制平均指数？
综合指数的编制方法：
综合指数是研究社会经济现象总体总量的变动情况。
⑴若所考察的总体总量中的各个个体数量是同度量的，则可将这些同度量的个体数量直接相加得到总体总量，然后将两个不同时期或不同空间的总体总量对比，即可得到综合指数。
⑵若所考察的总体总量中的各个个体数量是不同度量的，首先要将不同度量的各个个体数值转化为同度量的，然后确定同度量因素所属时期。一般将数量指标指数中的同度量因素固定在基期，质量指标中的同度量因素固定在计算期。最后将两个不同时期或不同空间的同度量的各个个体数值进行加总对比，即可得到综合指数。
常用的综合指数公式主要有：
⑴拉氏指数，其特点是：不论数量指标总指数，还是质量指标总指数，其同度量因素都固定在基期。
-Kq =∑(p0 * q1)/ ∑(p0 * q0)
-Kp =∑(p1 * q0)/ ∑(p0 * q0)
⑵派氏指数，其特点是：不论数量指标总指数，还是质量指标总指数，其同度量因素都固定在计算期。
-Kq =∑(p1 * q1)/ ∑(p1 * q0)
-Kp =∑(p1 * q1)/ ∑(p0 * q1)
⑶杨格指数，其特点是：不论数量指标总指数，还是质量指标总指数，其同度量因素都固定在某个特定时期。
-Kq =∑(pn * q1)/ ∑(pn * q0)
-Kp =∑(p1 * qn)/ ∑(p0 * qn)
⑷埃马指数，其特点是：用基期和报告期的平均价格作为同度量因素编制物量总指数，用基期和报告期的平均物量作为同度量因素来编制物价总指数。
-Kq =∑q1 * (p0 + p1)/ ∑q0 * (p0 + p1)
-Kp =∑p1 * (q0 + q1)/ ∑p0 * (q0 + q1)
⑸费暄理想指数，其特点是：将拉氏指数和派氏指数经过简单的几何平均得到。 -Kq =[(∑(p0 * q1)/ ∑(p0 * q0)) * (∑(p1 * q1)/ ∑(p1 * q0))]^0.5
-Kp =[(∑(p1 * q0)/ ∑(p0 * q0)) * (∑(p1 * q1)/ ∑(p0 * q1))]^0.5
编制综合指数，作为同度量因素的指标应该固定在哪个时期，要根据编制指数的具体任
务以及指数式的经济内容来决定。以经济内容为依据，确定综合指数中的同度量因素所属时期，具有一般应用意义。同度量因素时期确定的一般方法是：编制质量指标综合指数应以计算期的数量指标为同度量因素，说明在计算期实际条件下，此指标的变动对现实造成的影响具有实际意义。编制数量指标综合指数则应以基期的质量指标为同度量因素。说明在质量指标保持不变的水平时，数量指标的动态变化。在计算某一种综合指数时，分子与分母的同度量因素的数值必须是同一时期的。选择不同时期的数值作为同度量因素，结果是不同的，经济意义也不相同。
综合指数的编制方法
(1)总指数的编制原理
总指数的综合形式，即综合指数。它编制计算的特点是：先综合，后对比。它编制的要点是：将不能直接加总的研究对象，通过一定的方式形成可以加总、对比的总量指标后进行对比，计算总指数。比如：
一种商品的价格指数
p1表示商品报告期价格， p0表示基期价格。
价格的综合指数反映多种商品价格变动情况，可从商品销售量不变只有价格变量计算销售总额编制价格综合指数。比如：
计算综合指数，用以对比的总量指标一般由两类因素指标构成：一是所要研究其变动的指标，称为指数化的指标，另一类便是将不可直接相加的指数化指标转化为可以直接相加对比的总量指标的同度量因素。
编制综合指数时，必须解决好两个基本问题：
一是确定同度量因素，对复杂总体进行综合；
二是将同度量因素固定在某一时期，消除同度量因素的影响。
(2)数量指标综合指数的编制
以综合形式计算数量指标的总指数，称为数量指标综合指数。
在计算数量指标综合指数时，以能够使数量指标过渡到可以相加的质量指标为同度量因素，并通常将其固定在基期的水平上。
平均指数的编制方法：
平均指数其实是用求平均数的方法来求指数。先计算出个体指数，然后对其进行加权平均计算总指数。其所用的方法主要有：
⑴加权算术平均：
C产品的个体价格指数= 21/20 ≈ 105%
⑵三种产品产量总指数和由于产量变动所增加或减少的产值；
①拉氏物量总指数-Kq =∑(p0 * q1)/ ∑(p0 * q0)
= (30 * 4660 + 40 * 2690 + 20 * 1900) / (30 * 4200 + 40 * 2400 + 20 * 1880) = 285400 / 259600 ≈ 109.94%
产量变动所引起的产值变动额 = ∑(p0 * q1) - ∑(p0 * q0) = 285400 - 259600 = 25800
②派氏物量总指数-Kq =∑(p1 * q1)/ ∑(p1 * q0)
= (32 * 4660 + 43 * 2690 + 21 * 1900) / (32 * 4200 + 43 * 2400 + 21 * 1880) = 304690 / 277080 ≈ 109.96%
产量变动所引起的产值变动额 = ∑(p1 * q1) - ∑(p1 * q0) = 304690 – 277080 = 27610
③埃马物量总指数-Kq =∑(q1 * (p0 + p1))/ ∑(q0 * (p0 + p1))
= (4660 * (30 + 32) + 2690 * (40 + 43) + 1900 * (20 + 21))/ (4200 * (30 + 32) + 2400 * (40 + 43) + 1880 * (20 + 21))
= 590090 / 536680 ≈ 109.95%
产量变动所引起的产值变动额 = (∑q1 * (p0 + p1) - ∑q0 * (p0 + p1))/2 = (590090 – 536680)/2 = 26705
④费暄物量总指数-Kq=[(∑(p0 * q1)/∑(p0 * q0)) * (∑(p1 * q1)/∑(p1 * q0))]^0.5 = [(285400 / 259600) * (304690 / 277080)]^0.5 ≈ 109.95%
产量变动引起的产值变动额 = (∑(p0 * q1) * ∑(p1 * q1))^0.5 - (∑(p0 * q0) *∑(p1 * q0))^0.5
= (285400 * 304690)^0.5 - (259600 * 277080)^0.5 = 26689.68 ⑶三种产品的出厂价格总指数和由于出厂价格变动所增加或减少的产值；
①拉氏物价总指数-Kp =∑(p1 * q0)/ ∑(p0 * q0)
= (32 * 4200 + 43 * 2400 + 21 * 1880) / (30 * 4200 + 40 * 2400 + 20 * 1880) = 277080 / 259600 ≈ 106.73%
出厂价格变动所引起的产值变动额 = ∑(p1 * q0) - ∑(p0 * q0) = 277080 - 259600 = 17480
②派氏物价总指数-Kp =∑(p1 * q1)/ ∑(p0 * q1)
= (32 * 4660 + 43 * 2690 + 21 * 1900) / (30 * 4660 + 40 * 2690 + 20 * 1900) = 304690 / 285400 ≈ 106.76%
出厂价格变动所引起的产值变动额 = ∑(p1 * q1) - ∑(p1 * q0) = 304690 – 285400 = 19290
③埃马物价总指数-Kp =∑(p1 * (q0 + q1)) / ∑(p0 * (q0 + q1))
= (32 * (4200 + 4660) + 43 * (2400 + 2690) + 21 * (1880 + 1900))/ (30 * (4200 + 4660) + 40 * (2400 + 2690) + 20 * (1880 + 1900))
= 581770 / 545000 ≈ 106.75%
出厂价格变动所引起的产值变动额 = (∑(p1 * (q0 + q1)) - ∑(p0 * (q0 + q1)))/2 = (581770 - 545000)/2 = 18385
④费暄物价总指数-Kp=[(∑(p1 * q0)/∑(p0 * q0)) * (∑(p1 * q1)/∑(p0 * q1))]^0.5 = [(277080 / 259600) * (304690 / 285400)]^0.5 ≈ 106.75%
出厂价格变动引起的产值变动额 = (∑(p1 * q0) * ∑(p1 * q1))^0.5 - (∑(p0 * q0) * ∑(p0 * q1))^0.5
= (277080 * 304690)^0.5 - (259600 * 285400)^0.5 = 18362.74 ⑷三种产品的总产值指数和产值的增长量；
总产值指数 = E1 / E0 = ∑(p1 * q1) / ∑(p0 * q0) = 304690 / 259600 ≈ 117.37%
总产值增长量（变动额）= E1 / E0 = ∑(p1 * q1) - ∑(p0 * q0) = 304690 – 259600 = 45090
⑸用指数体系把⑵、⑶、⑷之间的关系联系起来（从相对数和绝对数两方面）。
三个指数之间的联系为： ①拉氏总指数
相对数体系：拉氏物量总指数 * 派氏物价总指数 = 109.94% * 106.76% = 117.37% 绝对数体系：拉氏物量对产值的影响 + 派氏物价对产值的影响 = 25800 + 19290 = 45090 ②派氏总指数
相对数体系：派氏物量总指数 * 拉氏物价总指数 = 109.96% * 106.73% = 117.37%
绝对数体系：派氏物量对产值的影响 + 拉氏物价对产值的影响 = 27610 + 17480 = 45090 ③埃马总指数
相对数体系：117.37% = 109.95% * 106.75% 绝对数体系：45090 = 26705 + 18385 ④费暄总指数
相对数体系：117.37% = 109.95% * 106.75%
绝对数体系：45090 ≈ 26689.68 + 18362.74 = 45052.42 8．已知某商店三种商品基期销售额和销售量变动资料如下表所示：
要求：计算销售量总指数，以及由于销售量变动而使销售额增加的绝对值。
甲商品的个体销售量指数 = 15% + 1 = 115%， 乙商品的个体销售量指数 = 10% + 1 = 110%， 丙商品的个体销售量指数 = 5% + 1 = 105%； 则，加权算术平均销售量总指数： -Kq =∑(Kq * p0 * q0) /∑(p0 * q0)
= (100000 * 1.15 + 100000 * 1.10 + 60000 * 1.05)/ 260000 = 288000 / 260000 ≈ 110.77%
由于销售量变动而使销售额增加的绝对值 = ∑(Kq * p0 * q0) - ∑(p0 * q0) = 288000 – 260000 = 28000(万元)
9．已知某商店三种商品报告期销售额和价格变动资料如下表所示：
要求：计算价格总指数，以及由于价格变动而使居民多支出（或少支出）了多少钱？
甲商品的个体价格指数 = 0% + 1 = 100%， 乙商品的个体价格指数 = 10% + 1 = 110%，
丙商品的个体价格指数 = 25% + 1 = 125%； 则，加权调和平均价格总指数： -Kp =∑(p1 * q1)/ ∑(p1 * q1 / Kp)
= 314750 / (115000 / 1 + 121000 / 1.1 + 78750 / 1.25) = 314750 / 288000 ≈ 109.29%
由于价格变动而使居民支出变动的绝对值 = ∑(p1 * q1) - ∑(p1 * q1 / Kp) = 314750 – 288000 = 26750(万元)
10．某企业生产A、B两种产品，报告期和基期产量、出厂价格资料如下表所示：
要求：⑴用拉氏公式编制产品产量和出厂价格指数；
拉氏产量指数-Kq =∑(p0 * q1)/ ∑(p0 * q0)
= (12 * 2200 + 6.2 * 6000) / (12 * 2000 + 6.2 * 5000) = 636000 / 55000 ≈ 115.64%
拉氏出厂价格指数-Kp =∑(p1 * q0)/ ∑(p0 * q0)
= (12.5 * 2000 + 6.07 * 5000) / (12 * 2000 + 6.2 * 5000) = 55350 / 55000 ≈ 100.64%
⑵用帕氏公式编制产品产量和出厂价格指数；
帕氏产量指数-Kq =∑(p1 * q1)/ ∑(p1 * q0)
= (12.5 * 2200 + 6.07 * 6000) / (12.5 * 2000 + 6.07 * 5000) = 63920 / 55000 ≈ 115.48%
帕氏出厂价格指数-Kp =∑(p1 * q1)/ ∑(p0 * q1)
= (12.5 * 2200 + 6.07 * 6000) / (12 * 2200 + 6.2 * 6000) = 63920 / 636000 ≈ 100.50%
⑶比较两种公式编制的产量和出厂价格指数的差异。
无论是数量指数还是质量指数，由于拉氏指数公式的同度量单位都固定在基期，帕氏指数公式的同度量单位都固定在报告期，而资料中报告期数据整体上高于基期数据，因此用拉氏指数公式编制的产量和出厂价格指数都高于用帕氏指数公式编制的产量和出厂价格指数。 11．据调查，某地甲、乙、丙、丁四类商品的代表规格品的个体价格指数分别为110%、95%、
p1 * q1 / (p0 * q1) = 102%
农副产品收购价格变动影响收购总额变动额 = p1 * q1 - p0 * q1 = p1 * q1 - p1 * q1 / 102% = 440 * (1 – 1 / 1.02) = 8.63(亿元) ⑷验证以上三方面的分析结论能否协调一致？
Kq * Kp = 107.84% * 102% = 110% = -K 31.37 + 8.63 = 40(亿元) = p1 * q1 – p0 * q0 因此以上三方面的分析结论是协调一致的。 14．甲、乙两城市水果销售资料如下表所示：
要求：以乙城市为比较基准，分别用埃马公式计算甲、乙两城市水果价格比较指数，并加以简要文字说明。
甲城市埃马价格总指数-Kp =∑p1 * (q0 + q1)/ ∑p0 * (q0 + q1)
= (14 * (50000 + 200000) + 20 * (150000 + 100000)) / (20 * (50000 + 200000) + 12 * (150000 + 100000))
= 93.75%
以上计算结果表明，甲城市水果价格比较指数为93.75%，即甲城市水果价格整体上低于乙城市，虽然B类水果甲城市明显高于已城市，但由于甲、乙两城市消费结构的差异，甲城市相对于已城市的水果价格指数只有93.75%。
15．某工厂生产两种不同种类的产品，有关资料如下表所示：
要求：⑴计算该厂工业总产值指数及总产值增长额；
总产值指数-Kpq = E1 / E0 = ∑(p1 * q1) / ∑(p0 * q0) = (45 * 24600 + 450 * 120) / (40 * 20000 + 500 * 108) = 1161000 / 854000 ≈ 135.95%
总产值增长额= E1 – E0 = 1161000 – 854000 = 307000(元) ⑵从相对数和绝对数两方面对总产值变动进行因素分析；
由于产量变动对总产值的影响：
产量指数-Kq = ∑(p0 * q1) / ∑(p0 * q0)
= (40 * 24600 + 500 * 120) / (40 * 20000 + 500 * 108) = 1044000 / 854000 ≈ 122.25%
产量变动影响的绝对数：∑(p0 * q1) - ∑(p0 * q0) = 1044000 – 854000 = 190000(元) 由于价格变动对总产值的影响：
价格指数-Kp = ∑(p1 * q1) / ∑(p0 * q1)
= (45 * 24600 + 450 * 120) / (40 * 24600 + 500 * 120) = 1161000 / 1044000 ≈ 111.21%
价格变动影响的绝对数：∑(p1 * q1) / ∑(p0 * q1) = 1161000 – 1044000 = 117000(元) ⑶用文字说明分析结果。
以上计算结果表明，该工厂两种产品的总产值报告期比基期增长了35.95%，增加的绝对额为307000元。其中，由于产量增长了22.25%，使总产值增加了190000元；由于价格上升了11.21%，使总产值增加了117000元。这说明该工厂通过调整价格结构和增加产量的措施，使总产值有了显著的提高。
16．某公司所属两企业有关资料如下表所示：
要求：根据上表资料分析说明该公司工业总产量变动受劳动生产率、工作日长度、工作月长度和工人数各因素变动影响程度和绝对额。
设a、b、c、d分别代表平均工人数、工作月长度、工作日长度、时劳动生产率。 工业总产量变动：
总产量指数-K = ∑(a1 * b1 * c1 * d1) / ∑(a0 * b0 * c0 * d0)
= (220 * 25 * 7.5 * 120 + 200 * 25 * 7 * 125) / (200 * 26 * 7.5 * 100 + 200 * 26 * 8 * 120)
= 9325000 / 8892000 ≈ 104.87%
工业总产量变动的绝对额：
∑(a1 * b1 * c1 * d1) - ∑(a0 * b0 * c0 * d0) = 9325000 – 8892000 = 433000(件)
其中：由于平均工人数变动对工业总产量的影响：
平均工人数指数：∑(a1 * b0 * c0 * d0) / ∑(a0 * b0 * c0 * d0)
= (220 * 26 * 7.5 * 100 + 200 * 26 * 8 * 120) / (200 * 26 * 7.5 * 100 + 200 * 26 * 8 * 120)
= 9282000 / 8892000 ≈ 104.39%
平均工人数变动对工业总产量影响的绝对额： ∑(a1 * b0 * c0 * d0) - ∑(a0 * b0 * c0 * d0) = 9282000 – 8892000 = 390000(件) 由于工作月长度变动对工业总产量的影响：
工作月长度指数：∑(a1 * b1 * c0 * d0) / ∑(a1 * b0 * c0 * d0)
= (220 * 25 * 7.5 * 100 + 200 * 25 * 8 * 120) / (220 * 26 * 7.5 * 100 + 200 * 26 * 8 * 120)
= 8925000 / 9282000 ≈ 96.15%
工作月长度变动对工业总产量影响的绝对额： ∑(a1 * b1 * c0 * d0) - ∑(a1 * b0 * c0 * d0) = 8925000 – 9282000 = -357000(件) 由于工作日长度变动对工业总产量的影响：
工作日长度指数：∑(a1 * b1 * c1 * d0) / ∑(a1 * b1 * c0 * d0)
= (220 * 25 * 7.5 * 100 + 200 * 25 * 7 * 120) / (220 * 25 * 7.5 * 100 + 200 * 25 * 8 * 120)
= 8325000 / 8925000 = 93.28%
工作日长度变动对工业总产量影响的绝对额： ∑(a1 * b1 * c1 * d0) / ∑(a1 * b1 * c0 * d0) = 8325000 – 8925000 = -600000(件) 由于时劳动生产率变动对工业总产量的影响：
时劳动生产率指数：∑(a1 * b1 * c1 * d1) / ∑(a1 * b1 * c1 * d0)
= (220 * 25 * 7.5 * 120 + 200 * 25 * 7 * 125) / (220 * 25 * 7.5 * 100 + 200 *
25 * 7 * 120)
= 9325000 / 8325000 ≈ 112.01%
时劳动生产率变动对工业总产量影响的绝对额： ∑(a1 * b1 * c1 * d1) - ∑(a1 * b1 * c1 * d0) = 9325000 – 8325000 = 1000000(件) 各指数间的相互关系：
104.39% * 96.15% * 93.28% * 112.01% ≈ 104.87 390000 - 357000 - 600000 + 1000000 = 433000
上述计算结果表明，该公司工业总产量报告期比基期增长了4.87%，其绝对额增加了433000件。其中平均工人数增长了4.39%，影响工业总产量增加390000件；工作月长度下降了3.85%，影响工业总产量减少357000件；工作日长度下降了6.72%，影响工业总产量减少600000；时劳动生产率增长了12.01%，影响工业总产量增加1000000。即工业总产量增长的原因是通过增加工人数和提高劳动生产率。
17．某百货公司三种商品销售额和价格变动资料如下表所示：
要求：从绝对数和相对数两方面对销售额变动进行因素分析。
商品销售额的变动：
-Kpq = ∑(p1 * q1) / ∑(p0 * q0) = 112 / 80 = 140%
销售额变动的绝对额 = ∑(p1 * q1) - ∑(p0 * q0) = 112 – 80 = 32(万元) 其中：价格变动对销售额的影响：
-Kp = ∑(p1 * q1) / ∑(p0 * q1) = ∑(p1 * q1) / ∑(p1 * q1 / Kp) = (80 + 20 + 12) / (80 / 1.04 + 20 / 0.98 + 12 / 1) = 112 / 109.33 ≈ 102.44% 价格变动对销售额影响的绝对额：
∑(p1 * q1) - ∑(p1 * q1 / Kp) = 112 - 109.33 = 2.67(万元) 其中：销量变动对销售额的影响：
= 16.8 / 19.875 ≈ 84.53%
总的平均单位产品成本变动的绝对数：-z1 - -z0 = 16.8 - 19.875 = -3.075(元/件) ⑵从相对数和绝对数两方面分析说明总平均单位产品成本变动中，受单位产品成本水平与产量结构变动的影响。
其中：各企业产品平均单位产品成本水平变动的影响：
固定构成指数：-K-z = -z1 / -zn = (∑(z1 * q1) / ∑q1) / (∑(z0 * q1) / ∑q1) = 16.8 / 19.4 ≈ 86.60%
影响绝对额：-z1 - -zn = (∑(z1 * q1) / ∑q1) - (∑(z0 * q1) / ∑q1) = 16.8 - 19.4 = -2.6(元/件) 各企业产量结构变动的影响：
结构影响指数：-K(q/∑q) = -zn / -z0 = (∑(z0 * q1) /∑q1)/(∑(z0 * q0)/∑q0) = 19.4 / 19.875 ≈ 97.61%
影响绝对额：-zn - -z0 = (∑(z0 * q1) /∑q1) - (∑(z0 * q0)/∑q0) = 19.4 - 19.875 = -0.475(元/件) 三个指数之间的联系为： 84.53% = 86.60% * 97.61% -3.075 = -2.6 + (-0.475)
上述计算结果说明，一方面由于所属各企业平均单位产品成本水平变动使总的平均单位产品成本下降了13.4%，减少了2.6元/件；另一方面由于所属各企业产量结构变动使总的平均单位产品成本下降了2.39%，减少了0.475元/件。也就是说，该公司总的平均单位产品成本下降的原因主要是由于所属各企业平均单位产品成本变动的影响，即占成本较大比较的乙、丙企业成本下降所致。
19．某企业工人数及工资资料如下表：
要求：⑴计算各组工人工资个体指数；
技术工人工资个体指数：-Ka = x1 / x0 = 1700 / 1600 = 106.25% 普通工人工资个体指数：-Ka = x1 / x0 = 900 / 800 = 112.50% ⑵计算总平均工资指数；
基期总平均工资：-x0 = ∑(x0 * f0) / ∑f0
= (1600 * 4000 + 800 * 600) / (4000 + 600) = 6880000/4600 ≈ 1495.65(元/人) 报告期总平均工资：-x1 = ∑(x1 * f1) / ∑f1
= (1700 * 630 + 900 * 870) / (630 + 870) = 1854000/1500 = 1236(元/人) 总的平均工资变动情况：
可变构成指数（总平均工资指数）：-K = -x1 / -x0 = (∑(x1 * f1) / ∑f1) / (∑(x0 * f0) / ∑f0) = 1236 / 1495.65 ≈ 82.64%
总平均工资变动的绝对数：-x1 - -x0 = (∑(x1 * f1)/∑f1) - (∑(x0 * f0)/∑f0) = 1236 - 1495.65 = -259.65(元/人)
计算结果表明，该企业总平均工资报告期比基期下降了17.36%，在绝对数上减少了259.65元。
⑶对总平均工资变动进行因素分析；
假定的总平均工资：-xn = ∑(x0 * f1) / ∑f1
= (1600 * 630 + 800 * 870) / (630 + 870) = 1704000/1500 = 1136 (元/人) 其中：各组工人平均工资水平变动的影响：
固定构成指数：-K-x = -x1 / -xn = (∑(x1 * f1) / ∑f1) / (∑(x0 * f1) / ∑f1) = 1236 / 1136 ≈ 108.80%
影响绝对额：-x1 - -xn = (∑(x1 * f1) / ∑f1) - (∑(x0 * f1) / ∑f1) = 1236 – 1136 = 100(元/人) 各组工人人数结构变动的影响：
结构影响指数：-K(f/∑f) = -xn / -x0 = (∑(x0 * f1)/∑f1) / (∑(x0 * f0)/∑f0) = 1136 / 1495.65 ≈ 75.95%
影响绝对额：-xn - -x0 = (∑(x0 * f1) / ∑f1) / (∑(x0 * f0) / ∑f0) = 1136 - 1495.65 = -359.65(元/人)
上述计算结果表明，一方面由于各组工人平均工资水平变动使总的平均工资上升了8.80%，增加了100元；另一方面由于各组工人人数结构的变动又使总平均工资下降了24.05%，减少了359.65元。二者相抵后，使总平均工资报告期比基期下降了17.36%，减少了259.65元。也就是说，该企业总平均工资下降的原因主要是由于各组工人人数结构变动的影响，即工资水平较高的技术工人数由基期占总人数的87%下降到报告期占总人数的42%，而工资水平较低的普通工人数由基期占总人数的13%上升到报告期占总人数的58%所致。 ⑷比较各组工人工资个体指数与总平均工资指数的差异，并分析出现差异的原因；
由上述计算可知：技术工人工资个体指数上升了6.25%，普通工人工资个体指数上升了12.5%，即各组工人个体指数都有明显上升。但是总平均工资报告期比基期下降了17.36%，减少了259.65元，与实际情况明显不符。
出现差异的原因：由于各组工人人数结构变动的影响，使总平均工资下降了24.05%，减少了359.65元。即工资水平较高的技术工人数由基期占总人数的87%下降到报告期占总人数的42%，而工资水平较低的普通工人数由基期占总人数的13%上升到报告期占总人数的58%所致。
⑸计算由于平均工资水平的变动对企业工资总额变动的影响额；
平均工资指数-Kx = ∑(x1 * f1) / ∑(x0 * f1)
= (1700 * 630 + 900 * 870) / (1600 * 630 + 800 * 870) = 1854000 / 1704000 ≈ 108.80%
平均工资水平变动对企业工资总额变动的影响额：∑(x1 * f1) - ∑(x0 * f1) = 1854000 – 1704000 = 150000(元)
⑹从相对数和绝对数两方面对该企业工资总额变动进行因素分析。
工资总额指数-K = ∑(x1 * f1) / ∑(x0 * f0)
= (1700 * 630 + 900 * 870) / (1600 * 4000 + 800 * 600) = 1854000 / 6880000 ≈ 26.95%
工资变动总额：∑(x1 * f1) - ∑(x0 * f0) = 1854000 – 6880000 = -5026000(元) 其中，各组工人人数变动的影响：
工人人数指数-Kf = ∑(x0 * f1) / ∑(x0 * f0)
= (1600 * 630 + 800 * 870) / (1600 * 4000 + 800 * 600) = 1704000 / 6880000 ≈24.77%
工人人数变动影响工资总额变动额：∑(x0 * f1) - ∑(x0 * f0) = 1704000 – 6880000 = -5176000(元) 三个指数之间的联系为： 108.80% * 24.77% = 26.95%
150000元 - 5176000元 = -5026000元
上述计算结果说明，由于平均工资水平上升了8.80%，使工资总额增加了150000元；由于工人人数下降了75.23%，使工资总额减少了5176000元。两方面共同作用，最终导致工资总额下降了73.05%，减少了5026000元。
第5章 线性规划介绍
思考与练习
1．某工厂生产甲、乙两种产品，所耗用的原材料A、B，单件利润以及原材料库存数列表如下所示：
甲、乙两种产品各自应该生产多少件可使该厂获利最大？建立此规划问题的数学模型。 解：设生产产品甲X1件，产品乙X2件。
≥0，i = 1，2 ≤ 12 ≤ 10
约束条件为：
目标函数为：maxS = 6 * X1 + 8 * X2
用图解法：在直角坐标系平面上画出由约束条件确定的X1、X2的可行域OABC。
minS = 10 * X11 + 6 * X12 + 3 * X13 + 5 * X21 + 4 * X22 + 9 * X23
使用表上作业法，其运价和供销平衡表如下所示：
第一步，用最小元素法（即优先供应单位运价最小的销地的粮食），在表上求初始调动方案。
运价表中最小的运价是A1B3处的3，应优先将粮库A1的600吨粮食调运给市场B3，满足其620吨需求中的600吨。在初始调运方案表中，A1B3处填上600，粮库A1已经没有粮食可供货了，不再考虑运价表的第一行。
运价表除去第一行后，最小运价是A2B2处的4，应从粮库A2调运500吨粮食运给市场B2满足其需求。在初始调运方案表中，A2B2处填上500，市场B2的需求已经满足了，不再考虑第二列。
运价表中除去第一行、第二列后，最小运价是A2B1处的5，应从粮库A2调运280吨粮食满足市场B1的需求。在初始调运方案表中，A2B1处填上280，B1市场已经满足了，不再考虑第一列。
最后，再将粮库B2剩余的20吨粮食运给市场B3，在初始调运方案表的A2B3处填上20。 经过上述4小步，初始调运方案表确定了，如下：
总运费为：3 * 600 + 5 * 280 + 4 * 500 + 9 * 20 = 5380
第二步，用闭回路法求检验数，共有λij = 2 * 3 – (2 + 3 – 1) = 2个。 对初始调运方案求检验数：
在A1B1空格处的λ11 = -5 + 9 – 3 + 10 = 11
在A1B2空格处的λ12 = -4 + 9 – 3 + 6 = 8
由所有检验数均大于零可知，此调整方案即最优调整方案。因而将粮库A1处的粮食600吨调往市场B3，将粮库A2处的粮食280吨调往市场B1，将粮库A2处的粮食500吨调往市场B2，将粮库A2处的粮食20吨调往市场B3，可使总运费最省，总运费为5380。
3．设两种零件I、II都可以由机器A、B、C加工。在单位时间内，A能加工40个I或50个II，A能加工25个I或60个II，C能加工50个I或100个II。每套产品是由1个零件I和1个零件II构成的。如何安排机器加工，可以在单位时间内使成套的产品达到最多？
解：据题意，用Tij（i = 1，2，3；j = 1，2）分别表示机器A、B、C生产零件I、II所用的时间。可用一组六元线性方程表示以上变量所满足的约束条件，具体如下：
Tij≥0，i = 1，2，3；j = 1，2
T11 + T12 = 1
T21 + T22 = 1
T31 + T32 = 1
40 * T11 + 25 * T21 + 50 * T31 = 50 * T12 + 60 * T22 + 100 * T32
再用一个三元线性函数表示用三台机器生产两种零件的最大效率，具体如下：
maxS = 40 * T11 + 25 * T21 + 50 * T31或maxS = 50 * T12 + 60 * T22 + 100 * T32 用效率比法：将问题用效率比法合理安排生产，可使配套产品最多。将三台机器在单位时间生产两种零件的加工效率相比，若将零件I与零件II的数量相比，并通分母，可在三台机器加工相同数量的零件II时，确定哪台机器加工零件I的数量最多。
若将零件II与零件I的数量相比，并通分母，可在三台机器加工相同数量的零件I时，确定哪台机器加工零件II的数量最多。具体如下：
由，机器A：I / II = 40/= 50 = 4/5 = 48/60
机器B：I / II = 25/60 = 5/12 = 25/60
机器C：I / II = 50/100 = 1/2 = 30/60
可知机器A在单位时间加工零件I的效率最高。
又由，机器A：II / I = 50/40 = 5/4 = 25/20
机器B：II / I = 60/25 = 12/5 = 48/20
机器C：II / I = 100/50 = 2 = 40/20
可知机器B在单位时间加工零件II的效率最高。
可令机器A在单位时间加工零件I，机器B在单位时间加工零件II，机器C用时间t加工零件I和时间1 – t加工零件II，可使加工的配套产品最多。
列方程40 + 50 * t = 60 + 100 * (1 – t)，得t = 0.8
可知最多套数为：
40 + 50 * 0.8 = 80或60 + 100 * (1 – 0.8) = 80。
4．设有A、B两种零件，在一天内工人甲可以生产3个零件A或18个零件B，工人乙可以生产5个零件A或12个零件B，每套产品是由1个零件A和2个零件B构成的。如何分配工人生产加工，可使一天内生产的成套产品最多？
解：据题意，用Tij分别表示工人甲、乙在一天内生产零件A、B所用的时间，可用一组4元线性方程表示以上变量所满足的约束条件，具体如下： ≥0，i = 1，2；j = 1，2
T11 + T12 = 1
T21 + T22 = 1
再用一个2元线性函数表示2个工人生产两种零件的最大效率，具体如下：
maxS = 3 * T11 + 5 * T21或maxS = (18 * T12 + 12 * T22) / 2
将问题用效率比法合理安排生产，可使配套产品最多。
由工人甲：A / B = 3/18 = 1/6 = 2/12
工人乙A / B = 5/12
可知工人乙在单位时间加工零件A的效率最高。
又由工人甲B / A = 18/3/2 = 3
工人乙B / A = 12/5/2 = 1.2
可知工人甲在单位时间加工零件B的效率最高。
如果令工人乙全天时间生产零件A，工人甲用时间t生产零件A和时间1 – t生产零件B，可使加工的配套产品最多。
列方程5 + 3 * t = 18 * (1 – t) / 2，得t = 1/3。
可得最多套数为：
3 * 1/3 + 5 * 1 = 6或18 * (1 – 1/3) / 2 = 6。
若令工人甲全天时间生产零件B，工人甲用时间t生产零件B和时间1 – t生产零件A，可使加工的配套产品最多。
则可列方程5 * (1 – t) = (18 + 12 * t) / 2，得t = -4/11 < 0。因此此方案不成立。
5．在某种产品的零件加工中，零件I和零件II都可以在机床A、B、C上加工，每个产品由1个零件I和3个零件II组成。在一个工作日中，机床A可以加工10个零件I或20个零件II，机床B可以加工20个零件I或30个零件II，机床C可以加工30个零件I或80个零件II。在一个工作日内，如何安排机床加工可使成套产品达到最多？
解：用效率比法合理安排生产，可使成套产品最多。
由机床A：I / II = 10/20 = 1/2 = 12/24
机床B：I / II = 20/30 = 2/3 = 16/24
机床C：I / II = 30/80 = 3/8 = 9/24
可知机床B在单位时间加工零件I的效率最高。
由机床A：II / I = 20/10 = 2 = 12/6
机床B：II / I = 30/20 = 3/2 = 9/6
机床C：II / I = 80/30 = 8/3 = 16/6
可知机床C在单位时间加工零件II的效率最高。
令机床B在一个工作日中加工零件I，机床C在一个工作日中加工零件II，机床A用时间t加工零件I和时间1 – t加工零件II，可使加工的成套产品最多。
列方程10 * t + 20 = (20 * (1 – t) + 80) / 3，得t = 0.8。
可知最多套数为：10 * 0.8 + 20 = 28或(20 * (1 – 0.8) + 80) / 3 = 28。
并且使函数f(x, y) = -3x + 2y达到最小的x、y的值。
解：在直角坐标系平面上画出由约束条件确定的x、y的可行解域。如下图ABCD围成的四边形。
X + 2y = 8 y = 3
过原点O(0,0)的等值线为：2x + 5y = 0 过点D(4,0)的等值线为：2x + 5y = 8 过点A(0,3)的等值线为：2x + 5y = 15 过点C(4,2)的等值线为：2x + 5y = 18 过点B(2,3)的等值线为：2x + 5y = 19
即目标函数函数f(x,y) = 2x + 5y的最大值为19。 并且使函数f(x,y) = -x + 2y达到最小的x、y的值。 解：根据约束条件画可行解域，见下图OABC四边形：
再令-x + 2y = 0，画目标函数过原点的等值线，向右平行移动，最后经过可行解域的点C(6,0)。
过原点O(0,0)的等值线为：-x + 2y = 0 过点A(0,2)的等值线为：-x + 2y = 4 过点B(2/3,8/3)的等值线为：-x + 2y = 14/3 过点C(6,0)的等值线为：-x + 2y = -6
即目标函数f(x,y) = -x + 2y的最小值为-6。
9．将某物资从A1、A2、A3、A4、A5处运到B1、B2、B3、B4、B5处，其交通图如下图所示，求调运物资的最优方案。
解：此交通图有圈，先甩弧破圈再取一端，供需归邻站，作流向图。若甩弧A1B1（A1是发点，B1是收点），则没有圈了，有两端点A1、B1。可由端点A1发4到邻站B5；从A5发2到邻站B4；从A4发5邻站B4，再发3到邻站B3；从A3发1到邻站B3，再发1到邻站B2；从A2发6到邻站B1，再发3到邻站B2。得流向图如下所示：
上图运输总吨公理数为：4 * 3 + 2 * 4 + 5 * 5 + 3 * 3 + 1 * 2 + 3 * 5 + 6 * 4 = 97。此图圆长为：3 + 3 + 1 + 4 + 5 + 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = 32，半圆长为16。圈内有流向的弧长和为：5 + 2 + 5 = 12 < 16，圈外有流向的弧长为：3 + 4 + 3 + 2 + 4 = 16，可知此流向图是最优的。
B1 A1 B5 A5
10．判定下列流向图是否最优。如不是，将其调整为最优流向图。
(2) 5 (5) (2) (4) 5 J E
3 (5) (4) (7) (3) (10) 3 I F 1 H 3 G 4
解：此图圆长：2 + 3 + 3 + 5 + 3 + 4 + 3 + 1 + 3 + 5 = 32，半圆长16，运输总数为：10 * 3 + 3 * 4 + 7 * 3 + 4 * 1 + 5 * 3 + 2 * 5 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3 = 110。 圈内有流向的弧长和为：3 + 4 + 3 + 1 + 3 + 2 + 3 + 3 = 22 > 16，可知此流向图不是最优的。
给各站点编码，并将圈内的流量由大到小排序，并累加相应的弧长，如下表所示：
可将与累加弧长19相应的流量3作为调整量，在圈外各段弧旁均加流向A的调整量3，如下图：
(3) H (3) G (3)
再消除对流，得下图，即为最优流向图。圈外有流向的弧长和为：3 + 5 + 5 = 13 < 16，
3 (2) (1) (4) (7) 3 I F 1 H 3 G 4
圈内有流向的弧长和为：2 + 3 + 3 + 3 + 1 + 3 = 15 < 16，其运输总数为：2 x 2 + 1 x 3 + 1 x 3 + 3 x 5 + 7 x 3 + 4 x 3 + 1 x 1 + 2 x 3 + 5 x 5 = 90。
11．某运输公司在一天中接受的运输任务如下表所示：
其可行的交通路线示意图如下图所示：
做一个空车的最优流向图，并用之安排10辆载重5吨的汽车（车队设在码头），完成此项任务的循环路线。
解：将装货地点看作空车的收点，卸货地点看作空车的发点，先做空车收、发点的交通图，再做成最优的流向图。
先确定空车的收、发点。据车在码头装50吨煤、卸100吨钢材，可知码头是空车的发点，发点为50吨；又据车在火车站装糖100吨、卸大米50吨，可知火车站是空车的收点，收点为50吨；又知车在超市卸糖100吨，可知超市是空车的发点，发点为100吨；又据车在钢厂装钢材100吨、卸煤50吨，可知钢厂是空车的收点，收点为50吨；又据车在仓库装大米50吨，可知仓库是空车的收点，收点为50吨。因而空车收发点的交通图如下图所示： 仓库码头
求使总运费最省的调运方案。
解：第一步，用最小元素法（即优先运送单位运价最小的收点的货物），在表上求初始调运方案。
运价表中最小的运价是A1B3处的2，应优先考虑从A1发3吨货物到B3。在初始调运方案表中，A1B3处填上3，B3的货物已经发送完了，不再考虑运价表的第3列了。
运价表的第1、第2列中最小的运价是A1B2处的4，应将A1处剩余的1吨货运往B2。在初始调运方案表中，A1B2处填上1，发地A1已经无货可运了，不再考虑运价表的第1行。
运价表除去第1行、第3列后，最小运价是A2B2处的5，应从发地A2运2吨货到B2，收点B2的货已经发送完成了。在初始调运方案表中，A2B2处填上2。
最后，再将A2处剩余的3吨货运往B1，在初始调运方案表的A2B1处填上3。 经过以上4步，初始调运方案表确定了，见下表：
总运费为：4 x 1 + 2 x 3 + 8 x 3 + 5 x 2 = 44
第二步，用闭回路法求检验数，共有λij = 2 * 3 – (2 + 3 – 1) = 2个。 若检验数均≥0，则初始调运方案是最优的，否则要调整初始调运方案。
若检验数有< 0的，在最小的检验数的对应的空格的闭回路上，将所有奇数个拐点处的运量的最小数作为调整量，将此闭回路上所有奇数个拐点的运量均减此调整数，而所有偶数个拐点的运量均加此调整量，即为调整调运方案。
对初始调运方案表求检验数。
在A1B1空格处的λ11 = 6 – 4 + 5 – 8 = -1 < 0。
在A2B3空格处的λ23 = 4 – 2 + 7 – 5 = 4。
小于零的检验数有λ11 = -1，奇数个拐点的运量有1、3，取最小的1作为调整量。在
奇数个拐点的运量均减1，在偶数个拐点的运量均加1，得调整调运方案，由m + n – 1 = 2 + 3 – 1 = 4，再将0去掉，如下表所示：
再求检验数：
在A1B2空格处的λ12 = 4 – 6 + 8 – 5 = 1。 在A2B3空格处的λ23 = 6 – 2 + 7 – 8 = 3。
由所有的检验数均大于0可知，此调整方案即最优调运方案。因而从发点A1处发1吨
货到收点B1、3吨货到收点B3，从发点A2处发2吨货到收点B1、3吨货到B2，可使总运费最省，总运费为：6 x 1 + 2 x 3 + 8 x 2 + 5 x 3 = 43。
13．某物流公司现有一批待运货物，其产销平衡表及运费单价如下表所示：
求使总运费最省的调运方案。
解：第一步，用最小元素法在表上求初始调运方案。如下表所示：
由于产地有3个，销地有4个，初始方案表填调运量的格子就有m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6个，所以需要在初始方案表左上角A1B1处补0使其为非空格。
总运费为：6 x 300 + 5 x 200 + 2 x 600 + 5 x 500 = 6500 第二步，用闭回路法对初始调运方案表求检验数： 在A1B4空格处的λ14 = 6 – 7 + 9 – 5 = 3。
在A2B2空格处的λ22 = 7 – 6 + 8 – 2 = 7。
在A2B3空格处的λ23 = 7 – 5 + 3 – 2 = 3。
在A2B4空格处的λ24 = 10 – 2 + 9 – 5 = 12。
在A3B2空格处的λ32 = 7 – 6 + 10 – 9 = 0。
在A3B3空格处的λ33 = 7 – 5 + 7 – 9 = 0。
由所有检验数均大于0可知，此初始调运方案即最优调运方案。因而将产地A1处的货
物运往销地B2处300吨、B3处200吨，将产地A2处的货物运往B1处600吨，将产地A3处的货物运往销地B1处200吨、B4处500吨，可使总运费最省，总运费为6500。
第6章 统计决策分析
思考与练习
1．进行决策分析需要具备哪些基本要素？具备了这些基本要素可以进行哪种类型的基本分析？若要进行概率型决策分析，除了这些基本要素以外，还需要什么要素？
进行决策分析需要具备的基本要素有： ⑴客观环境的可能状态集； ⑵决策者的可行行动集；
⑶决策行动的收益函数或损失函数。 基本分析的类型：
⑴确定性决策：决策者对客观环境完全确知的决策，决策者根据所掌握的客观环境的确切信息，采用数学规划方法找出对决策者最优的方案；
⑵非确定性决策：决策者对客观环境不能完全确知的决策，决策者需要根据对客观环境进行调查所掌握的统计信息，使用一定的统计分析推断方法找出使决策者满意的方案。可进一步分为：
①非概率型决策：决策者只知道客观环境有哪几种可能的状态，而对各种可能状态出现的概率大小一无所知；
②概率型决策：决策者不仅知道客观环境有哪几种可能的状态，而且知道每种可能状态出现的概率的大小；
2．非概率型决策分析的准则有哪些？这些准则各有什么特点？
⑴大中取大准则，也称乐观准则，决策者按照对客观环境状态的最乐观的设想，寻求取得最大的收益。其特点是：所选择的行动方案是所有行动方案收益函数最大值中的最大值。
⑵小中取大准则，也称悲观准则，决策者按照对客观环境状态的最悲观的设想，寻求取得最大的收益。其特点是：所选择的行动方案是所有行动方案下收益函数最小值中的最大值。
⑶折中准则，又称赫维茨准则，决策者可以根据知识和经验选取一个系数值α，0 < α< 1，作为对客观环境的乐观判断与悲观判断的折中系数，或者称为乐观系数，表示决策者对客观环境的乐观程度，然后用此折中系数计算每一个行动方案的最大收益和最小收益的折
⑴如果决策者拥有完全信息，那么决策者将会获得最大期望收益，即完全信息期望收益，它就是客观环境各种可能状态的最大收益的期望值。完全信息期望收益与先验概率型决策的期望收益之差，就称为完全信息期望价值，记作EVPI（Expected Value of Perfect Information）。其计算公式为：
EVPI = E[MaxQ(θ,a)] – MaxE[Q(θ,a)] a∈A a∈A
⑵样本信息期望价值，是后验概率条件下的最大期望收益减去先验概率条件下的最大期望收益，记作EVSI（Expected Value of Sampling Information）。其计算公式为：
EVSI = MaxE[Q(θ,a)/S] –MaxE[(θ,a)]
⑶抽样期望净得益，是样本信息期望价值与取得样本信息的费用之间的差额，记作ENGS（Expected Net Gain from Sampling）。记取得样本信息的费用为CS（Cost of Sampling），则抽样期望净得益的计算公式为：
ENGS = EVSI - CS
联系：完全信息期望价值和样本信息期望价值都是相对于先验概率型决策的期望收益增加值，由于样本信息是不完全的信息，因此完全信息期望价值 > 样本信息期望价值，而抽样期望净得益＝样本信息期望价值－取得样本信息的费。
6．什么是敏感性分析？为什么要进行敏感性分析？
敏感性分析就是对最优方案的稳定性即可靠性进行分析，就是分析客观环境可能状态出现概率的变化对最优方案的影响。
决策分析中各种行动方案的取舍，取决于两方面的因素，一是各行动方案在各种状态下的损益值，二是各种客观状态出现的概率值。后者往往是根据过去的经验和主观判断以及抽样观测估计得出，因而不可能十分准确，由此所计算的损益期望值也就不十分准确，据此而确定的最优方案自然也不十分可靠。但是，在不同的决策问题中，客观环境可能状态的概率值准确与否对方案取舍的影响是不同的，有时概率值虽然不很准确，但对方案取舍影响不大，有时影响却很大。如果客观状态出现概率的轻微变化会引起最优方案的改变，那么这一最优方案就是不稳定的，对客观状态出现概率的变化是敏感的；如果客观状态出现概率即使有较大变化也不会引起最优方案的改变，那么这一最优方案就是相当稳定的，对客观状态概率变化不敏感。显然，在最优方案不稳定的情况中，决策者对各种行动方案的取舍必须特别小心谨慎。因此，有必要对最优方案的稳定性进行分析，以避免决策的失误。
7．某企业似开发一种新产品供应市场，该产品的售价估计为每个3.5元，生产的变动成本为每个2.0元，固定成本为3750元。该企业预计市场对这种新产品的需求量可能是2000个，也可能是3000个，还可能是4000个或5000个，现在该企业面临着生产量应该选择多大的决策问题。试为该企业写出其收益函数和条件收益矩阵，并分别用大中取大准则、小中取大准则和最小最大后悔值准则为该企业选出其最佳生产量方案。
解：首先，必须对客观环境的可能状态，即市场对这种新产品的需求量有所了解。该新产品市场需求量的可能状态共有4种，即市场的需求量可能为2000个、3000个、4000个、5000个。
其次，要作出决策，该企业必须拟订出多种可行的行动方案，即生产量方案。根据上述对市场需求状况的判断，该企业可选择的生产量方案可以有生产2000个、3000个、4000个、5000个。
最后，要作出决策，还必须给出决策行动的收益函数或损失函数。记该种新产品的市场需求量为θ，并记该产品的生产量为a。该产品每销售1个可以获得盈利为3.5 – 2 = 1.5元，销售不出去则损失2元，由于该企业固定成本为3750元，所以可以写出该决策行动的收益函数即利润函数为：
,a) = 1.5 * a – 3750, θ≥a
1.5 * θ – 2 * (a -θ) - 3750, θ < a
由此收益函数可以计算出该企业每一生产量决策在各种可能的市场需求量之下的利润额矩阵表，如下：
各种生产量方案的条件盈利矩阵 单位：元
⑴大中取大准则
也称乐观准则，决策者按照对客观环境状态的最乐观的设想，寻求取得最大的收益。按照这种准则进行决策，首先可以找出每个行动方案下收益函数的最大值，然后再找出这些最大值中的最大值，并将此最大值所属的行动方案作为最终选择出的行动方案。如果记大中取大准则下的最佳行动方案为a*，则有：
Q(θ,a*) = MaxMax Q(θ,a)
在该企业生产量的决策中，当生产2000个时，最大盈利为-750元；当生产3000个时，最大盈利为750元；当生产4000个时，最大盈利为2250元；当生产5000个时，最大盈利为3750元。这4个最大盈利值中的最大值是3750元，其所属的行动方案是生产5000个。按照大中取大准则，应该选择生产5000个这一行动方案。
⑵小中取大准则
也称悲观准则，决策者按照对客观环境状态的最悲观的设想，寻求取得最大的收益。按照这种准则进行决策，首先可找出每个行动方案下收益函数的最小值，然后找出这些最小值中的最大值，并将此最大值所属的行动方案作为最终选择出的行动方案。如果记小中取大准则下的最佳行动方案为a*，则有：
Q(θ,a*) = MaxMinQ(θ,a)
a∈A θ∈Θ
在该企业生产量的决策中，当生产2000个时，最小盈利是-750元；当生产3000个时，最小盈利是-2750元；当生产4000个时，最小盈利是-4750元；当生产5000个时，最小盈利是-6750元。这4个最小盈利值中的最大值是-750元，其所属的行动方案是生产2000个产品。按照小中取大准则，应该选取生产2000个这一行动方案。
⑶最小的最大后悔值准则
也称最小的最大机会损失准则、大中取小准则、萨维奇准则，它是从损失函数角度出发给出的决策。按照这种准则进行决策，首先可找出每个行动方案下损失函数的最大值，然后找出这些最大值中的最小值，并将此最小值所属的行动方案作为最终选择出的行动方案。可见，这种决策准则是设想决策者对客观环境的状态抱有最悲观的看法，并寻求使损失达到最小。如果记大中取小准则下的最佳行动方案为a*，则有：
L(θ,a*) = MinMaxL(θ,a)
a∈A θ∈Θ
对于该企业新产品生产量的决策问题，可能的损失有3种，一是固定生产成本，二是生产可能大于需求的产品生产成本损失，三是由于生产量太少不能满足需求而少赚取利润的损失即机会损失。本题中，企业的固定生产成本损失为3750元；若企业的生产量多于需求量，则多生产的产品每个损失2元；若企业的生产量少于需求量，则每少生产一个就少赚造成机会损失：3.5 – 2 = 1.5元。如果记新产品的市场需求量为θ，企业的生产量为a，则由
上述分析可以写出该决策问题的损失函数为：
由此损失函数可以计算出企业的每一生产量决策在各种可能的市场需求量之下的损失额矩阵表，如下：
各种生产量行动方案的条件损失矩阵 单位：元
由上表可以看出，当生产2000个时，最大损失是8250元；当生产3000个时，最大损失是6750元；当生产4000个时，最大损失是7750元；当生产5000个时，最大损失是9750元。这4个最大损失值中的最小值是6750元，其所属的行动方案是生产3000个产品。按照大中取小准则，应该选取生产3000个这一行动方案。
8．某报刊零售商经销某种财经月刊，该刊物的购进价格为每份6元，零售价格为每份10元。这种财经刊物的销售周期一般为2个月，如果从该刊物出版发行日起2个月内销售不出去，一般将不会再有人问津，剩余的刊物也就不再有价值。为了能够较准确地确定出该刊物的购进数量，该报刊零售商对过去此类刊物的销售量资料进行了整理，得出了每期刊物销售量的频率分布如下表所示： 试根据上述资料，使用先验概率型决策方法，帮助该报刊零售商作出每期应购进多少份该刊物的最佳解决方案。
解：根据过去的销售数据可知，该零售商购进财经月刊数量的可行方案有购进50份、60份、70份、80份、90份共5种。由于购进的每份财经月刊销售出去可得盈利4元，销售不出去则损失6元。记财经月刊的需求量为θ，购进量为a，所以可以写出该决策问题的收益函数为：
计算得出5种购进方案的条件盈利矩阵如下表所示：
E[Q(θ,a3)] = ∑Qi3 * Pi = 80 * 0.1 + 180 * 0.2 + 280 * (0.25 + 0.3 + 0.15) = 240 E[Q(θ,a4)] = ∑Qi4 * Pi = 20 * 0.1 + 120 * 0.2 + 220 * 0.25 + 320 * (0.3 + 0.15) = 225 E[Q(θ,a5)] = ∑Qi5 * Pi = -40 * 0.1 + 60 * 0.2 + 160 * 0.25 + 260 * 0.3 + 360 * 0.15 = 180
对各个方案的期望盈利进行比较，可知方案3即购进70份的期望利润最大，为240元。这表明如果该财经月刊会长期受欢迎且各期的市场需求分布相同的话，则该零售商每次都购进70份就会使平均利润达到最大。
本题也可以从损失的角度进行分析，由该刊物的需求量概率分布表和条件损失矩阵，可以计算出各种购进方案的期望损失分别为：
E[L(θ,a1)] = ∑Li1 * Pi = 0 * 0.1 + 8 * 0.2 + 20 * 0.25 + 36 * 0.3 + 24 * 0.15 = 88 E[L(θ,a2)] = ∑Li1 * Pi = 60 * 0.1 + 0 * 0.2 + 40 * 0.25 + 80 * 0.3 + 120 * 0.15 = 58 E[L(θ,a3)] = ∑Li1 * Pi = 120 * 0.1 + 60 * 0.2 + 0 * 0.25 + 40 * 0.3 + 80 * 0.15 = 48 E[L(θ,a4)] = ∑Li1 * Pi = 180 * 0.1 + 120 * 0.2 + 60 * 0.25 + 0 * 0.3 + 40 * 0.15 = 63 E[L(θ,a5)] = ∑Li1 * Pi = 240 * 0.1 + 180 * 0.2 + 120 * 0.25 + 60 * 0.3 + 0 * 0.15 = 108 比较各个行动方案的期望损失，可知行动方案3即购进70份的期望损失最小，为48元，所以购进70份为最佳方案，这与前面从期望收益进行分析得出的结论相同。
⑵最大可能准则
期望损益准则无疑是进行重复性决策的一个不错的准则，但对于一次性决策来说，平均意义的期望收益和期望损失根本无从谈起，所以期望损益准则并不合适。在一次性决策中，一个可用的准则就是最大可能准则。所谓最大可能准则，就是选择在最有可能出现的客观状态下收益最大或损失最小的行动方案作为最终选定的行动方案。
对于该零售商购进刊物的决策问题，由刊物需求量概率分布表可以看出，需求80份的概率最大，为0.30，所以需求80份是最大可能出现的状态。在此状态下，如果购进50份，则盈利200元；如果购进60份，则盈利240元；如果购进70份，则盈利280元；如果购进80份，则盈利320元；如果购进90份，则盈利260元。比较这5个盈利值，可以看出购进80份的盈利最大，为320元，所以按照最大可能准则，购进80份应该是最佳的行动方案。
⑶决策树技术
图的最左面的方框称为决策点，表示各行动方案由此点引出。由于该决策问题共有5个可供选择的方案，所以要从决策点引出5条粗枝直线，称为方案枝。在每个方案枝的末端画有一个圆圈，称为状态点，意指各客观状态由此点引出。在本题中，每一个方案下都有5
种不同的客观状态，所以可以从状态点引出5条细枝直线，这些直线称为状态枝。将各个客观状态出现的概率标在相应的状态枝上，并在各状态枝的末梢标出相应的损益值，则由各状态点所引出的各状态枝上的损益值和概率就可计算出该方案的期望损益值。每个方案对应着一个状态点，所以可以把各方案的代号写在相应的状态点的圆圈内，将计算出的各方案的期望损益值标在相应的方案枝上，则通过比较各状态点上的期望损益值就可找出最优行动方案。
在决策树中，若同一状态点所引出来的状态枝的末梢的损益值相同，则可将这些损益值相同的状态枝合并为一个状态枝，将原状态枝上的概率相加作为合并后的状态枝上的概率，状态枝末梢的损益值不变，从而可将决策枝简化。从盈利的角度分析，在零售商购进多少份刊物的决策中，由于在购进50份这一方案枝上，不论市场需求处于哪种状态其条件盈利均为200元，所以可以将该方案的状态点所引出的5条状态枝全部合并；同理，在购进60份这一方案枝上，可将市场需求60份、70份、80份、90份4个状态枝合并；详见下图。在该图中，比较5个方案枝上的期望利润值，可见购进70份的期望利润最大，该方案为最优方案。其它4个方案枝都应该舍弃，所以在决策树中要将其它4个方案枝剪掉。
⑷边际分析决策
在不确定性决策问题中，如果行动方案和客观状态都是有序的数量，那么就可以用一个变量来表示，分别称为决策变量和状态变量，决策的目标就是确定出最佳的决策变量值。只有当边际收益等于边际成本时，即边际利润等于0时，决策变量值才达到了最优水平，是决策变量取值最优的必要条件。
进行比较分析决策，还必须考虑到客观环境的有利情形和不利情形各自出现的概率。设有利客观环境出现的概率为p，则不利情形出现的概率为(1 - p)，再设客观环境有利情形下的边际利润为MR，客观环境不利情形下的边际利润即边际损失为ML，则决策变量值每增加一个单位数值的边际利润期望值为：
E(MR) = MQ x P + ML x(1 – p)
在本题中，每份刊物进价为6元，售价为10元，零售商每多购进1份月刊，当市场状态有利时可赚：10 – 6 = 4元的利润，即每多购进1份月刊的边际利润为4元；而当市场状态不利时就会导致损失，边际利润为-6元，即每多购进1份月刊的边际损失为6元。由此可以计算得出最优行动方案的临界概率值为：
pe = ML / (MQ + ML) = 6 / (4 + 6) = 0.6
这说明对于给定的一个购进量数值，若再多购进1份月刊，其销售出去的概率大于0.6，则订购量就应该增加；若其可销售出去的概率小于0.6，则订购数量就应该减少。
为了求出最优的购进数量，需要计算各种购进量可销售出去的概率。由于市场的最低需求量为50份，所以购进50份可销售出去的概率为1；再多购进10份可销售出去即可销售60份的概率为0.9，它正好等于销售60份、70份、80份、90份的概率之和；依此类推，可以求得，再购进第70份可销售出去的概率为0.7，再购进第80份可销售出去的概率为0.45，再购进第90份可销售出去的概率为0.15。各购进量可全部销售出去的概率计算如下表所示：
由上表可以看出，累计概率随着购进量的增加而减少，这导致了期望边际收益的减少和期望边际损失的增加。当购进量≤70份时，每多购进10份月刊其可以销售出去的概率均大
于临界概率0.6，所以增加的期望边际收益均大于所增加的期望边际损失，这说明此时应增加购进量。但是，当购进量达到或超过80份时，每多购进10份月刊其可销售出去的概率均小于临界概率0.6，所增加的期望边际收益均小于所增加的期望边际损失，这说明此时应减少购进量。因此，购进70份是最优行动方案，这与前面用损益表及决策树分析得出的结论相同。
9．某进口商品经销商拟进口一种外国品牌产品，该进口商估计，如果这种外国品牌产品在本地市场畅销，则可净赚70万元；如果在本地市场滞销，则要亏损10万元。并且，该进口商还估计，这种外国品牌产品在本地市场畅销的概率为0.40，滞销的概率为0.60。如果想取得更多的信息，该进口商还可花费3万元在本地市场进行一次消费者调查，这种调查的可靠程度为80%。试根据这些资料，求出该外国品牌产品在本地市场销售状况的后验概率分布，并用后验概率型决策分析方法帮助该进口商作出是否进口该外国品牌产品的决策。
解：根据题意，该外国品牌产品在本地市场销售状况的先验概率分布如下表：
两种行动方案的预计利润
市场调查得出各种调查结论的条件概率如下表：
根据市场销售状态的先验概率分布和市场调查得出各种调查结论的条件概率分布，使用贝叶斯法则，就可以分别计算出当调查得出畅销的调查结论时和得出滞销的调查结论时市场实际销售状态的后验概率分布。记市场畅销为A1、滞销为A2，市场调查得出畅销的调查结论为B1、得出滞销的调查结论为B2，使用贝叶斯法则可得在市场调查得出畅销结论时市场实际销售状态的好与差两种状态的后验概率分别为：
P(A1/B1) = P(A1) * P(B1/A1)/∑(P(Aj) * P(B1/Aj)) = 0.4 * 0.8 /(0.4 * 0.8 + 0.6 * 0.2) ≈ 0.73
第二阶段的决策分析：使用逆向分析方法，按照期望收益准则，由上图中所标出的决策
第二阶段各种市场状态的概率和条件利润就可以计算出各种行动方案的期望利润。其中，如果在决策第一阶段进行了市场调查，则计算各行动方案的期望利润需要使用各种市场可能状态的后验概率，而如果在决策的第一阶段没有进行市场调查，则计算各行动方案的期望利润需要使用各种市场可能状态的先验概率。记在决策第二阶段中进口的经销方案为a21、不进口的经销方案为a22，市场畅销的状态为θ21、滞销的状态为θ22，并记决策第二阶段中第j种经销方案在第i种市场状态下的条件利润为Q(θ2i,a2j)，则由数学期望的计算公式就可分别计算得出决策第二阶段各种经销方案的期望利润，计算过程和计算结果见下表：
进口商产品经销决策第二阶段各种经销方案的期望利润
将上表计算出的决策第二阶段各种经销方案的期望利润分别标在上图中相应的各个方案枝上，然后进行比较。经过比较可以看出，如果决策第一阶段进行了市场调查，则当市场调查结果为畅销时，该进口商采取进口该外国品牌产品可获期望利润48.4万元，如果不进口则没有利润，所以采取进口的经销方案；而当市场调查结果为滞销时，该进口商采取进口该外国品牌产品可获期望利润1.2万元；所以应采取进口该外国品牌产品的经销方案；如果决策第一阶段没有进行市场调查，该进口商采取进口该外国品牌产品可获期望利润22万元，应采取进口该外国品牌产品的经销方案。因此，在决策树中应将所有的不进口方案枝都剪掉。
第一阶段的决策分析：记决策第一阶段进行市场调查的行动方案为a11、不进行市场调查的行动方案为a12，第j种经销方案在第i种市场状态下的条件利润为Q(θ1i,a1j)，则按照期望收益准则进行决策就需要分别计算出决策第一阶段各个行动方案的期望利润，然后再进行比较。
在决策第一阶段不进行市场调查这一行动方案的最大期望利润已经由上表计算得出，为E[Q(θ1,a12)] = 22万元，为了比较进行市场调查和不进行市场调查2种行动方案的最大期望利润的大小，还需要计算出进行市场调查这一方案的最大期望利润。为此，需先计算出进行市场调查后调查结果为畅销和调查结果为滞销的2种调查结果各自出现的概率，这两个
概率即为事件B1和B2的边缘概率。其值分别为：
P(B1) = ∑(P(Aj) * P(B1/Aj)) = 0.4 * 0.8 + 0.6 * 0.2 = 0.44
P(B2) = ∑(P(Aj) * P(B2/Aj)) = 0.4 * 0.2 + 0.6 * 0.8 = 0.56
由于在调查结果为畅销或滞销时，该进口商都采取进口该外国品牌产品的经销方案，可获最大期望利润分别为48.4和1.2万元。所以如果决策第一阶段进行了市场调查，该进口商可获得的最大期望利润为：
E[Q(θ1,a11)] = ∑(Qi1 * P(Bi)) = 48.4 * 0.44 + 1.2 * 0.56 = 21.968(万元) 将进行市场调查方案的最大期望利润21.968万元和不进行市场调查方案的最大期望利润22万元相比，即使不考虑进行市场调查的费用3万元，前者也低于后者，该进口商也应该选择不进行市场调查这一方案。因此，在决策树中应将进行市场调查这一方案枝剪掉。
第7章 与决策相关的成本、风险和不确定性
思考与练习
1．简述与决策相关的成本概念包括哪些。
相关成本是指与特定决策方案相联系的、能对决策产生重大影响的、在短期经营决策中必须考虑的成本。包括：
⑴差量成本，是指不同备选方案之间预计成本的差额。
⑵边际成本，是指总成本对产量的无限小变化的变动部分，即当产量增加或减少一个单位时总成本所发生的变化量。
⑶机会成本，是指在经营决策中应由中选的最优方案负担的、按所放弃的次优方案潜在收益计算的那部分资源损失。它以经济资源的稀缺性和多种选择机会的存在为前提。
⑷付现成本，又称现金支出成本，是指由现在或将来的任何决策所能够改变其支出数额的成本。
⑸重置成本，又称现行成本，是指按当前市场价格重新取得某项现有资产所需支付的成本。
⑹专属成本，又称特定成本，是指那些能够明确归属于特定决策方案的固定成本或混合成本。它往往是为了弥补企业生产能力不足的缺陷，增加机器设备等有关固定资产而发生的。
⑺可避免成本，是指通过某项决策行动可以改变其数额的成本。这种成本发生与否，完全取决于与之相联系的特定备选方案是否被选中。换言之，可避免成本与某一备选方案直接
相联系，采用这一方案时它必然发生，如果不采用这一方案则不会发生。
⑻可延缓成本，是指在决策中对其暂缓开支不会对企业未来的生产经营活动产生重大影响的那部分成本。这种成本与某一特定备选方案相联系，由于各种原因推迟该方案的实施时，它可以随之推迟发生。可延缓成本与可避免成本的主要区别在于，尽管它可以推迟发生，但将来必须支出。
2．简述滞留成本的概念及其计算方法。
滞留成本不是未来成本，而是由企业现在承担的、但需要在不久的将来偿付的成本，较为典型的是资本成本。滞留成本既不是企业的实际支出，也不必记账，它们只是企业使用某种经济资源而需要支付的代价。滞留成本是机会成本的一种表现形式，它是机会成本和货币时间价值观念在决策中的具体表现和应用。
滞留成本的计算：
在市场经济中，企业滞留成本可能高于资本成本，但在决策时通常都将资本成本作为估计滞留成本的替代物，以便简化分析过程。
⑴个别资本成本
个别资本成本是指通过各种筹资方式使用经济资源的成本，包括长期借款资本成本、债券资本成本、普通股和优先股资本成本等。其计算公式为：
K = D / (P * (1 – f))
式中：K为资本成本，以百分比表示；
D为资金年实际占用费；
P为该资金的筹资总额；
f为筹资费用率，即筹资费用与筹资总额的比率。
⑵综合资本成本
企业的筹资方式通常不是单一的，因此企业总的资本成本应当是各类个别资本成本的综合，即综合资本成本。它是以各种资本占全部资本的比重作为权数，对各类个别资本成本进行加权平均计算出来的。其计算公式为：
Kw = (j=1,n) ∑(Kj * Wj)
式中：Kw为综合资本成本；
Kj为第j类个别资本成本；
Wj为第j类个别资本占全部资本的比重，可以按资本的账面价值、市场价格或目标价值来确定。
3．简述按照条件的肯定程度对决策所作出的分类。
⑴确定性决策，是指与决策相关的那些客观条件或自然状态是肯定的、明确的，每个备选方案通常只有一种确定的结果，并且可用具体的数字表示出来。进行这类决策时，决策人员可以直接根据完全确定的情况，从中选择出最有利的方案。确定性决策问题较为明显、容易，可以使用：损益平衡分析、边际利润分析、线性规划等方法进行分析。
⑵风险性决策，是指与决策相关的那些因素的未来状况不能完全肯定，但可以依据有关方法通过预测来确定其客观概率。由于决策时包含若干不确定因素，所以决策人员无论选择哪一方案都可能出现几种不同的结果，不可能完全符合实际情况，因此必须冒一定的风险。风险性决策在实际中较为常见，主要采用：期望损益值法、决策树法、马尔科夫法等进行决策分析。
⑶不确定性决策，是指与决策相关的那些因素不仅不能肯定，而且每种可能结果出现的概率也无法确切地预计，各种备选方案的条件只能以决策人员通过经验判断所确定的主观概率作为依据。因此，作出这类决策的难度较大，它需要决策人员具有较高的理论知识水平和丰富的实践经验。进行不确定性决策时常用的分析方法主要包括：保守分析法、乐观分析法、折衷分析法等。
4．简述按其有关风险的态度对决策人员所进行的分类。
⑴风险偏好者，是指总是对最好的结果感兴趣，而不管风险有多大的决策者。一般来说，他们愿意承担较大的风险。只要这样做可以使企业获取较大的收益，他们就会认为值得承担较大的风险。
⑵风险中性者，是指关注最有可能结果的决策者。通常来说，他们更偏好使用各个备选方案可能结果的期望值为依据作出决策。但是，这些决策者选择期望值最好的备选方案并不能保证决策结果就是最优的。
⑶风险规避者，是指总是关注可能的最坏结果的决策者。也就是说，他们会尽量避免实施风险较大的方案，尽管这样做获取的收益较小。这些决策者在决策时更愿意选择收益较小但风险也较小的方案。
5．简述决策风险的含义及其衡量方法。
由于决策时有关因素的未来发展状况不能确定，每个备选方案的实施都可能会出现多种不同的结果，而使企业可能无法达到预期的决策目标，这就是决策风险。
决策风险的衡量方法：
由于决策中的风险主要是指无法达到预期报酬的可能性，因此它与概率直接相关，并进
决策方案的标准差系数是以相对数来衡量决策方案的风险程度。对于期望值不同的决策方案，用V表示风险程度：V越大，决策方案的风险就越大；反之，V越小，决策方案的风险就越小。
6．假设某企业
计划
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生产一种新产品，现有两种生产方案可供选择，有关资料如下表所示：
经过市场调查，该企业了解到在不同的市场需求状况下，甲产品和乙产品的销售量会有所变动，其预测数及概率如下表所示：
要求：分析该企业应当生产何种新产品，可以期望获得更大的利润。
解：⑴期望损益值的决策方法
根据有关资料，应用期望损益值的决策方法，分析程序如下：
①确定决策目标。这里的决策目标应当是选择生产何种产品的最优方式，从而使企业获得最大的利润。
②估计各个备选方案下各种市场状态出现的概率。
③依据各个备选方案在不同市场状态下所出现的结果，计算损益值。 损益值 = 销售收入 – 固定成本 – 变动成本。 若企业生产甲产品： 当预计销售量为80千件时：
损益值 = 80 * 32 – 240000 /1000 – 80 * 28 = 80(千元) 当预计销售量为90千件时：
损益值 = 90 * 32 – 240000 /1000 – 90 * 28 = 120(千元) 当预计销售量为100千件时：
损益值 = 100 * 32 – 240000 /1000 – 100 * 28 = 160(千元)
当预计销售量为110千件时：
损益值 = 110 * 32 – 240000 /1000 – 110 * 28 = 200(千元) 当预计销售量为120千件时：
损益值 = 120 * 32 – 240000 /1000 – 120 * 28 = 240(千元) 若企业生产乙产品： 当预计销售量为70千件时：
损益值 = 70 * 30 – 240000 /1000 – 70 * 27 = -30(千元) 当预计销售量为80千件时：
损益值 = 80 * 30 – 240000 /1000 – 80 * 27 = 0(千元) 当预计销售量为90千件时：
损益值 = 90 * 30 – 240000 /1000 – 90 * 27 = 30(千元) 当预计销售量为100千件时：
损益值 = 100 * 30 – 240000 /1000 – 100 * 27 = 60(千元) 当预计销售量为110千件时：
损益值 = 110 * 30 – 240000 /1000 – 110 * 27 = 90(千元) ④编制决策损益表，并进行初步审查：
根据表中结果可以看出，无论市场销路出现哪一种状态，生产甲产品方案所获得的损益值都明显高于生产乙产品，所以可以作出决策生产甲产品。
⑤计算各个备选方案的期望损益值，并通过比较选择最优方案。
￣E生产甲产品 = 80 * 0.1 + 120 * 0.1 + 160 * 0.3 + 200 * 0.3 + 240 * 0.2 = 176(千元)
￣E生产乙产品 = -30 * 0.1 + 0 * 0.2 + 30 * 0.2 + 60 * 0.4 + 90 * 0.1 = 36(千元)
上述计算结果表明，生产甲产品的期望收益值为176千元，明显高于生产乙产品的期望收益值36千元，按照期望收益值标准，生产甲产品是该企业的最优方案。
⑵决策风险的衡量方法 计算分析过程如下：
①根据各个备选方案在不同市场状态下所出现的结果及其概率分布，计算损益值并编制决策损益表：
①确定决策方案的概率与概率分布
②计算决策方案的期望值 生产甲产品的期望收益值：
￣E甲 = 80 * 0.1 + 120 * 0.1 + 160 * 0.3 + 200 * 0.3 + 240 * 0.2 = 176(千元) 生产乙产品的期望收益值：
￣E乙 = -30 * 0.1 + 0 * 0.2 + 30 * 0.2 + 60 * 0.4 + 90 * 0.1 = 36(千元) ③风险程度的衡量：
生产甲产品的标准差及标准差系数：
σ甲 = [(80 – 176)^2 * 0.1 + (120 – 176)^2 * 0.1 + (160 –
176)^2 * 0.3 + (200 – 176)^2 * 0.3 + (240 – 176)^2 * 0.2]^0.5 = 131.45(千元)
V甲 = 131.45 / 176 * 100% = 74.69% 生产乙产品的标准差及标准差系数：
σ乙 = [(-30 – 36)^2 * 0.1 + (0 – 36)^2 * 0.2 + (30 – 36)^2 * 0.2 + (60 – 36)^2 * 0.4 + (90 – 36)^2 * 0.1]^0.5 = 95.81(千元)
V乙 = 95.81 / 36 * 100% = 266.15% ④分析
评价
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上述计算结果表明，该企业应当选择生产甲产品，因为生产甲产品的期望收益值176千元高于生产乙产品的期望收益值36千元，而且生产甲产品的风险相对生产乙产品小。 7．假设某企业计划开发一种新产品，根据市场调查，该企业提出三种不同的生产方案，而且每种方案都面临着三种不同的市场销售状况。有关各种情况下的贡献毛益资料如下表所示。
要求：分别采取小中取大法、大中取小法、大中取大法和折衷的决策方法作出选择（假设
乐观系数α = 0.6）。
解：⑴小中取大法
根据表中数据，应用小中取大法，分析程序如下：
①找出各备选方案的最小收益值：方案甲的最小收益值为28400元，方案乙的最小收益值为32000元，方案丙的最小收益值为24000元。
②比较各个备选方案的最小收益值，选择最优方案。通过比较可以看出，方案乙的最小收益值是其中最大的，因此该方案就是这一决策中的最优方案。
⑵大中取小法
根据表中数据，应用大中取小法，分析程序如下：
①就市场销路的三种不同情况分别确定最大收益值。从有关资料来看，当某种市场销路情况出现时，可以清楚地看出哪一个备选方案是最优的：销路最好情况下的最大收益值为80000元，销路一般情况下的最大收益值为40000元，销路最坏情况下的最大收益值为32000元。
②分别计算不同市场销路情况下各个备选方案的后悔值。其计算公式为： 方案的后悔值 = 最大收益值 – 该方案的收益值
根据第一步的计算结果，在市场销路最好的情况下，具有最大收益值的方案为方案丙，其最大收益值为80000元。因此：
方案甲的后悔值 = 80000 – 52000 = 28000(元) 方案乙的后悔值 = 80000 – 68000 = 12000(元) 方案丙的后悔值 = 80000 – 80000 = 0(元)
用同样的方法，可以分别计算出市场销路一般、最坏两种情况下，各个备选方案的后悔值。根据计算结果编制后悔值计算分析表，如下所示：
后悔值计算分析表
③比较各个备选方案的最大后悔值，选择最优方案。从上表可见，方案甲、乙、丙的最大后悔值分别为：28000元、12000元、8000元。通过比较可知，方案丙的最大后悔值是其中最小的，因此该方案是最优方案。
Ws = Ls / λ = 4/24 = 1/6
Wq = λ / (μ * (μ -λ)) = 24 / (30 * (30 - 24)) = 2/15(小时) = 8(分钟) Wq = Lq / λ = 3.2/24 = 2/15
顾客到达后必须等待的概率，即求系统中至少有一个顾客的概率
P(n≥1) = ρ^1 = 0.8
P(n≥1) = 1 – P0 = 1 – (1 –ρ) =ρ = 0.8
2．在M/M/1系统中，λ=1/5(人/分)，μ=1/4(人/分)。求Ls、Lq、Ws、Wq。试求： ⑴顾客无须等待的概率；
⑵系统内恰有4个顾客的概率；
⑶若使顾客在系统内逗留时间减少一半，求μ；
⑷若使顾客在系统内逗留时间超过35分钟，则须增加服务台，求此时的λ。
解：由已知的λ和μ计算得系统的服务强度ρ = λ / μ = 1/5 ÷ 1/4 = 0.8。由于ρ< 1，系统存在平稳解。
Ls =λ/(μ-λ) = ρ/(1-ρ) = 0.8/0.2 = 4(人)
Lq =ρ^2/(1-ρ) = Ls *ρ = 4 * 0.8 = 3.2(人)
Ws = Ls/λ = 1/(μ-λ) = 4 ÷ 1/5 = 20(分钟)
Wq = Lq/λ = λ / (μ * (μ -λ)) = 3.2 ÷ 1/5 = 16(分钟)
⑴求顾客无须等待的概率，即求P0
P0 = 1 –ρ = 1 – 0.8 = 0.2
⑵求系统内恰有4个顾客的概率，即求P(n=4)
P4 =ρ^4 * (1-ρ) = 0.8^4 * (1 – 0.8) = 0.08192
⑶如果顾客在系统内逗留时间减少一半，则有Ws = 20/2 = 10(分钟)
则由Ws = 1/(μ-λ) = 10，可求得μ = 1/Ws + λ = 1/10 + 1/5 = 0.3(人/分钟) ⑷若使Ws≥35分钟，则由Ws = 1/(μ-λ) ≥ 35，可求得λ≥ μ - 1/Ws = 1/4 – 1/35 = 31/140(人/分钟)
3．在M/M/2系统中，λ=24，μ=30。求P0、Ls、Lq、Ws、Wq及顾客到达系统后须等待的概率。请与上述题1结果列表比较。
解：由已知的λ、μ、C计算得系统的服务强度ρ=λ/(C*μ)=24/(2 * 30) = 0.4，满足了ρ<1的条件，系统存在平稳解。依下列步骤计算：
P0 = [(n=0,C-1)∑((C * ρ)^n / n!) + (C * ρ)^C / (C! * (1 –ρ))]^-1
= [(n=0,1)∑((2 * 0.4)^n / n!) + (2 * 0.4)^2 / (2! * (1 –0.4))]^-1
=(1 + 0.8 + 8/15)^-1 = 3/7 ≈ 0.4286
Lq = C^C * ρ^(C+1) / (C! * (1-ρ)^2) * P0
= 2^2 * 0.4^3 / (2 * 0.6^2) * 3/7 = 16/105 ≈ 0.1524(人)
Ls = Lq +λ / μ = 0.1524 + 0.8 = 0.9524(人)
Ws = Ls /λ = 0.9524/24 ≈ 0.0397(小时) = 2.38(分钟)
Wq = Lq /λ = 0.1524/24 ≈ 0.0063(小时) = 0.38(分钟)
求顾客到达系统后须等待的概率，即求P(n≥2)：
P(n≥2) = (C * ρ)^C * P0 / (C! * (1 –ρ)) = (2 * 0.4)^2 * 3/7 / (2 * 0.6) ≈ 0.2286
第9章 成本、产出和效益分析
思考与练习
1．简述成本/产出/效益分析的基本假设，并说明它们的具体含义。
成本/产出/效益分析是指建立在成本习性分析和变动成本法基础上的一种数量分析方法，它旨在以数学模型和图示方法研究成本、产出、效益之间的依存关系，从而为企业进行预测、决策、规划和控制活动提供有用的信息。在分析过程中，产出一般指产品的业务量，主要由产销量来衡量，而效益通常是指息税前利润（或称营业利润），它是企业所获得的尚未扣除应支付利息和所得税之前的收益。
在成本/产出/效益分析中，成本、业务量、利润之间的数量关系是建立在一系列假设基础上的。
⑴成本习性分析假设
该假设要求企业所发生的全部成本可以按其习性分为变动成本和固定成本两部分。成本习性是指在相关范围内，成本总额与业务量之间所表现的依存关系，它们的数量关系可以用一定的函数形式来描述。相关范围是指特定的时间和业务量变化区间或变化幅度，在该范围内成本总额与业务量之间的依存关系是稳定的、有规律的，而超出这个范围，成本总额与业务量之间的关系就需要另外来描述了。
⑵线性关系假设
该假设要求企业有关因素之间的数量关系可以用特定的线性函数来描述，它又包括两方
①销售收入函数
假设产品的单位销售价格一经确定，即保持不变，这时销售收入与销售量呈正比例关系，销售收入函数就表现为线性方程：y = px
该公式表明，销售收入的大小直接取决于销售量情况。
②总成本函数
假设在相关范围内，固定成本总额和单位变动成本保持不变，这时总成本与生产量呈现一次线性关系，总成本函数表现为一次线性方程：y = a + bx。
该公式表明，总成本包括固定成本和变动成本两部分，其大小由生产量情况决定。 ⑶产销量平衡假设
该假设要求企业生产出来的产品总是可以找到市场出售，即生产量和销售量相等，可以实现产销平衡。这时，在一个期间内，企业的存货保持不变。在该假设情况下，销售收入和总成本都能够以同一个业务量作为共同基础进行计算，从而使收入与成本的对比关系保持在同一期间。
⑷品种结构稳定假设
该假设要求在一个生产多种产品的企业中，当产销量发生变化时，原来各种产品的产销量占全部产品产销总量的比重不会发生变化，或者说各种产品的销售收入在总收入中所占的比重不会发生变化。这主要是由于各种产品的获利能力不同，其产销结构及综合贡献毛益率会影响损益平衡点的确定结果，所以只有基于该假设进行的损益平衡分析才是有效的。
2．简述成本/产出/效益分析的基本模型及其作用。
在成本/产出/效益分析中，将成本、业务量、利润之间的数量关系用方程式来表示，就得到了其基本模型，即：
利润 = 销售收入 – 总成本
= 销售收入 -（变动成本 + 固定成本）
= 销售单价 x 销售量 - 单位变动成本 x 销售量 - 固定成本
=（销售单价 - 单位变动成本）x 销售量 - 固定成本
设利润为P、单位销售价格为p、销售量为x、固定成本总额为a、单位变动成本为b，则上述基本模型可以表示为：
P = (p – b) * x – a
作用：成本/产出/效益分析正是围绕这一模型，对各因素变动导致的影响进行系统的分
析，从而为企业预测、决策、规划和控制活动提供有价值的信息。另外，损益平衡分析中的数学模型都是建立在这一基本模型的基础上的。
3．简述损益平衡图的主要形式，并对各种形式的损益平衡图进行评价。
损益平衡图是围绕损益平衡点，将影响企业利润的有关因素及其对应关系，在一张坐标图上形象而具体地表达出来。通过它们，可以直观地发现有关因素变动对利润的影响，从而有助于决策人员提高经营管理活动中的主动性和预见性。依据不同的分析目的和数据特征，损益平衡图可以采用不同的绘制形式：
传统式损益平衡图是最基本的形式，它以图示的方法，集中而形象地反映了销售量、成本与利润之间的相互关系。其特点是：将固定成本置于变动成本之下，从而反映出固定成本总额不随业务量变动的特征，同时揭示损益平衡点、安全边际、盈利区与亏损区的关系。
传统式损益平衡图在实际工作中的运用最为广泛，原因在于它比数量方法更加直观地反映出相关范围内不同业务量对企业利润的影响，但其缺点也较为明显：无法反映产品贡献毛益与其它有关因素之间的关系。
⑵贡献毛益式
与传统式相比，其主要特点是：将固定成本置于变动成本之上，以形象地反映贡献毛益的形成过程及其与利润之间的关系。这时，总成本线与变动成本线是两条相互平等的直线。它以图示的方法，形象地反映了销售收入、变动成本、贡献毛益、利润之间的相互关系。
贡献毛益式损益平衡图更加直观地反映出贡献毛益与其它有关因素之间的依存关系，缺点是：无法表明固定成本在相关范围内保持稳定不变的特征。
它是上述两种损益平衡图的一种变化形式，其特点是：直接突出反映利润与业务量之间的依存关系。其中，业务量即可以用销售量表示，也可以用销售收入表示。
利量式损益平衡图可以清晰地反映出业务量变动对利润的影响，因此具有简单明了、易于理解的优点，受到企业高层管理人员的欢迎。缺点是：不能反映业务量变动对销售收入、成本、贡献毛益等有关因素的影响。
4．简述有关因素变动对损益平衡点和利润所产生的影响。
⑴销售价格变动的影响
随着单位销售价格的提高，表现为销售收入线的斜率变大，新的销售收入线与原有的总成本线相交时对应的损益平衡点降低。
说，变动成本与固定成本之间存在着此消彼长的关系。由于任何一种成本结构都各有优缺点，所以企业必须在变动成本与固定成本之间作出适当的取舍。在决策时，损益平衡分析可用以确定成本结构变化对企业利润水平的影响。
⑵生产决策
在一定条件下进行决策时，损益平衡分析可以预计企业达到盈亏平衡状态或实现目标利润时的业务量，以及业务量变化对企业利润水平的影响。此外，它也可以用于确定各个备选方案的成本、贡献毛益、利润等指标，从而为决策人员作出正确选择提供依据。
⑶定价决策
销售价格高低是影响企业生产经营活动的重要因素之一。定价过高可能会导致产品或服务销售不出去；定价过低虽然能提高销售量，但可能无法弥补耗费的成本。损益平衡分析揭示成本、收入、销售量三者之间的依存关系，因此可以用以预计在不同的销售价格下，企业能够获取多少利润，从而帮助决策人员选择出最优的定价方案。
损益平衡分析以数量模型和图示方法，揭示了成本、贡献毛益、利润等有关因素之间的数量关系，可以为不同备选方案的选择提供必要的衡量标准。
⑴成本结构决策
不同的成本结构虽然可以使企业生产的产品在质量、价格、业务量方面保持一致，但在利润大小及其稳定性方面往往表现出差异性。为了比较不同成本结构方案的优越性，可以借助损益平衡分析的原理来进行评价。
⑵生产决策
在生产决策中运用损益平衡分析，通常是以数量模型或图示方法描述销售收入、成本和利润之间的依存关系，从而确定企业经营活动的亏损界限，掌握企业的最优生产规模，使企业获得最大的经济效益，以作出合理的选择。
⑶定价决策
定价决策是企业生产经营管理中的一项重要活动，其目的在于通过适当的定价，保证企业获取最大的利润。由于损益平衡分析涉及产品销售价格、利润等有关因素，因此企业可以
借助该分析方法来作出恰当的定价决策。
6．简述损益平衡分析所具有的局限性。
⑴静态分析
损益平衡分析是一种静态分析方法，它通常假设特定经营期间的某些变量保持不变，从而确定经营活动对于某一变量而言在什么点上正好达到不盈不亏的状态。所以，损益平衡分析尽管反映出企业经营活动的均衡状态以及销售价格、成本等有关因素达到均衡状态时应具备的条件，但其并未考虑企业经营活动达到均衡状态的过程，它完全抽象掉了销售价格、成本等有关因素在特定时间范围内的具体变化过程。所以，损益平衡分析是一种静止地、孤立地考察企业经营活动的方法。
⑵短期分析
损益平衡分析是一种短期分析方法，主要关注企业在一个特定期间内（通常是一年或一个营业周期）的经营活动。在短时期内，假设单位变动成本、固定成本等有关因素保持不变，具有一定的现实合理性。但在一个长时期内，企业经营活动过程中的有关因素均可能发生变化。所以，从长期来看，损益平衡分析赖以建立的基本假设都是不符合实际情况的。
⑶一次线性分析
损益平衡分析的结果受制于一系列因素的影响，因此缺少客观性、准确性。一般情况下，收入、成本与产销量之间的依存关系通常以一次线性方程来描述，这是损益平衡分析的一种简化形式。从其函数表达式来看，确定损益平衡点直接取决于单位销售价格、单位变动成本、固定成本的取值。在现实生活中，以非线性方程替代线性方程来描述收入、成本与产销量之间的依存关系，可能更加符合客观情况。
综上所述，损益平衡分析是一种有助于企业经营决策分析的方法，但应当注意保证该方法不用于严重违反其假设的情况，以避免分析结果把决策人员引入错误的方向。
7．假设某企业只生产和销售一种产品，该产品单位销售价格为40元，单位变动成本为25元，固定成本总额为30000元，预计可实现销售量为3000件。
要求：⑴计算该产品贡献毛益及相关指标；
⑵计算该产品的损益平衡点及保本作业率；
⑶计算该产品安全边际及安全边际率；
⑷计算该产品预计可实现的利润。
解：⑴贡献毛益总额 = (产品销售单价 – 单位变动成本) * 销售量
= (40 – 25) * 3000 = 45000(元)
单位贡献毛益 = 产品销售单价 - 单位变动成本 = 贡献毛益总额 / 销售量
= 40 – 25 = 15(元)
贡献毛益率 = 贡献毛益总额 / (产品销售单价 * 销售量) * 100%
= 单位贡献毛益 / 产品销售单价 * 100%
= 15 / 40 * 100% = 37.5%
变动成本率 = 变动成本总额 / (产品销售单价 * 销售量) * 100%
= 单位变动成本 / 产品销售单价 * 100%
= 25 / 40 * 100% = 62.5%
⑵损益平衡点销售量 = 固定成本 / (产品销售单价 – 单位变动成本)
= 固定成本 / 单位贡献毛益
= 30000 / 15 = 2000(件)
损益平衡点销售额 = 产品销售单价 * 固定成本 / 单位贡献毛益
= 固定成本 / 贡献毛益率
= 30000 / 37.5% = 80000(元)
保本作业率 = 损益平衡点销售量 / 实际或预计销售量 * 100%
= 损益平衡点销售额 / 实际或预计销售额 * 100%
= 2000/3000 ≈ 67.7%
⑶安全边际量 = 实际或预计销售量 - 损益平衡点销售量
= 3000 – 2000 = 1000(件)
安全边际额 = 实际或预计销售额 - 损益平衡点销售额
= 40 * 3000 – 80000 = 40000(元)
安全边际率 = 安全边际量 / 实际或预计销售量 * 100%
= 安全边际额 / 实际或预计销售额 * 100%
= 1000/3000 ≈ 33.3%
⑷预计可实现利润 = (产品销售单价 – 单位变动成本) * 销售量 - 固定成本 = (40 – 25) * 3000 – 30000 = 15000(元)
8．假设某企业只生产和销售一种产品，其计划年度内的预计销售量为5000件，单位销售价格为50元，单位变动成本为20元，固定成本为60000元。现设该产品单位销售价格、销售量、单位变动成本和固定成本分别增长20%。
要求：⑴计算有关因素变动对该产品损益平衡点的影响；
⑵计算有关因素变动对利润的敏感系数。
解：计算分析过程如下：
⑴各因素变化前的损益平衡点：
损益平衡点销售量 = 60000 / (50 - 20) = 2000(件)
损益平衡点销售额 = 2000 * 50 = 100000(元)
①在其它因素保持不变时，产品单位销售价格变动对损益平衡点的影响：
变动后的产品销售单价 = 50 * (1 + 20%) = 60(元)
损益平衡点销售量 = 60000 / (60 - 20) = 1500(件)
损益平衡点销售额 = 1500 * 60 = 90000(元)
损益平衡点销售量变化 = 1500 – 2000 = -500(件)
损益平衡点销售额变化 = 90000 - 100000 = -10000(元)
即产品销售价格增长20%，导致损益平衡点销售量下降500件，损益平衡点销售额减少10000元。
②在其它因素保持不变时，产品销售量变动对损益平衡点的影响：
变动后的产品销售量 = 5000 * (1 + 20%) = 6000(件)
损益平衡点销售量 = 60000 / (60 - 20) = 1500(件)
损益平衡点销售额 = 1500 * 60 = 90000 (元)
损益平衡点销售量变化 = 1500 –1500 = 0(件)
损益平衡点销售额变化 = 90000 - 90000 = 0(元)
即产品销售量增长20%，对损益平衡点不产生任何影响。
③在其它因素保持不变时，产品单位变动成本变动对损益平衡点的影响：
变动后的产品单位变动成本 = 20 * (1 + 20%) = 24(元)
损益平衡点销售量 = 60000 / (60 - 24) ≈ 1667(件)
损益平衡点销售额 = 1667 * 60 = 100000(元)
损益平衡点销售量变化 = 1667 –1500 = 167(件)
损益平衡点销售额变化 = 100000 - 90000 = 10000(元)
即产品单位变动成本增长20%，导致损益平衡点销售量上升167件，损益平衡点销售额上升10000元。
④在其它因素保持不变时，产品固定成本变动对损益平衡点的影响：
利润变动百分比 = (144000 - 156000) / 156000 * 100% ≈ -7.7%
单位销售价格敏感系数 = -7.7% / 20% = -0.385
⑤综合影响：
利润 = (60 – 24) * 6000 – 72000 = 144000(元)
利润变动百分比 = (144000 - 90000) / 90000 * 100% = 160%
9．假设某企业计划投产一种新产品，需要购置一套新设备。预计该设备每年固定成本（包括折旧费、保险费和财产税等）共计90000元。根据预测，该产品投放市场后单位销售价格为24元，单位变动成本为14元，年产销量可达10000件。问该企业是否应当投产新产品？如果该企业要求投产这种产品后，至少要创造利润25000元，请问该企业是否还要进行投产？
解：计算分析过程如下：
新产品损益平衡点销售量 = 90000 / (24 – 14) = 9000(件)
计算结果表明，该产品的最小经济生产规模为9000件，低于此生产规模时，该企业将会亏损。
安全边际销售量 = 10000 – 9000 = 1000(件)
预计可实现利润 = 1000 * (24 – 14) = 10000(元)
计算结果表明，该企业新产品预计生产量10000件超过最小经济生产规模9000件，具有1000件的安全边际销售量，而且可以获取利润10000元，所以应当投产该新产品。
如果企业要实现目标利润25000元，则
实现目标利润销售量 = (25000 + 90000) / (24 – 14) = 11500(件)
计算结果表明，该企业为实现目标利润，其新产品的产销量应当达到11500件，高于企业的预计产销量为10000件，其目标利润25000元也高于企业预计可实现利润10000元，因此该企业不应该投产该新产品。
第10章 标杆分析
思考与练习
1．如何理解标杆管理技术？
标杆管理是一项整合了多项数量分析方法的管理技术。标杆分析就是将本企业各项活动与从事该项活动的最佳者进行比较，从而提出行动方法，以弥补自身的不足。标杆分析法是
将本企业经营的各方面状况和环节与竞争对手或行业内外一流的企业进行对比分析的过程，是一种评价自身企业和研究其它组织的手段，是将外部企业的持久业绩作为自身企业的内部发展目标，并将外界的最佳做法移植到本企业的经营环节中去的一种方法。实施标杆分析的公司必须不断对竞争对手或一流企业的产品、服务、经营业绩等进行评价，来发现优势和不足。总的来说，标杆分析法就是对企业所能衡量的东西给出一个参考值，标杆分析可以是一种管理体系、学习过程，它更着重于流程的研究分析。
2．标杆管理中收集数据的方法有哪些？
⑴内部数据收集与分析：
①收集与分析内部公开信息；
②选择潜在的内部标杆分析伙伴；
③收集内部第一手研究信息；
④进行内部访谈与问卷调调查；
⑤建立内部标杆委员会；
⑥进行内部标杆内部考察。
⑵外部数据收集与分析：
①收集外部公开发表的信息；
②收集外部一手研究信息。
⑴收集各种公开发表的、有关组织内部或外部的相关信息；
⑵收集未公开发表的、有关组织内部或外部的相关信息；
⑶收集一手的、有关组织内部或外部的相关信息；
⑷进行访谈与问卷调查。
第11章 商业信息的电子表格程序和计算机分析
思考与练习
1．利用Excel的数据分类汇总功能进行数据汇总。
2．利用实际数据，探索Excel的统计制图功能，学习如何绘制气泡图、雷达图等统计图形。
⑴气泡图：排列在工作表的列中的数据（第一列中列出 x 值，在相邻列中列出相应的 y
值和气泡大小的值）可以绘制在气泡图中。
气泡图具有下列图表子类型：气泡图和三维气泡图 气泡图与 XY 散点图类似，但是它们对成组的三个数值而非两个数值进行比较。第三个数值确定气泡数据点的大小。
⑵雷达图：雷达图主要应用于企业经营状况——收益性、生产性、流动性、安全性和成长性的评价。上述指标的分布组合在一起非常象雷达的形状，因此而得名。
雷达图的绘制方法是：先画3个同心圆，把圆分为5个区域（每个区为72度），分别代表企业的收益性、生产性、流动性、安全性和成长性。同心圆中最小的圆代表同行业平均水平的1/2值或最差的情况；中心圆代表同行业的平均水平或特定比较对象的水平，称为标准线（区）；大圆表示同行业平均水平的1.5倍或最佳状态。在5个区域内，以圆心为起点，以放射线的形式画出相应的经营比率线。然后，在相应的比率线上标出本企业决算期的各种经营比率。将本企业的各种比率值用线联结起来后，就形成了一个不规则闭环图。他清楚地表示出本企业的经营态势，并把这种经营态势与标准线相比，就可以清楚地看出本企业的成绩和差距。
雷达图的分析方法是：如果企业的比率位于标准线以内，则说明企业比率值低于同行业的平均水平，应认真分析原因，提出改进方向；如果企业的比率值接近或低于小圆，则说明企业经营处于非常危险的境地，急需推出改革措施以扭转局面；如果企业的比率值超过了中圆或标准线，甚至接近大圆，则表明企业经营的优势所在，用予以巩固和发扬。
如果把雷达图应用于创新战略的评估，就演变成为戴布拉图。实际上戴布拉图与雷达图的绘制与分析方法完全相同，但是，戴布拉图是用企业内部管理责任：协作过程、业绩度量、教育与开发、分布式学习网络和智能市场定位，以及外部关系：知识产品/服务协作市场准入、市场形象活动、领导才能和通信技术等两个基本方面10个具体因素来替代经营雷达图的5个因素。
3．利用加载宏的规划求解，解决线性规划问题。
4．利用实际数据练习数据透视表功能。
5．录制一个建立数据透视表的宏。
6．简述变量分布中心含义及其测度指标之间的关系。（5分）
变量的分布中心是指距离一个变量的所有取值最近的位置。用来测试变量取值分布中心的指标主要有：算术平均数、中位数和众数。
算术平均数又称均值，它是一组变量值的总和与其变量值的个数的比值。
中位数，是指将某一变量的变量值按照从小到大的顺序排成一列，位于这列数中心位置的那个变量值。
众数，是指某一变量全部取值中出现次数最多的那个变量值。
其关系如下：
算术平均数、中位数和众数三者之间在数量上的关系取决于变量值在数列中的分布情况。
⑴在正态分布情况下，三者在数量上完全相等，在分布图形中处于同一位置。
⑵在正偏分布或右偏分布情况下，即当有极大值出现时，算术平均数向右远离众数，中位数居中，众数的位置在图形的最左边，它们三者在数量上的关系是：众数 < 中位数 < 算术平均数。
⑶在负偏分布或左偏分布情况下，即当有极小变量值出现时，算术平均数向左远离众数，中位数次之，众数处于图形的最右边，它们三者在数量上的关系是：算术平均数 < 中位数 < 众数。
7．简述时间系列的影响因素及其模型。（5分）
⑴时间系列的影响因素：
①长期趋势（T），也称趋势变动，是指时间系列在较长时期内所表现出来的总态势或者变动方向。
②季节波动(S)，也称季节变动，是指受自然界季节更替影响而发生的年复一年的有规律的变化。在实际分析中，季节波动概念也有了扩展，一年中由于社会、政治、经济、自然因素影响形成的有规律的周期性的重复变动都称为季节波动。
③循环波动（C），也称循环变动，是指变动周期大于1年的有一定规律性的重复变动。 ④不规则变动(I)，也称随机变动，是指现象受很多偶然性的、难以预知和人为无法控制的因素影响而出现的无规律性的变动。
平均生产情况：
完成的产品单位数量 = (500 + 475 + 480) / 3 = 485
接收的合格产品单位数量 = (450 + 440 + 460) / 3 = 450
改进后合格接收的产品单位数量 = (25 + 20 + 5) / 3 = 17
送进废品箱的产品单位数量 = (25 + 15 + 15) / 3 = 18
一班的废品率 = 25/500 * 100% = 5%
二班的废品率 = 15/475 * 100% = 3.16%
三班的废品率 = 15/480 * 100% = 3.13%
总的废品率 = (25 + 15 + 15) / (500 + 475 + 480) * 100% = 3.78%
10．⑴请简述上述计算中所得出的结论。（10分）
由上述计算结果可以看出：一班工人的完成的产品单位数量最高，高于平均水平15，但其造成的废品也最高，高出平均水平7；二班完成的产品单位数量最低，低于平均水平10；三班接收的合格产品单位数量最高，高于平均水平10。
由上述计算结果可知：一班的废品率最高，高于总的废品率水平1.22%；二班、三班的废品率较低，低于总的废品率水平0.64%左右。
⑵如何运用标准差来辅助分析你的结论。（10分）
11．⑴请解释成本/产出/利润理论分析如何有助于决策过程。（10分）
成本/产出/效益分析旨在以数学模型和图示方法研究成本、产出或效益之间的依存关系，从而为企业进行决策提供有用的信息。
决策的主要目标在于寻求利用现有资源的最佳方案，以获取最大的经济效益。如果选择成本作为各个备选方案的评价指标，在各方案销售收入相同的前提下，应当选择其中成本较低的方案；如果以贡献毛益或利润作为评价指标，则应当选择贡献毛益或利润较高的方案。
成本/产出/效益理论分析主要是损益平衡分析，在一定的假设和限制条件下，它可用于企业进行如下决策：
⑴成本结构决策，成本结构的具体情况影响着企业在不同产销量水平上的损益平衡点和
获利能力。由于任何一种成本结构都各有优缺点，所以企业必须在变动成本与固定成本之间作出适当的取舍。在决策时，损益平衡分析可用以确定成本结构变化对企业利润水平的影响。
⑵生产决策，在一定条件下进行决策时，损益平衡分析可以预计企业达到损益平衡状态或实现目标利润时的业务量，以及业务量变化对企业利润水平的影响。此外，它也可以用于确定各个备选方案的成本、贡献毛益、利润等指标，从而为决策人员作出正确选择提供依据。
⑶定价决策，企业必须为其产品或劳务定出合理的销售价格，以在预期销售量下抵偿总成本并获取最大的利润。损益平衡分析揭示成本、收入、销售量三者之间的关系，因此可用以预计在不同的销售价格下，企业能够获取多少利润，从而帮助决策人员选择出最优的定价方案。
⑵列出成本/产出/利润理论分析的主要局限性。（10分）
⑴静态分析
损益平衡分析是一种静态分析方法，它通常假设特定经营期间的某些变量保持不变，从而确定经营活动对于某一变量而言在什么点上正好达到不盈不亏的状态。所以，损益平衡分析尽管反映出企业经营活动的均衡状态以及销售价格、成本等有关因素达到均衡状态时应具备的条件，但其并未考虑企业经营活动达到均衡状态的过程，它完全抽象掉了销售价格、成本等有关因素在特定时间范围内的具体变化过程。所以，损益平衡分析是一种静止地、孤立地考察企业经营活动的方法。
⑵短期分析
损益平衡分析是一种短期分析方法，主要关注企业在一个特定期间内（通常是一年或一个营业周期）的经营活动。在短时期内，假设单位变动成本假设单位变动成本、固定成本等有关因素保持不变，具有一定的现实合理性。但在一个长时期内，企业经营活动过程中的有关因素均可能发生变化。所以，从长时期来看，损益平衡分析赖以建立的基本假设都是不符合实际情况的。
⑶一次线性分析
损益平衡分析的结果受制于一系列因素的影响，因此缺少客观性、准确性。一般情况下，收入、成本与产销量之间的依存关系通常以一次线性方程来描述，这是损益平衡分析的一种简化形式。从其函数表达式来看，确定损益平衡点直接取决于单位销售价格、单位变动成本和固定成本的取值。如果由于各种成本习性分析方法的计算差异造成二者取值不同，那么即使对某企业的同一项经营活动进行分析，也可能会得到不同的结果。所以，在现实生活中，以非线性方程替代线性方程来描述收入、成本与产销量之间的依存关系，可能更加符合客观
12．⑴请解释决策树的含义，以及如何运用于决策过程。（10分）
决策树是运用概率分析的一种图解法，它是在已知各种情况发生概率的基础上，通过构造一种像树一样的图形来求解各种行动方案的期望值，判断各行动方案可行性的决策分析方法。
首先画一个决策点，表示各行动方案由此点引出；再由决策点引出方案枝，每一个方案枝代表一个可供选择的方案；在每个方案枝的末端画一个状态点，意指各客观状态由此点引出。将各个客观状态出现的概率标在相应的状态枝上，并在各状态枝的末梢标出相应的损益值，由各状态点所引出的各状态枝上的损益值和概率计算该方案的期望损益值，并标在对应的方案枝上，通过比较各状态点上的期望损益值找出最优行动方案。
决策树在一些比较复杂的决策问题中有关独特的作用。例如，当采取不同的行动方案时，若决策者面临的客观状态互不相同，用决策树就很容易表达；有些问题的决策带有阶段性，选择某种行动方案会面临不同的客观状态，而在不同的状态下又要做进一步的行动决策，以至又有下一阶段的各种客观状态和决策等，这类问题利用决策树进行分析也比较方便。 ⑵请区分风险追求型、风险中立型和风险厌恶型决策者的区别，并解释他们对风险的态度如何影响其决策过程。（10分）
⑴风险偏好者是指总是对最好的结果感兴趣，而不管风险有多大的决策者。一般来说，他们愿意承担较大的风险，只要这样做可以使企业获取较大的收益，他们就会认为值得承担较大的风险。
⑵风险中性者是指关注最有可能结果的决策者。通常来说，他们更偏好以各个备选方案可能结果的期望为依据作出决策。
⑶风险规避者是指问题关注可能的最坏结果的决策者。也就是说，他们会尽量避免实施风险较大的方案，尽管这样做获取的收益较小，这些决策者在做决策时更愿意选择收益较小但风险也较小的方案。
13．⑴请解释线性规划的含义，以及如何运用于决策程序中。（10分）
线性规划是运筹学的一个重要分枝，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策，提供科学的依据。
规划论要解决的问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案，可将之表示为函数在约束条件下的极值问题；当约束方程和目标函数都是线性的，就属线性规划问题。
其主要问题有两类，当任务确定后如何统筹安排，尽量做到用最少的人力、物力去完成；当人力、物力的数量确定后，如何安排可使其完成的任务最多。
⑴建立线性规划问题的数学模型。
将有关问题所满足的条件用一组多变量的一次方程组或一次不等式组表示，称之为约束条件。再将有关问题要达到的目标用一个多元一次函数表示，称之为目标函数。
⑵使用线性规划工具求解最优方案。
针对生产能力的合理分配问题，可用效率比法；针对原料的有限库存，合理安排两种产品的产量使生产效益最大，可用图解法；针对物资调运问题，可用表上作业法；针对指派问题或旅行商问题，可用匈牙利算法。
⑵列举作为决策制定工具的线性规划的局限性。（10分）
非常明显的一点是，线性规划模型实质上还是一个静态的模型。事实上，随着约束条件的变化，目标函数中的一些指标常常并非一成不变。举例来说，在考虑生产计划，即如何选择产业结构使生产成本最低的时候，成本系数实质上是一个会根据产业结构和模式之变化而难以绝对保持静态的变量，这就势必导致模型的理想化。
另一方面，生产过程也不是一个绝对静态的过程，即产业结构本身，或者说约束条件中的每一项指标，也会产生某些动态的过程，即它并非可以完全按照单纯形法中矩阵变换的简单方法去解决。一旦考虑到时间轴上的某些变化，问题的复杂程度就不是线性规划模型多能够做到了的。
总的来说，线性规划模型是一种比较机械性的模型，这种机械性决定它在某种意义上不可避免的局限性。
14．⑴请列举时间序列的四个主要特征。（4分）
⑴长期趋势(T)；
⑵季节波动(S)；
⑶循环波动(C)；
⑷不规则变动(I)。
⑴有严格的时间先后顺序；
内外一流的企业进行对比分析的过程，是一种评价自身企业和研究其它组织的手段，是将外部企业的持久业绩作为自身企业的内部发展目标，并将外界的最佳做法移植到本企业的经营环节中去的一种方法。实施标杆分析的公司必须不断对竞争对手或一流企业的产品、服务、经营业绩等进行评价，来发现优势和不足。总的来说，标杆分析法就是对企业所能衡量的东西给出一个参考值，标杆分析可以是一种管理体系、学习过程，它更着重于流程的研究分析。
标杆分析可能为我们带来如下益处：
⑴标杆分析用于成本比较。如果成本高于行业正常水平，那么企业就有节省成本的空间。 ⑵标杆分析可用来比较企业的关键绩效指标。通过对生产力和生产效率指标的分析，包括可以通过简单统计值反映的指标，例如员工的平均销售额、毛利润率、损耗水平，以及需要定性分析和定量分析的综合指标，例如评价培训活动的有效性，或者是顾客满意度。如果指标显示企业绩效欠佳，意味着有改进机会。
⑶标杆分析在流程比较中时常带来许多机会。这类分析需要深入分析标杆企业的相同或类似流程如何进行，例如标杆企业的流程中使用什么生产技术，从而可以在自身的商业或生产活动中采用类似的方法。
⑷标杆分析也能在战略层面带来机遇。例如分析竞争对手的战略目标、标杆对象着眼的战略资源，以及他们采用什么样的标准。所有这些分析结果，都可以用于自身的战略制定。
管理数量方法与分析习题
第1章 数据分析的基础
思考与练习
1．什么是数据分组？它有哪些种类，各在什么情况下应用？
所谓数据分组，就是对某一变量的不同取值，按照其自身变动特点和研究需要划分成不同的组别，以便更好地研究该变量的分布特征及变动规律。根据变量的类型可分为： ⑴单项分组，若变量是离散型变量，且取值不多时采用；
⑵组距分组，若变量是连续型变量、或者是取值较多的离散型变量时采用。
2．什么是变量数列？如何编制变量数列？
在对变量取值进行分组的基础上，将各组不同的变量值与其变量值出现的次数排列成的数列，称为变量数列。
组距数列的编制过程：
⑴确定组数。
若变量的取值变动不均匀，如急剧增大、变小，变动幅度很大时，应采用异距分组；若变量的取值变动均匀，应采用等距分组。等距分组便于比较和分析处理，实践中应尽量采用等距分组。究竟分为多少组比较合适，可采用斯特吉斯公式计算：
M = 1 + 3.322 * LgN，N为变量值的个数，m为组数。
⑵确定组距。
确定了分组的组数之后，接下来就需要确定出分组的组距。等距分组的组距可根据变量值的取值范围和已确定的组数确定，下式可计算组距的最小值：
d = (max(Xi) – min(Xi)) / m，d为组距，Xi为观测变量中的第i个变量值，m为组数。
⑶确定组限。
在确定了分组的组数和组距之后，就需要确定各组的组限。各组的组限应尽量用整数，特别是5和10的倍数来表示。用小于或等于变量最小值的整数作为最低一组的下限，然后依次每增加一个组距就是一个组限，直到组限值增加到比变量的最大值还大时即为最高组上限。
组限的表示方法随着变量的不同也有所不同。若变量是离散变量，则相邻两组中数值较小一组的上限和数值较大一组的下限可分别用相邻的两个整数值表示；若变量是连续变量或
是即可取整数又可取非整数的离散变量，则相邻两组中较小一组的上限和数值较大一组的下限只能用同一数值表示。为了不违反分组的互斥性原则，在后一种情况下，一般规定上限不包含在本组之内，称为上限不在内原则。
⑷计算各组的次数（频数）。
在确定了各组的组限以后，接着就需要计算出所有变量值中落入各组之内的变量值的个数，每组所分配的变量值的个数也就是该组的次数，又称频数。
⑸编制变量数列。
当各组变量值的变动范围和各组的次数确定之后，接下来就可以将各组变量值按照从小到大的顺序排列，并列出相对应的次数，就形成变量数列。
3．测度变量分布中心有何意义？测度指标有哪些，各有什么特点？均值、中位数和众数之间有什么关系？
揭示变量的分布中心有着十分重要的意义：
⑴变量的分布中心是变量取值的一个代表，可以用来反映其取值的一般水平。一个变量往往有许多个不同的取值，假若要用一个数值作为它们的代表，反映其一般水平，分布中心值无疑是一个最合适的数值。
⑵变量的分布中心可以揭示其取值的次数分布在直角坐标系上的集中位置，可以用来反映变量分布密度曲线的中心位置，即对称中心或尖峰位置。
测度指标有：
⑴算术平均数，又称均值，它是一组变量值的总和与其变量值的个数的比值，是测度变量分布中心最常用的指标。算术平均数的计算方法有：简单算术平均数、加权算术平均数。算术平均数容易受到极端变量值的影响。
⑵中位数，是指将某一变量的变量值按照从小到大的顺序排成一列，位于这列数中心位置上的那个变量值。中位数表明在顺序排列的变量值中，小于中位数的变量值的个数与大于中位数的变量值的个数是相等的。因此，用中位数来代表所排列变量值的一般水平能够避免受到这些变量值中出现的极端变量值的影响，在某些特定条件下它更具有代表性。
⑶众数，是指某一变量的全部取值中出现次数最多的那个变量值。在特殊的应用条件下，使用众数作为变量的一般代表值既简便又具有代表性。在许多场合只有众数才适合作为某一变量取值的代表值。
三者之间的关系：
算术平均数、中位数和众数三者之间在数量上的关系取决于变量值在数列中的分布状
⑴在正态分布的情况下，变量值的分布是以算术平均数为中心，两边呈对称型，这时算术平均数、中位数和众数在数量上完全相等。
在偏态分布的情况下，由于变量值中出现特别大或特别小的极端数值使其分布曲线在图形上呈现出不对称的情形。
⑵当有极大变量值出现时，是正偏分布（又称右偏分布），此时众数 < 中位数 < 算术平均数；
⑶当有极小变量值出现时，是负偏分布（又称左偏分布），众数 > 中位数 > 算术平均数。
4．测度变量取值的离散程度有何意义？测度指标有哪些，各有什么特点？有了极差、平均差和标准差，为什么还要计算离散系数？
⑴通过对变量取值之间离散程度的测定，可以反映出各个变量值之间的差异大小，从而也就可以反映分布中心指标对各个变量值代表性的高低。
⑵通过对变量取值之间离散程度的测定，可以大致反映变量次数分布密度曲线的形状。 测度指标：
⑴极差，又称全距，是指一组变量值中最大值与最小值之差，用来表示变量的变动范围。它计算简单，意义明了。由于极差的确定只根据两个极端变量值计算，不受中间变量值的影响，所以不能全面反映变量值的差异情况。
⑵四分位全距，是指将一组由小到大排列的变量数列分成四等分，可得到三个分割点Q1、Q2、Q3，分别称为第一个、第二个、第三个四分位数；然后用第一个四分位数Q1减去第三个四分位数Q3所得差的绝对值|Q1-Q3|，即为四分位全距。它其实是指一组由小到大排列数据的中间50%数据的全距，所以它不像极差那么容易受极端变量值的影响，但仍然存在没有充分利用所有数据信息的缺点。
⑶平均差，是变量各个取值偏差绝对值的算术平均数。它反映了变量的各个取值离其算术平均数的平均距离。其意义明确，计算简单，但在运算上不方便。平均差的计算分为简单平均法和加权平均法两种。
⑷标准差，又称根方差，是变量的各个取值偏差平方的平均数的平方根。通过离差平方和的运算不但可以消除离差正负项的差别，而且强化了离差的信息，使其在数学性质上也有许多明显的优越性。标准差的计算方法分为简单平均法和加权平均法两种，即简单标准差和
加权标准差。
⑸方差，标准差的平方称为方差。
计算离散系统是因为：
极差、平均差和标准差都是衡量变量各个取值之间绝对差异程度的指标，都具有一定的量纲。这些指标的数值大小不仅取决于变量各取值之间的差异程度，而且取决于变量取值水平即数量级的高低。显然，对于不同的变量，其变量值的绝对差异程度指标并不便于直接比较，这就需要在这些绝对差异指标的基础上构造出反映变量各取值之间的相对差异程度的无量纲指标。
变异系数主要用于不同变量的各自取值之间差异程度的比较。例如，对于两个给定的变量，若要比较二者算术平均数对各自变量值一般水平代表性的高低，或比较二者各自内部变量值之间差异程度的大小，由于二变量的极差、平均差和标准差各自有不同的数量级和不同的量纲，难以直接对比，所以就需要计算各自的变异系数，用变异系数进行比较。
5．测度偏度和峰度有什么意义？测度指标各有哪些？
⑴可以加深人们对变量取值的分布状况的认识，如可以使人们清楚了解变量的取值是否对称，或非对称程度有多大，以及变量的取值是否有特别的集聚，集聚程度有多高，等等。
⑵人们还可以将所关心的变量的偏度指标值和峰度指标值与某种理论分布的偏度指标值和峰度指标值进行比较，以判断所关心的变量与某种理论分布的近似程度，为进一步的推断分析奠定基础。
偏度的测度指标：
⑴直观偏度系数，它是利用描述变量分布中心的不同指标之间的直观关系而确定的测度变量分布偏斜程度的指标。主要有：
①皮尔逊偏度系数，是算术平均数与众数之间的离差对标准差的比率，其数值在[-3,+3]的范围之内。
②鲍莱偏度系数，它是上四分位数与中位数的距离对中位数与下四分位数的距离的差值与上四分位数与下四分位数的差值的比率。
⑵矩偏度系数，就是利用变量的矩来确定的变量分布偏斜程度的指标。
峰度的测度指标：
峰度系数，是变量的四阶中心矩与其标准差的四次方的比率。
6．抽样调查某地区50户居民的月消费品支出额数据资料如下（单位：元）
浙公网安备 33021202002483