对数三角函数的定积分

对数三角函数的定积分 第27卷第5期2011年10月 大󰀁学󰀁数󰀁学 COLLEGEMATHEMATICS Vol.27,!.5 Oct.2011 对数三角函数的定积分 邱为钢,󰀁唐荣荣 (湖州师范学院理学院,浙江湖州313000) 󰀁󰀁[摘󰀁要]定义了三种积分表示的两元函数.这些两元函数有伽马函数表示,可以展开为幂级数.在积分符号内展开被积函数,先积分,再求和,也得到级数展开.对比展开系数,就得到一些对数三角函数定积分的值.选取合适的围道,得到其他两类对数三角函数定积分的值. [关键词]伽马函数;对数三角函数;定积分 [中图分类号]O172.2󰀁󰀁[文献标识码]C󰀁󰀁[文章编号]1672󰀁1454(2011)05󰀁0134󰀁04 物理专业,特别是理论物理方向,要求具有强大的数学解析计算能力,譬如在定积分的计算上,就需要综合运用各种技巧.宁容健先生在文献[1]中,对定积分计算的方法和技巧作了归纳和总结.计算含有 对数三角函数定积分,除了文献[1]所述的常用方法,还有傅里叶级数展开法[2],参数展开法[3],以及常用的围道积分法.本文运用参数展开法和围道积分法,得到了三类对数三角函数定积分的值.本文主要阐述计算技巧,积分符号内展开被积函数,积分和求和交换次序等操作的严格性,可以由计算结果的正确性反过来验证. 定义一个二元函数H(x,y)为 H(x,y)= ∀ 󰀁/2 (2sint) 2x (2cost)dt. 2y (1) 由文献[4]中贝塔函数的积分表示,得到函数H(x,y)的解析式 2x+2y-1.H(x,y)=2 在积分符号内展开(2sint) 2x (2) (2cost) n=0 2y 为x和y的级数,得到函数H(x,y)的级数展开式 ∃ H(x,y)= 由对数伽马函数的级数展开式 # , ∃ nm #0m!n!m= ∀ 󰀁/2 logn(2sint)logm(2cost)dt. ∃ (3) [4] log󰀂(s+a)=log󰀂(a)+ (a)s+ 得到(2)式中函数H(x,y)的展开式 H(x,y)=exp 2 k=2∃ k=2 # k (-1)kk (4) # k k !(k;1/2)(xk+yk)-!(k)(x+y)k .(5) 对比(3)式和(5)式中x,y的各项系数,得到以下积分值 󰀁/23 2log(2sint)dt=!(2;1/2)-!(2)=,0824 ∀ ∀log(2sint)log(2cost)dt=-󰀁/20 (6)(7) !(2)=-. 424 3 󰀁[收稿日期]2008󰀁12󰀁05 󰀁[基金项目]湖州师范学院高等教育研究项目(GJB11007);浙江省高等学校创新团队(T200924);湖州师范学院省级 精品课程󰀂高等数学 第5期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁邱为钢,等:对数三角函数的定积分定义一个二元函数I(x,y)为 I(x,y)= 函数I(x,y)有伽马函数表示的解析式[4] . 2󰀂((y+x+2)/2)󰀂((y-x+2)/2) 在积分符号内展开cos(xt)(2cost)y为x和y的级数,得到函数I(x,y)的级数展开式 I(x,y)= ∃ 135 ∀ 󰀁/2 cos(xt)(2cost)ydt. (8) (9) I(x,y)= n=0 # 2n! ∃ n2n #m=0m! ∃ m ∀ 󰀁/2 t2nlog(2cost) m dt.(10) 由对数伽马函数的展开式(4),得到(9)式中函数I(x,y)的展开式 kkkkI(x,y)=exp#(k)(2 y)-(y-x)-(y+x)k22k=2 对比(10)式和(11)式x,y的各项系数,得到以下积分值 3 log(2cost)dt=∀(2)=, 0424 5 42∀(2)+7∀(4)=,log(2cost)dt==8480 .(11) ∀ ∀t 0󰀁/20 󰀁/2 ∀ 󰀁/2 2 (12)(13)(14) 2 log(2cost) 2 2 dt=∀(2)+3∀(4)=. 81440 5 定义一个二元函数K(x,y)为 K(x,y)= 函数K(x,y)有伽马函数表示的解析式[ 5] ∀ 󰀁 yexp(ixt)(2sint)dt.0 (15) K(x,y)=󰀁exp(ix󰀁/2) ∃ .∃ (16) 在积分符号内展开exp(ixt)(2sint)y为x和y的级数,得到函数K(x,y)的级数展开式 K(x,y)= ∃ n=0 # nm #0m!n!m= ∀ t0 󰀁 n log(2sint) m dt.(17) 由对数伽马函数的级数展开(4)式,得到(16)式中函数K(x,y)的展开式 K(x,y)=󰀁# n=0 n! 2 n exp k=2 # ∃ k(k)(2 y)k-(y-x)k-(y+x)kkk2 2 .(18) 对比(17)式和(18)式中x,y的各项系数,就能得到以下对数三角函数的积分值 ∀t 󰀁 log(2sint) 2 dt=!(2)=, 424 23 (19)(20) ∀ t2log(2sint)0 󰀁 dt= 5 2∀22 (2)+6∀(4)+󰀁!(2)=.32360 考虑以下围道积分 J= ∀ C1 z-1log2(i(1-z))dz. (21) 计算以下路径上的积分,这个路径分为四段.第一段沿实轴从原点到1,积分是 J1= 虚部是 ImJ1=󰀁0xlog(1-x)dx=-. 6 ∀ 1 -12xlog(i(1-x))dx,0 (22) 3 ∀ -1 (23) 积分路径2:沿着圆心在原点的单位圆圆弧,角度从0转到󰀁/3.作变量代换z=exp(i#),由以下公式 log1-exp(i#)=log2sin(#/2)+i,󰀁0<#<󰀁, 2 2(24) 136 󰀁/30 大󰀁学󰀁数󰀁学󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁第27卷 ImJ2= ∀log 2 3 2sin(#/2)d#-. 324 (25) 路径3是圆心在z=1的单位圆弧,角度范围是2󰀁/3<#<󰀁.作变量代换z=1+exp(i#),积分化为 󰀁2 J3=-1+itan(#/2)(#-󰀁/2)d#,(26) 22󰀁/3 ∀ 虚部是 ImJ3=-2J4= ∀ 󰀁 2󰀁/3 (#-󰀁/2)d#=-. 108%6 2 2 2 3 (27) 路径4是圆心在原点的无限小圆弧,角度范围是󰀁/2<#<0.取极限得到 ∀z C 4 -1 logidz=-4 ∀ d#=.󰀁/28 3 (28) 围道积分为四个路径积分之和,绕过极点z=0,所以 J1+J2+J3+J4=0, 虚部也为零,得到 ∀ 󰀁/3 3 log22sin(#/2)d#=. 108 (29) 考虑以下围道积分 P= ∀ C 2dz,(30) 其中󰀂∃=exp(-i%),0<%<󰀁/2.积分围道路径分为三部分,第一部分是从单位圆周上-%角度顺时 针方向转到%角度,令z=exp(i(#-%)),计算得到虚部积分为 2 d#=%3 ImP1=-Im0. 1-exp(i#)3 第二部分是从∃=exp(i%)沿垂直直线方向到󰀂∃=exp(-i%),令 ∀ 2% (31) z=cos%+itsin%,󰀁-1&t&1, 计算得到虚部积分为 ImP2=- ∀ 1 -1 222 logcos%+tsinarctanttan. t+1 (32) 第三部分是以󰀂∃为圆心的无限小圆弧,顺时针方向从虚轴方向转过%角度,这部分的围道积分为 P3= C 3 dz=-i%3 . 2 (33) 围道积分为三个路径积分之和,绕过极点󰀂∃,所以 P1+P2+P3=0, 虚部也为零,得到 3 cos2%+t2sin2arctanttan=%,󰀁0<%<󰀁/2.(34) t+13 以上解析计算结果,得到了Mathematica8.0解析或数值计算的验证,说明本文所采用的参数展开法和 ∀ 1 log-1 围道积分法是合适的. [参󰀁考󰀁文󰀁献] [1]󰀁宁容健.定积分计算的方法和技巧[J].工科数学,1995,1(11):199-203. [2]󰀁郑晨,邱为钢.基于傅里叶级数的定积分计算技巧[J].高等数学研究,2010,13(3):31-32.[3]󰀁王碧桂,邱为钢.用参数展开法计算一类反常积分[J].高等数学研究,2011,14(1):85-86.[4]󰀁王竹溪,郭顿仁.特殊函数概论[M].北京:北京大学出版社,2000. [5]󰀁GradshteynIS,RyzhikIM.积分,级数和乘积表[M].7版.北京:世界图书出版公司,2007. 第5期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁邱为钢,等:对数三角函数的定积分137 DefiniteIntegralofLogarithmTrigonometricFunction QIUWei󰀁gang (SchoolofScience,HuzhouTeacher∋sCollege,Huzhou,Zhejiang313000,China) Abstract:Theintegraldefinitionofthreekindoftwovatiblesfunctionsaregiven.Thesefunctions,intermofGammafunction.,canbeexpandedintopowerseries.Theintegrandcanalsobeexpandedintopowersseriesandintegratedtermbyterm.Comparingthepowerseriescoefficients,somedefiniteintegralsoflogarithmtrigonometricfunctionisobtained.Otherkindoflogarithmtrigonometricfunctionintegrationarealsoevaluatedbycontourintegralmethods. Keywords:Gammafunction;logarithmtrigonometricfunction;definiteintegral